Критерий Гуджарата. 
Эконометрика

Предположим, что с момента времени t* наблюдаются изменения характера тенденции временного ряда, представленные на рис. 7.3. Будем предполагать, что структура моделей T_x(t) и T₇(t) одинакова, т. е.

где /_;(?) — известные регрессионные функции времени;

 — неизвестные параметры.

В критерии Гуджарати [28, 34] выдвигается гипотеза о структурной стабильности Я₀: {временной ряд x (t) структурно стабилен}.

и альтернативная ей гипотеза.

Н_х: {структурные изменения оказывают влияние на временной рядх (?)}.

Проверка гипотезы Я₀ основана на построении вспомогательного регрессионного уравнения Гуджарати

где 0-^! 0-² i = 0, k — неизвестные параметры уравнения Гуджарати, Z (t) — функция Хевисайда [57], определяемая следующим образом:

Уравнение (7.10) представляет собой обычное уравнение множественной регрессии, параметры которого могут быть оценены по МНК. Очевидно, что при t < t* оно преобразуется к виду.

а при t > t*:

С учетом предположения о том, что при t > t* тенденция временного ряда описывается функцией T₂(t), последнее уравнение можно записать в виде.

Проведя элементарные сопоставления параметров, получим.

или.

Следовательно, функции T_t(t) и T₂(t) не будут отличаться друг от друга только в том случае, если.

Проверка гипотезы о структурной стабильности сводится к проверке на равенство пулю параметров уравнения (7.10). Фактически необходимо проверить гипотезы о значимости данных параметров, используя стандартные средства регрессионного анализа (например, критерий Стьюдента). Если хотя бы один из них окажется значимым, то гипотеза о структурной стабильности отвергается.

Следует отметить, что на основе выводов, получаемых по критерию Гуджарати, можно выявить не только сам.

Рис. 7.4. Изменение линейной тенденции при значимом параметре 0*^г) и незначимом параметре 0⁽₁^г).

факт наличия структурных изменений, но и определить их характер. Поясним эго на простом примере. Пусть.

Вспомогательное уравнение Гуджарати (7.10) в этом случае имеет вид.

Если в результате проверки гипотезы о структурной стабильности оказалось, что параметр 0^²⁾ значим, а параметр

0j²^ незначим, то будет наблюдаться изменение тенденции временного ряда, представленное на рис. 7.4. Примером изменений такого рода является единовременное изъятие (вложение) средств из некоторой области промышленного производства.

Если оказалось, что параметр 0^^z) незначим, а параметр 0j²⁾ значим, то изменение тенденции временного ряда может иметь вид, представленный на рис. 7.5. Примером таких изменений является переключение с одного типа промышленного производства на другой.

Рис. 7.5. Изменение линейной тенденции при незначимом параметре 0*^z) и значимом параметре 6⁽,^г)

Если же оба параметра оказались значимы, то изменение тенденции временного ряда может иметь вид, представленный на рис. 7.6. Примером такой ситуации является постепенный вывод капитала из некоторой отрасли.

Преимуществом критерия Гуджарати является тот факт, что при проверке структурной стабильности необходимо оценивать параметры только одного уравнения регрессии, а не трех, как в критерии Чоу. Однако уравнение Гуджарати имеет более сложную структуру, чем уравнения критерия Чоу, и требует дополнительных усилий для построения.

Рис. 7.6. Изменение линейной тенденции при значимых параметрах 0*^г) и 0⁽,^г)