Устойчивость равновесных состояний и течений бинарных смесей в плоских слоях

Актуальность проблемы. Среди множества моделей, используемых в механике жидкости и газа, можно выделить так называемые классические модели, к которым относятся уравнения газовой динамики, уравнения Эйлера, Навье-Стокса, Обербека-Буссинеска, пограничного слоя Прандтля. В последнее время в связи с появлением новых задач, развитием математического аппарата и средств вычислительной техники возрос интерес к неклассическим моделям гидродинамики. В качестве примера можно привести модели вязкого теплопроводного газа [31], микроконвекции [34], а также конвекции с учетом эффектов термодиффузии и диффузионной теплопроводности [13,42]. Такие усложненные модели с большей точностью (по сравнению с классическими) описывают реальные физические процессы и в последнее время активно используются в вычислительной гидродинамике. В связи с этим является актуальной задача качественного исследования подмоделей усложненных моделей. В частности, точные решения всегда играли и продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения часто используют в качестве «тестовых задач» для проверки корректности и оценки точности различных асимптотических, приближенных и численных методов, а также имеют чрезвычайно важное значение при изучении устойчивости течений. В условиях, близких к невесомости, существенное влияние на устойчивость равновесия и движения смесей с поверхностью раздела или со свободной поверхностью оказывает зависимость коэффициента поверхностного натяжения от температуры и концентрации.

Изучению моделей микроконвекции и вязкого теплопроводного газа с помощью теоретико-групповых методов посвящена монография [2]. Отметим также монографию [4], в которой наряду с классическими моделями исследуются уравнения термокапиллярного движения, пограничного слоя Маран-гони, а также уравнения конвекции с коэффициентами переноса, зависящими от температуры.

Данная работа посвящена, в основном, численному изучению устойчивости равновесного состояния и течений плоского слоя конечной толщины бинарных смесей с учетом эффекта термодиффузии, а также изучению инвариантного решения уравнений термодиффузии, когда на поверхности раздела двух несмешивающихся бинарных смесей коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и концентрации, а источником движения являются нестационарные градиенты давления. Термодиффузией называют молекулярный перенос вещества, связанный с наличием в среде (жидком растворе или газовой смеси) градиента температуры. При термодиффузии концентрация компонентов в областях повышенной и пониженной температуры различна. Наличие градиента концентрации приводит к возникновению обыкновенной диффузии. Стационарное состояние устанавливается тогда, когда процессы диффузии и термодиффузии уравновешивают друг друга (то есть процесс перемешивания компонентов смеси компенсируется процессом их разделения). На практике часто встречается нормальная термодиффузия, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие компоненты — в более нагретые области. В некоторых случаях наблюдается аномальная термодиффузия, при которой направление движения компонентов меняется на противоположное. Термодиффузию в растворах также называют эффектом Соре.

Термодиффузия часто встречается в природе и имеет множество приложений в технике. В сочетании с тепловой конвекцией этот эффект используется для разделения изотопов в жидких и газовых смесях [36, 37]. Термодиффузия применяется при определении состава нефти и разделения ее компонентов [57], нанесения различных покрытий на изделия из металлов, а также играет важную роль в процессе выращивания кристаллов. Еще один пример практического применения рассматриваемого эффекта дает тепловой насос [11]. Термодиффузия также влияет на течения в морях и океанах, где массы соленой воды подвергаются различным режимам нагрева [49,56].

Основу модели термодиффузии бинарной смеси составляет система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями теплои массоперепоса. Движение смеси описывается системой уравнений [13,42] (в отсутствие массовых сил) 1 ut + (и • V) u = —Vp + z/Ди, Р.

0t + и • V0 = с* + и • Vc = dAc + adA9, divu = О, где и — вектор скорости, р — давление, р — плотность, v — коэффициент кинематической вязкости, х — коэффициент температуропроводности, d — коэффициент диффузии, а — параметр термодиффузии, а = кд/9с, где kg — коэффициент термодиффузии, 9С — средняя температура. Нормальной термодиффузии соответствуют значения, а < 0, а для аномальной термодиффузии, а > 0. Все характеристики среды предполагаются постоянными и соответствуют средним значениям температуры и концентрации.

Заметим, что в [27] доказана разрешимость плоской стационарной задачи о чисто термокапиллярном течении одной жидкости. В работе [55] доказана глобальная разрешимость одномерной нестационарной задачи с двумя коэффициентами вязкости, правда, без термокапиллярного эффекта. В [27] изучена линейная устойчивость поверхности при наличии диффузионного переноса между двумя несмешивающимися вязкими жидкостями. Точные решения уравнений конвекции бинарной смеси рассматривались в работах [16,58], посвященных в основном изучению устойчивости соответствующих движений. Результаты исследования устойчивости механического равновесия бинарной смеси с учетом термодиффузии можно найти в [13]. Устойчивость термодиффузионного движения в вертикальном слое при наличии поперечной разности температур рассматривалась в [15], а при наличии еще и продольного градиента концентрации — в работе [32]. В статье [40] изучалась неустойчивость плоского горизонтального слоя несжимаемой бинарной газовой смеси под действием поперечного, модулированного по времени градиента температуры. Отметим также работу [48], посвященную исследованию устойчивости горизонтального слоя при наличии вибрации и с учетом термодиффузии. Во всех этих работах границы, как правило, суть твердые стенки.

Перейдем к общей постановке задачи. Рассматривается движение двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей границей раздела. Обозначим через ty (j = 1, 2) области, занятые жидкостями, с поверхностью раздела Г, Uj (x, t), pj (x, t) — соответственно вектор скорости и давление, 0j (x, t) и Cj (x, ?) — отклонения от средних значений температуры и концентрации. Тогда система уравнений термодиффузионного движения в отсутствии внешних сил (g — 0) имеет вид [3] duj 1. dO.

— Ж = dc- ^ djAcj + ajdjAOj, divuj = 0, где d/dt = d/dt + uj • V.

Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения сг на границе раздела зависит от температуры и концентрации, а = сг (0, с), причем для многих смесей он хорошо аппроксимируется линейной зависимостью сг (0, с) = сто — aei (0 — во) — 332(с — со), (0.2) где sei > 0 — температурный коэффициент, аег — концентрационный коэффициент (обычно эе2 < 0, поскольку поверхностное натяжение увеличивается с ростом концентрации). Сформулируем условия на поверхности раздела Г: ui = u2) xer (0.3) равенство скоростейи • n = Vn, х Е Г (0.4) кинематическое условие. Оно основано на предположении, что Г — движущаяся материальная поверхность. Здесь п единичный вектор нормали к поверхности Г, направленный из в 0,2, Vn — скорость перемещения поверхности в направлении нормали, и — значение вектора скоростей обеих жидкостей на Г, попарно совпадающих в силу (0.3). Далее,.

Р2 — Pi) n = 2сгНп + Vrа, х е Г (0.5) динамическое условие, оно означает равенство всех сил, действующих на поверхность (сил давления, сил трения, сил поверхностного натяжения и термокапиллярных сил). Здесь Pj = — pjE + 2pjVjD (u.j) — тензоры напряжений, D — тензор скоростей деформаций, Н — средняя кривизна поверхности Г, Vr = V — (п • V) n обозначает поверхностный градиент;

01 = 02, С! = Лс2, х € Г (0.6) условие непрерывности температур и условия баланса концентраций на границе раздела, Л — Постоянная равновесия Генри. Условием равновесия между двумя жидкими средами является равенство температур и динамическое условие. Поэтому в состоянии равновесия между концентрациями распределяемого компонента в обеих фазах устанавливается некоторое соотношение, характеризуемое константой фазового равновесия Л. Для некоторых систем эта зависимость может быть вычислена, но в подавляющем большинстве случаев ее находят опытным путем.

Кроме того, на поверхности раздела 0, х 6 Г. (0.7).

Соотношение (0.7) представляет собой равенство потоков тепла на границе раздела. Постоянные kj = XjPjcPj ~ коэффициенты теплопроводности. Еще одно условие — равенство потоков вещества через границу раздела (дс2 дв2 J /да двЛ.

Области и могут контактировать не только друг с другом, но и с твердыми стенками. Обозначим стенки через Еj] на них ставится условие прилипания.

Uj = aj-(x, ?), х € Е^, (0.9) где аДх, t) — скорость движения стенки Ej. Кроме того, будем считать, что температура в точках Еу удовлетворяет одному из условий дО ¦ t), вJ = 9JCT (x, t), X е Ey (0.10) с заданными функциями Q3CT и То есть на твердой стенке задан либо поток тепла, либо температура и отсутствует поток вещества через поверхности Е^ (считается, что твердые стенки не растворяются): дсп дв* + = (0.11).

Области Qi и Q2 могут так же контактировать с газовой фазой. Обозначим для определенности через Ti границу раздела жидкости Qi с газом, тогда поверхность Гх называется свободной границей. На поверхности Г должны быть выполнены динамическое условие.

Pgas ~ р) п + 2pi/D (u)n = 2сгНп + Vrcr, х G Гх (0.12) и кинематическое условие (/(х, t) = 0 есть уравнение Г) ft + uV/ = 0, хеГь (0.13) в (0.12) pgas — давление в газе является известной функцией.

Условие теплообмена смеси с газом запишется так: д9 кд^ь + № ~ ^ = Ql Х 6 Гь (°'14) где к = const — коэффициент теплопроводности, (3 > 0 — постоянный коэффициент межфазного теплообмена, 9gas — температура газа, Q — заданный внешний поток тепла.

Еще одно условие на Ti — дс дв, есть отсутствие потока вещества через свободную поверхность. Тем самым в этом случае не учитывается влияние поверхностно-активных веществ на IY Если учитывать ПАВ, то перенос ПАВ вдоль границы Ti описывается уравнением st + Vr • (us) — drATs = jn, (0.16) где Vr — поверхностный градиент, так что Vr • (us) — поверхностная дивергенция, s — поверхностная концентрация, d-p — коэффициент поверхностной диффузии ПАВ, Дг — оператор Лапласа-Бельтрами, jn — поток вещества с поверхности в объемную фазу. Величина потока jn определяется процессами переноса ПАВ вглубь жидкости и с учетом термодиффузии имеет вид х€Г1- (ол7).

Здесь с — концентрация примеси в жидкости. С другой стороны, обмен веществом между поверхностью и жидкостью происходит за счет процесса адсорбции-десорбции, и величина потока равна (в линейном приближении) jn = кАс — kDs, х е Гь (0.18) где кл и кв — коэффициенты адсорбции и десорбции соответственно (при наличии химических реакций на Гх зависимость может быть и нелинейной).

Поверхностное натяжение есть функция температуры и концентрации: <т =.

Для полной постановки задачи к соотношениям (0.1)—(0.15) следует добавить начальные условия.

Uj (x, 0) = u0j (x), х G Qj, divuoj = 0,.

0.20).

0j (x, 0) = eoj (x), xeQj,.

Cj (x, 0) = %'(х), x G Qj.

В случае присутствия ПАВ добавляется начальное условие s (x, 0) = so (x) — х G Fi, Гх — свободная граница f2i. Далее в диссертационной работе для двуслойных смесей будем полагать j = 1,2, а для однослойных j = 1 и индекс «1» опускается.

Цель диссертационной работы заключается в исследовании устойчивости состояния равновесия двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных бинарных смесей с общей поверхностью раздела и однослойного термодиффузионного движения смеси в плоском слое со свободной границей, а также изучении инвариантного решения уравнений термодиффузии под действием нестационарного градиента давления.

Методы исследования. В качестве математической модели используются уравнения термодиффузии с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхности раздела и свободной поверхности. С помощью метода нормальных возмущений исходные уравнения сводятся к задаче на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для получения результатов использовались методы решения дифференциальных уравнений, асимптотические и численные методы. Спектральные задачи решались методом ортогонализации с применением метода секущих. Кроме того использовался метод преобразования Лапласа, метод априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации впервые исследованы устойчивость течения плоского слоя со свободной поверхностью, устойчивость равновесного состояния бинарных смесей с поверхностью раздела методом ортогонали-зации Годунова С. К., адаптированного для задачи с поверхностью раздела. Исследованы начально-краевые задачи, описывающие двуслойные течения бинарных смесей, получены априорные оценки возмущений скорости, температуры и концентрации.

Теоретическая и практическая значимость. Проведенные исследования вносят определенный вклад в изучение факторов влияющих на устойчивость равновесия и движения бинарных смесей с общей поверхностью раздела, а также обладающих свободной границей. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании явлений, происходящих в смесях в условиях, близких к невесомости.

Достоверность полученных результатов. Достоверность результатов диссертации подтверждается использованием классических математических моделей механики сплошных сред и математических методов их исследования, а также согласованием аналитических решений и данных численных расчетов.

Перейдем к описанию структуры и содержания диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, которые делятся на пункты, заключения и списка литературы. Нумерация формул в работе двойная и сквозная внутри каждой главы: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на порядковый номер формулы в этой главе. Нумерация рисунков сквозная по всей работе (рис. 1−16) — основные графики вынесены в конец работы.

Список литературы

составлен в алфавитном порядке, в конце списка перечислены основные работы автора.

Заключение

.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Найдено равновесное состояние смесей с общей поверхностью раздела в плоских слоях, ограниченных твердыми стенками, и для монотонных возмущений этого равновесия получено явное представление числа Марапгони. Построенные нейтральные кривые показывают, что при увеличении числа Соре область устойчивости смещается в сторону больших чисел Марангони.

2. Полная спектральная задача решена численно методом ортогонализа-ции Годунова С. К., специально адаптированным для задачи с граничными условиями на двух твердых стенках и условиями на поверхности раздела. Показано, что при увеличении термокапиллярного эффекта на границе раздела устойчивость равновесного состояния понижается, усиление термодиффузионного эффекта приводит к увеличению поверхностного натяжения, а значит и к стабилизации границы раздела.

3. Исследована устойчивость точного стационарного решения уравнений термодиффузии, описывающего термокапиллярное течение в плоском слое со свободной границей (возвратное течение). Для стационарных плоских возмущений получена аналитическая зависимость нейтральных чисел Марангони от волнового числа и безразмерных физических параметров. Численное решение полной спектральной задачи приводит к выводу о том, что здесь наиболее опасными являются двумерные возмущения. Показано, что при росте числа Марангони уменьшается область длинноволновой устойчивости.

4. Изучено инвариантное решение задачи для термодиффузионного движения двух несмешивающихся смесей в плоских слоях с общей поверхностью раздела. Получены априорные оценки возмущений скорости и температуры.

Найдено стационарное состояние системы и показано, что если градиент давления в одной смеси достаточно быстро стремится к нулю, то происходит торможение смесей за счет вязкого трения. То же самое справедливо для температуры и концентрации. Если градиент давления отсутствует, то скорости, температуры и концентрации выходят на стационарный режим: скорости — на течения Куэтта в слоях, а температуры и концентрации описываются полиномами третьего порядка по у. В случае существования конечного предела градиента давления скорости выходят на стационарный режим типа течения Пуазейля, а температуры и концентрации описываются полиномами четвёртого порядка по у.