Новые решения уравнений двумерной анизотропной пластичности

Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений плоской (двумерной) идеальной анизотропной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

Актуальность. В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами А. Треска, Б. Сен-Венана, М. Ле-ви.

Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой, как для механиков, так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.

Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли [24], А. Надаи [36, 37], Е. Оната [24], В. Прагера [44], Л. Прандтля [15, 24, 29], Б. Сен-Венана [24, 29], Р. Хилла [60] и др.

Вопросам и задачам теории идеальной пластичности, упругопластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б. Д. Аннина [2], Г. И. Быковцева [6,7], Ю. Н. Радаева [24], Д. Д. Ивлева [22−24], А. Ю. Ишлинского [25,26], Л. М. Качанова [29], Р. И. Непершина [24], В. В. Соколовского [53], С. А. Христиановича [61], А. И. Хромова [62,63], В. М. Садовского [45] и др. [1, 10, 11, 20,21,32, 34,35,41,42, 43,54].

Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в пространственном случаях. Что касается получения точных решений в замкнутом виде, то здесь стоит отметить работы Л. Прандтля [24, 29], А. Надаи [36,37], Д. Д. Ивлева [22−24], В. В. Соколовского [53], Б. Д. Аннина [2], С. И. Сенашова [46−51] и др.

За всю историю изучения системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных решений для реальных механических задач. Кроме того, точные решения используются для тестирования численных методовпозволяют оценивать надежность несущих конструкций и т. п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.

Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т. п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б. Д. Анниным [2], С. И. Сенашовым [46 — 51] для двумерных уравнений идеальной пластичности.

Целью работы является построение новых точных решений уравнений анизотропной теории пластичности с применением методов группового анализа, а также использование законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.

Методика исследования. В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены подробными доказательствами.

Основные элементы новизны в диссертации:

• предложена методика построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрий, построены новые решения;

• найдены новые точные решения уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае с помощью группы непрерывных преобразований;

• решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне с помощью законов сохранения.

Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений анизотропной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.

Апробация работы. Результаты, полученные в работе на разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:

1. ЬХУ Международной конференции «Герценовские чтения-2012» (Санкт-Петербург, 2012 г.);

2. II Всероссийской конференции «Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций», посвященной 85-летию со дня рождения профессора О. В. Соснина (Новосибирск, 2011 г.);

3. XIV Международной научной конференции, имени академика М. Ф. Ре-шетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010 г.);

Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ [5559]. Из них две статьи [55, 56] в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 67 наименований и занимает 129 страницы машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• рассмотрено как высшие симметрии плоской идеальной пластичности действуют на точные решения. Получены новые решения.

• найдены некоторые новые точные решения, которые являются аналогами точных решений в изотропном случае с помощью группы непрерывных преобразований, допускаемых системой уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае;

• с помощью законов сохранения решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопласти-ческом стержне.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ.

1. Адамеску, P.A. Анизотропия физических свойств металлов / P.A. Адамеску, П. В. Гельд, Е. А. Митюшков // М.: Металлургия. 1985. — 136 с.

2. Аннин, Б. Д. Групповые свойства уравнений упругости и пластичности./ Б. Д. Аннин, В. О. Бытев, С. И. Сенатов — Новосибирск: Наука, 1985. — 140 с.

3. Артемов, М.А. О соотношениях теории пластичности анизотропных сред / М. А. Артемов, С. Н. Пупыкин, Д. Ю. Шурупов // Мат. межд. школы-семинара. Современные проблемы механиники и прикладной математики. Воронеж: Изд. ВГУ. 2003. — С. 7−14.

4. Артемов, М.А. К теории пластичности анизотропных материалов / М. А. Артемов // Проблемы механики: сб. статей, к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского, М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2003. — С. 100 — 105.

5. Бровман, М.Я. О движении пластической массы в криволинейном канале / М. Я. Бровман // Прикл. механика. 1983. № 8. — С. 121−124.

6. Быковцев, Г. И. О плоской деформации анизотропных идеально-пластических тел / Г. И. Быковцев // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и Машиностроение. № 2. 1963.-С. 151−157.

7. Быковцев, Г. И. О сжатии пластического слоя жесткими шероховатыми плитами с учетом сил инерции / Г. И. Быковцев //Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1960. — № 6. — С. 140−142.

8. Вигнер, Э. Инвариантность и законы сохранения. / Э. Вигнер //Этюды о симметрии — Издательство: Едиториал УРСС—320 стр.

9. Виноградов, A.M.

Введение

в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений / A.M. Виноградов, И. С. Красилыцик, В. В. Лычагин. М.: Наука. 1986. -336 с.

10. Гениев, Г. А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов / Г. А. Гениев, A.C. Курбатов, Ф. А. Самедов // М: Интербук. 1993. — 183 с.

11. Гениев, Г. А. Плоская деформация анизотропной идеально пластической среды / Г. А. Гениев //Строит, мех. и расчет сооружений. 1982. — № 2. — С. 7982.

12. Гениев Г. А. Характеристические линии и линии слабых разрывов в плоской динамической задаче пластичности / Г. А. Гениев. М. :ЦНИИСК, 1959. -110 с.

13. Дородницын, В.А. групповые свойства разностных уравнений / В. А. Дородницын. — М.: Физматлит, 2001.-236 с.

14. Дубровин, Б. А. Современная геометрия. Методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. -Изд. 2-е, перераб. -М.:Наука, 1986.-760 с.

15. Ершов, J1. В. Об обобщении решения JI. Прандтля о сжатии пластического слоя шероховатыми плитами / JL В. Ершов, Д. Д. Ивлев, A.B. Романов // Современные проблемы авиации и космонавтики. 1982. — № 1 — С. 137−144.

16. Задоян, М. А. Частное решение уравнений теории идеальной пластичности в цилиндрических координатах / М. А. Задоян // ДАН СССР. 1964. Т. 157, № 1.—С. 73−75.

17. Задоян, М.А. О некоторых решениях уравнений пластического течения анизотропной среды / М. А. Задоян // Изв. АН СССР. МТТ. 1966. № 2. —С. 9196.

18. Задоян, М. А. Частное решение уравнений идеальной пластичности / М. А. Задоян // ДАН СССР. 1964. Т. 156, № 1. —С. 38−39.

19. Задоян, М. А. Пластическое течение конусообразных тел / М. А. Задоян // ПММ. 1980. Т. 47, вып. 27. —С.209−218.

20. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов // М.:Наука, 1983. — 280 с.

21. Ибрагимов, Н. Х. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Н. Х. Ибрагимов, Л. В. Овсянников // Итоги науки и техники. Общая механика. -М.:ВИНИТИ, 1975. — Т. 2. — С. 5−52.

22. Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев // М.-: Наука, 1966;230 с.

23. Ивлев, Д. Д. Об одном классе решений общих уравнений теории идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев // Изв. АН СССР. ОТН. Мех.имаш. 1958. № 11. —С. 107−109.

24. Ивлев, Д. Д. Предельное состояние деформированных тел и горных пород. / Д. Д. Ивлев, С. И. Сенашов, A.A. Максимова, Р. И. Непершин, Ю. Н. Радаев, Е. И. Шемякин // Москва: Физматлит, 2008 — 832 с.

25. Ишлинский, А. Ю. Осесимметрическая задача теории пластичности и проба Бринелля / А. Ю. Ишлинский // ПММ. 1944. Т. 8, вып. 3. —С. 201−224.

26. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев // Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2001 г. —704 с.

27. Казакевич, Г. С. Механика сплошных сред. Теория упругости и пластичности / Г. С. Казакевич, А. И. Рудской // Издательство: СПбГПУ, 2003 г. —266 стр.

28. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. / Э. Камке // М.: Наука, 1971. — 700 с.

29. Качанов, Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов // М.: Наука, 1969. —420 с.

30. Киряков, П. П. Приложение симметрии и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений / П. П. Киряков, С. И. Сенашов, А. И. Яхно // Новосибирск: СОРАН, 2001. — 192 с.

31. Кузнецов, Е. Е. Условие полной пластичности ортотропных сред / Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко, И. Н. Матченко // Проблемы механики: сб. статей, к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского, М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. — С. 502 — 510.

32. Липман, Г. Теория главных траекторий при осесимметричной пластической деформации / Г. Липман // Механика жидкости и газа. М: Наука, 1973.

33. Матченко, Н. М. Плоская задача теории идеальной пластичности анизотропных материалов/ Н. М. Матченко, Л. А. Толоконников //Изв. АН СССР, МТТ. -1975;№ 1.-е. 169−170.

34. Мизес, Р. Механика твердых тел в пластически деформированном состоянии / Р. Мизес // Теория пластичности: сб. ст. — М.: ИЛ, 1948. — С. 57−69.

35. Михлин, С. Г. Основные уравнения математической теории пластичности / С. Г. Михлин. — Л.: АН СССР, 1934. — 71с.

36. Надаи, А. Пластичность и разрушение твердых тел. Т. 1./ А. Надаи // М.: ИЛ, 1954. —647 с.

37. Надаи, А. Пластичность / А. Надаи // М.- Л.: ОНТИ, 1936. — 280 с.

38. Новацкий В. К. Волновые задачи теории пластичности / В. К. Новацкий //М, Мир, 1979.

39. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Овсянников, Л.В. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

40. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Овсянников, Л.В. — Новосибирск: СО АН СССР, 1962. — 240 с.

41. Олыпак В. Современное состояние теории пластичности / В. Олыиак, 3. Мруз, П. Пежина // М.: Мир, 1964. — 243 с.

42. Панарелли Ж. Жесткопластический анализ напряженного состояния трубы, находящейся под действием давления, осевой силы и крутящего момента / Ж. Панарелли, П. Ходж // Прикл. мех. Тр. Америк, о-ва инж.-мех. Сер. Е. 1963. Т. 30.-№ 3.

43. Подскребко, М. Д. Сопротивление материалов. Основы теории упругости, пластичности, ползучести и механики разрушения/ М. Д. Подскребко // Издательство: Высшая школа, 2009 г.— 672 стр.

44. Прагер, В. Трехмерное пластическое течение при однородном напряженном состоянии / В. Прагер //Механика. Сб. переводов и обзоров иностр. литературы. 1958. — № 3. — С. 23 — 27.

45. Садовский, В. М. Разрывные решения в задачах динамики упругопла-стических сред / В. М. Садовский // Москва: Наука, 1997. — 208 с.

46. Сенашов, С. И. Об одном классе точных решений уравнений идеальной пластичности / С. И. Сенашов // Журнал ПМТФ. 1986. — № 1. —С. 139−142.

47. Сенатов, С. И. Поля скоростей в задаче Прандтля о сжатии пластического слоя / С. И. Сенатов // Журнал ПМТФ. — Новосибирск: Наука, СО АН СССР, 1984.-№ 1.—С. 155−156.

48. Сенатов, С. И. Симметрии и инвариантные решения уравнений идеальной пластичности / С. И. Сенатов //Современный групповой анализ: методы и приложения. Некоторые задачи математической физики сплошных сред. JI.: ЛИАН, 1990. — препринт № 115. — С. 4 -13.

49. Сенатов, С. И. Групповой анализ уравнений анизотропной идеально пластической среды / С. И. Сенатов // Докл. АН СССР, 1991. Т. 316. № 6. — С. 1374−1377.

50. Сенатов, С. И. Сжатие пластического слоя между жесткими плитами, сближаюпщмися с постоянным ускорением / С. И. Сенатов // Динамика сплошной среды. Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1982. -Вып.68.-С. 112 119.

51. Сенатов, С. И. Об эволюции решения Прандтля под действием группы симметрий / С. И. Сенатов // Механика твердого тела. 2005. — № 5. — С. 167−171.

52. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физикиПод редакцией А. М. Виноградова и И. С. Красильщика Издательство: Факториал Пресс, 2005 г. —384 стр.

53. Соколовский, В. В. Теория пластичности / В. В. Соколовский // М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.

54. Томас, Т. пластическое течение и разрушение в твердых телах / Т. Томас // М: Мир, 1964. — 308 с.

55. Филюшина, Е. В. Преобразование точных решений уравнений пластичности высшими симметриями / С. И. Сенатов, Е. В. Филюшина // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева — 2011/- Т.4 (37). — С.90−92.

56. Филюшина, Е. В. Некоторые точные решения уравнений анизотропной теории пластичности / С. И. Сенатов, Е. В. Филюшина // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетне-ва — 2011/ - Т. 5 (38). — С.92−95.

57. Филюшина, Е. В. Законы сохранения и их использование для решения задач пластичности / С. И. Сенатов, Е. В. Филюшина //Решетневские чтения: материалы XIV Междунар. науч. конф., имени академика М. Ф. Решетнева (10−12 нояб. 2010, г. Красноярск) — под общ. ред. Ю. Ю. Логинова. / Сиб. гос. аэрокосм, унт. — Красноярск, 2010. — 4.2. — С. 649−650.

58. Филюшина, Е. В. Аналитические решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне / С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина // Динамика сплошной среды. Вып. 127 — Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 2012.

59. Филюшина, Е. В. Новые точные решения уравнений анизотропной теории пластичности / С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина, О. В. Гомонова // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования. Герценовские чтения-2012 г. — СПб.:БАН, 2012. — С. 103−108.

60. Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл // М.: Гостех-издат, 1954.-407 с.

61. Храстианович, С. А. Механика сплошных сред / С. А. Храстианович // М.: Наука, 1981. —483 с.

62. Хромов, А. И. Деформация и разрушение жесткопластических тел / А. И. Хромов // Владивосток: Дальнаука, 1996. — 181 с.

63. Хромов, А.И. / А. И. Хромов, Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев // Плоская деформация. В кн.: Теория пластичности. — Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 325 408.

64. Яхно, Л. В. Суперпозиция решений Надаи и Прандтля для задач плоской пластичности / Яхно Л. В. // СибЖИМ, 2009, № 3.

65. Senashov, S.I. Symmetries and conservation laws of 2-dimentional ideal plastisity /S.I. Senashov, A.M. Vinogradov // Proc. Edinburgh Math. Soc., 1988. -P.415−439.

66. Stewart, J.M. The Euler-Poisson-Darboux equation for relativists / Stewart, J.M. // Gen. Relativ Gravit. (2009), v.41, p. 2045;2071.

67. Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws / A.M. Vinogradov // Acta-Apl. Math., 1984. — V.2. № 1. — P.21−78.