Целевая функция в условиях неопределенности

Потребитель максимизирует дисконтированную полезность за два периода: старость и молодость. В молодости его доход фиксирован и равен W, объем потребления равен С_А, его сбережения.

Рисковый актив — актив, характеризуемый случайными значениями доходности и их вероятностями. Его ожидаемая доходность равна.

где г, — доходность актива в i-м состоянии; — вероятность i-го состояния; п — число состояний.

Безрисковый актив — актив с неизменной доходностью (г). Его доходность обычно меньше ожидаемой доходности рискового актива.

Потребитель инвестирует сбережения в рисковый актив для увеличения объема потребления в старости (С_в), который молодые могут оценить лишь как математическое ожидание. В каждом конкретном состоянии объем потребления в старости равен сумме двух слагаемых: величины сбережений, возросшей по ставке рискового актива 5(1 + г), и пенсии У:

Целевая функция потребителя:

где и — мгновенная функция полезности; р — норма межвременного предпочтения; Еи (С_в) = й — ожидаемая полезность в старости.

Пусть в старости потребитель может находиться в двух состояниях (п = 2), их вероятности — р_ъ ставки процента — r_t, г₂, размеры пенсии — Y_{, У₂. Тогда ожидаемые значения доходности и пенсии равны:

Возможные объемы потребления в старости с учетом (2.144) равны:

Тогда задача потребителя сводится к максимизации функции одной переменной С_л: