Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Доверительный интервал для математического ожидания ц при неизвестной дисперсии имеет вид.

где S — выборочное среднее квадратичное отклонение случайной величины X (несмещенная оценка); — квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы п — 1, который можно определить по таблицам или с помощью статистического пакета. Таким образом, статистика ^__а при заданной доверительной вероятности 1 — а зависит от объема выборки п.

Когда объем выборки велик (п > 100), вместо статистики ti__a можно использовать статистику — квантиль уровня 1 — а стандартного распределения. При малом объеме выборки использование t-распределения Стьюдента дает более широкий доверительный интервал по сравнению с результатом, основанным на определении что оправдано ввиду неизвестности дисперсии.

Минимальный объем выборки для получения с заданной надежностью оценки математического ожидания

Надежность оценивания математического ожидания описывается выражением Р (|х-р|<�е) = 1-а, где точность е характеризует величину возможного отклонения от центра доверительного интервала.

При заданных е и, а (когда задается величина допустимого расхождения оценки х и параметра р для выбранного уровня значимости а) можно определить минимальное количество элементов выборки п, обеспечивающее оценку математического ожидания с требуемой надежностью 1 — а и точностью е.

В случае, когда известна дисперсия случайной величины X, используется следующая формула:

При неизвестной дисперсии.

в этом случае вначале выбирают небольшое число п реализаций X, по таблицам распределения Стьюдента находят статистику П-а сп-1 степенями свободы, определяют п" . Если п* < п, то начальное количество элементов выборки достаточно для получения оценки математического ожидания х.

Если же п* > п, то следует дополнить выборку новыми элементами до численности п*, т. е. п = п , и повторить вычисление значений t_x__a и п*.

Возможно несколько итераций, когда выборку надо пополнять.