Исследование некоторых задач о растекании тонкого пластического слоя по поверхностям деформируемых упругих тел

В диссертации исследуются нестационарные контактные задачи растекания пластических слоев между сближающимися по заданному закону поверхностями упругих тел инструмента, подчиняющихся модели винклеровского упругого основания. К указанным задачам примыкает большинство технологических процессов обработки материалов давлением: штамповка и прессование тонкостенных элементов конструкций, дрессировка, тонколистовая прокатка и др. По существу, это сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, протекающие при комбинированных температурных и силовых воздействиях. Немаловажную роль в них играет деформационное и скоростное упрочнение материала. Существенным оказывается учет неоднородностей свойств материала слоя, в том числе как начально заданных неоднородностей (течения в многослойном пакете), так и неоднородностей, вызванных теплообменом с внешними телами (горячие процессы), тепловыделениями за счет диссипации механической энергии и разогрева в результате работы сил контактного трения скольжения. В высокоскоростных процессах обработки давлением значимую роль могут играть силы инерции. Для процессов пластического течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок превышающие величины сдвиговых напряжений. а значит, неоправданным может оказаться неучет упругих деформаций самих воздействующих тел, что сказывается на точности изготовления конечной детали. Последнему вопросу в настоящей работе придается первостепенное значение. С другой стороны, в процессах растекания пластических слоев значимую роль может играть объемная сжимаемость материала обработки (порошковые материалы). Важно уметь выбирать режимы эффективного применения промежуточных смазок в процессах растекания пластических слоев, что также сказывается на результатах расчетов (накопление деформаций вблизи поверхности контакта и возможные разрушения, экономия энергозатрат). Следует также отметить, что в практику пластической обработки материалов давлением активно внедряются штампы и инструменты, имеющие контактные поверхности с анизотропными свойствами относительно сил трения (поверхности с рельефными очертаниями), в связи с чем приходится по-другому осмыслить и поставить условия на поверхностях контакта. Другой важной особенностью процессов пластического течения в тонких слоях является то, что в них, как правило, неизвестными оказываются как границы областей течения, так не определены и сами граничные условия. Актуальной остается проблема определения закона изменения границы растекающейся области пластического слоя при одновременном учете разнообразия присущих рассматриваемым процессам характерных особенностей их протекания. При проектировании и расчете технологических процессов производства ребристых пластин и оболочек сталкиваются с определением как границы растекающейся области, так и количества затекающего в пазы материала. На сегодняшний день уже появились и получают дальнейшее развитие геометрически нелинейные теории пластичности, в том числе и вариант теории упруго-пластических процессов А. А. Ильюшина на случай конечных деформаций (П.В.Трусов, JT.А. Толоконников, Г. Л. Бровко, В. И. Левитас, E.H.Lee и др.), однако в силу их чрезвычайной математической сложности они не нашли еще широкого практического применения, в том числе и в расчетах процессов пластической обработки давлением. Наибольшее признание при описании процессов пластического течения металлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации получила теория пластичности для траекторий малой кривизны.

В основу настоящей диссертации положена теория течения в тонком пластическом слое, предложенная А. А. Ильюшиным. Данная теория берет начало с качественного анализа решения Л. Прандтля классической задачи о сжатии полосы из идеально-пластического материала между двумя шероховатыми плоскостями тел инструмента. Прандтль построил предельное поле напряжений, подчиняющееся условию пластичности Мизеса, а Надаи дополнил его кинематической картиной течения. определяется характерные толщина и линейный размер слоя. В частности, решение Прандтля-Надаи подтверждает.

Точность данного решения параметром факт о проскальзывании материала полосы вдоль поверхности контакта.

Результаты проведенных Е. П. Унксовым [107] экспериментов по осадке свинцовых полос, осуществленных в условиях полного контакта, показали, что вдоль поверхности контакта вблизи свободного края располагается зона скольжения, где сила трения подчиняется закону Кулона {T = JUp). Далее она переходит в зону торможения, где сила давления возрастает вглубь слоя, а сила трения при этом принимает максимальное значение (Г = Г.). И, наконец, ближе к линии ветвления течения примыкает зона застоя, где напряжение трения убывает до минимального значения. С уменьшением отношения) г т. е. с утоньшением полосы, размеры зон скольжения и торможения соответственно уменьшаются. Экспериментальные данные по определению напряжений на поверхности контакта приводятся в работах [91,98,99,107,108].

На основе проведенного анализа решения Прандтля-Надаи А. А. Ильюшин выдвинул гипотезы кинематического характера, а также относительно сил трения на контакте, с помощью которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом слое [22,23]. Указанные течения характеризуются высокими контактными давлениями, на порядок превышающие сдвиговые напряжения: Л.

-> 0 при Р -" 00, так что определяющими механическими параметрами в таких процессах являются контактное давление р, а также скорости течения U, U вдоль слоя. В этой же работе приводятся постановки трех основных задач течения в тонком пластическом слое. Представим ниже первую основную задачу течения пластического слоя в упрощенной постановке с помощью нелинейных уравнений в частных производных первого порядка:

1) (2).

3) давления основной формой ds2 = A2da2 + B2dp2 в главных осях. Здесь h (a, p, t)~ известный закон изменения толщины слоя, причем тела инструмента предполагаются не деформируемыми,.

U^OC,= 1,2 — заданные скорости внутренних движений внешних тел, JJLкоэффициенты трения, 7^/?,//., напряжения трения на контакте, которые считаются известными из опыта функциями указанных аргументов,.

Рй (//) — заданное давление в точках контура sradp = -— h u-vx u-v{.

1 I — — | 2.

V Iy-Uil v-v.

My dh+ 1 d (hBu) 1 d (hAv) dt AB да AB dp для определения скоростей u{cl, P, tv (cc, P, t), p (cc, P, t) в области S (a, P, t) на заданной поверхности с первой дифференциальной.

U-Uрастекающейся области, ju — параметр, меняющийся вдоль контура. В частности, для свободно растекающейся области имеем /?0(//)=<7.

Краевая задача для растекающегося пластического слоя в постановке (1)~ (3), с использованием метода характеристик, в каждой стадии процесса растекания в работе [56] сведена к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений da cosy d/5 sin у dp ds A ds В ds П, (4) dy U n. a ^ l ". fsmy + -^-cosy +—[Apcosy — Basmy), ds Q v A ¦ В.

AB с краевыми условиями в точках контура области = <*(ц Р = Р (цр = р (мР = Р (м Я = (5) с одновременным вычислением вдоль характеристических линий двух интегралов.

J,(s) = exp^-)y/(s')ds о .V.

Тогда для скорости течения в слое = 77−7W (*W2(s))> (7) h (s) где уугол между касательной к линии тока и осью аu = -u (cos yi + sin yj);

Апостоянная, определяемая из условия ветвления течения v (s = speepa) = 0 в неизвестных, но определяемых в ходе решения (4) точек следа ребра поверхности давлениязначения dp др Р = —, Я = да др в условиях (5) для точек однозначно из выполнения условий dpn da dB — = р — + q—, d/л dju d/л контура выбираются.

8) fpY r + kBJ.

— Q2(a, p) = 0, (9).

A = FBRet pr fi q ft ' где использованы обозначения dh h dt.

11 1. wis) =—+ —cosy +—sinr,.

R{s) R Ra.

10).

11).

R = V.

JdA AB dj3 Y y.

A =.

1 dB.

— 1 V.

AB da касательные радиусы кривизны линии, а и р на основной поверхности;

— геодезическая кривизна линии уровня р (а, р) = const.

В работе А. А. Ильюшина [22] решена задача о растекании тонкого кольцевого слоя постоянной толщины. В работах А. А. Ильюшина [24], И. А. Кийко [38] исследована нестационарная плоская задача пластического течения в полосе с неоднородностью свойств по толщине, вызванной интенсивным теплообменом с внешними телами. Для определения зон затвердевания, примыкающих к поверхности контакта, привлекается принцип минимума мощности внешних сил. С учетом последнего обстоятельства им предложен один вариант теории пластических течений в тонком слое. В работе А. И. Кузнецова [45] выписывается формальное решение задачи об осадке пластической полосы с заданной неоднородностью свойств по толщине, однако не дается его обоснование. Для решения задач течения пластического слоя постоянной толщины на плоскости А. А. Ильюшин предложил метод аналогий с песчаной насыпью [23], когда линии тока являются прямыми, он нашел выражение для скоростей течения в точках контура свободно растекающейся области где Rрадиус кривизны в точке контура, fQ-величина, характеризующая точку ребра поверхности давления вдоль рассматриваемой линии тока. На основе формулы (12) В.Н.Безухов[5] вывел дифференциальное уравнение, позволяющее восстановить контур у = у (х, е) свободно растекающегося пластического слоя y2y'a + 2y{ + y-) = 2yt, (13) по известной начальной области y{*>e)L о = Ф).

Дифференциальное уравнение (12) для восстановления контура свободно растекающегося слоя на плоскости для более общего случая h = h (x, y, t) выведено в работе И. А. Кийко [35] .

В работе [23] поставлена стационарная задача о прокатке листа при малой степени обжатия, исследован вопрос о существовании участка сцепления. В работе.

4] решена эта задача при произвольной степени обжатия, причем доказана теорема А. А. Ильюшина о существовании зоны застоя в зависимости от ширины прокатываемого листа.

Существенный вклад в развитие теории течения в тонком пластическом слое внес И. А. Кийко [30−43] .Им сформулирована задача течения в тонком пластическом слое в пространстве между двумя сближающимися упругими поверхностями внешних тел, предложен вариационный метод для определения давления под штампами. В работах П. М. Огибалова и И. А. Кийко [78,79] рассчитаны с помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин, а также проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. В работе [7] предложен эффективный численно-аналитический способ определения контактного давления, а также упругих перемещений под штампом, представлены результаты их счета для области в плане формы прямоугольника, при этом упругие перемещения под штампом рассчитаны как по формулам для упругого полупространства, так и по формулам для упругой плиты. Следует отметить также работы И. В. Костарева [47, 48], который на основе теории течения тонких пластических слоев разработал методы расчета процессов штамповки ребристых поковок сложной формы. В работе Ю.С.Арутюнова[4] применен метод преобразования Лежандра, с помощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи течения пластических слоев, построены эпюры контактных давлений. Большой вклад в развитие теории течения тонких пластических слоев (ТТТПС) внес В. А. Кадымов. Им разработан общий метод расчета нестационарных задач растекания пластических слоев[51], предложена новая постановка краевой задачи течения пластических слоев по поверхностям, обладающими анизотропными свойствами относительно сил трения на контакте. где тензор (р характеризует пару трущихся поверхностей. В частности, из (14) следует, что векторы Т и V — VT, вообще говоря, не коллинеарны. Для нее обоснован метод характеристик.

И наконец, следует отметить работы С. С. Григоряна [14], Д.Д.Ивлева[26], Л.К.Кийко[77], А. Н. Мохель и P.JI.Салганика[73], А.А.Остсемина[81], С.И.Сенашова[88], В.В.Соколовского[91], Н.Д.Тутышкина[105], J1.M.Флитмана [113], посвященные различным обобщениям задачи Л. Прандтля о сжатии пластической полосы.

Передадим краткое содержание диссертации.

Цель диссертационной работы состоит в применении уточненной математической модели применительно к процессам течения тонких пластических слоев, позволяющей более строго ставить задачи пластической обработки металлов и получить тем самым более точные их решения. В работе обобщаются известные краевые задачи растекания пластических слоев между сближающимися поверхностями недеформируемых тел инструмента на случай учета упругих деформаций воздействующих тел и таким образом обобщаются методы решения соответствующих краевых задач и строятся новые решения конкретных практических задач растекания пластических слоев.

Методика исследований. В основу диссертации положен математический аппарат теории пластического течения Мизеса-Сен-Венана, методы исследования и решения нелинейных уравнений математической физики, такие как метод малого параметра и асимптотические методы, а также методы приближения решений степенными рядами специального вида, выбираемого в зависимости от поставленной начально-краевой задачи.

Научная новизна. Во всей диссертации принимается модель винклеровского упругого основания для описания поведения сближающихся внешних тел инструмента, между которыми растекается слой пластического материала. Для указанных задач выведено в строгом виде нелинейное дифференциальное уравнение эволюционного типа для определения контура растекающейся области. Ввиду чрезвычайной сложности изучаемой задачи предполагается, что область, занятая растекающимся пластическим слоем, обладает осью симметрии, так что оказываются известными линии ветвления течения. В частном случае растекания пластического слоя по недеформируемым поверхностям показано, что это уравнение переходит в известное дифференциальное уравнение И. А. Кийко.

В настоящей работе отдельно исследуется характерный для практики случай малости параметра, представляющего отношение нормального упругого перемещения тел инструмента к толщине растекающегося пластического слоя. Это позволяет линеаризовать по малому параметру дифференциальное уравнение растекания пластического слоя. Решение последнего дифференциального уравнения в диссертации ищется в виде суммы решения соответствующей «невозмущенной» задачи (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) и поправки, вызванной учетом упругих деформаций тел инструмента. Если считать решение «невозмущенной» задачи известным (такую задачу мы умеем решать!), то для определения упомянутой выше функции-поправки выведено линейное неоднородное дифференциальное уравнение с известными коэффициентами и правой частью, определяемыми из решения невозмущенной задачи.

В диссертации получены в аналитическом виде поправочные функции для решения конкретных задач растекания пластического слоя. В литературе известны точные решения невозмущенных задач растекания пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной кривой второго порядка: гиперболой, эллипсом, параболой, парой пересекающихся прямых. Для всех перечисленных задач в работе получены поправки-функции в виде степенного ряда специального вида, определяемого видом решения соответствующей невозмущенной задачи. В каждой задаче представлены выводы из полученных аналитических решений, согласующиеся с практикой.

Достоверность результатов обеспечена использованием широко распространенных на практике математических моделей изучаемых процессов, математической строгостью постановок задач и их анализа, сравнением с известными результатами.

Изложим кратко основное содержание работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получила дальнейшее развитие теория течения в тонком пластическом слое (ТТТПС) по деформируемым поверхностям в постановке Ильюшина-Кийко. В ней представлены следующие научные результаты, принадлежащие лично автору:

1. Краевая задача о растекании пластического слоя по упруго-деформируемым поверхностям для случая винклеровской модели упругого основания сведена к нелинейному дифференциальному уравнению эволюционного типа относительно одной неизвестной функции, определяющей границу контура свободно растекающейся области. Показано, что в предельном случае (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) указанное уравнение переходит в известное уравнение свободного растекания пластического слоя, выведенное И. А. Кийко.

Даны упрощенные представления дифференциального уравнения растекания для двух случаев растекания пластического слоя в узкой клиновидной области и в тупой клиновидной области, близкой к полуплоскости. 2. Подробно исследуется случай малости параметра, характеризующего отношение нормального упругого перемещения тел инструмента к толщине растекающегося пластического слоя. Для этого случая проведена линеаризация уравнения растекания по малому параметру. Решение последнего уравнения строится в виде суммы решения невозмущенной задачи (растекание пластического слоя по недеформируемым поверхностям) и поправочной функции, вызванной учетом упругих деформаций тел инструмента. Считая решение невозмущенной задачи известной, для определения поправочной функции в диссертации получено линейное неоднородное дифференциальное уравнение с известными коэффициентами. 3. Решен класс задач растекания пластического слоя в области, в начальный момент ограниченной кривой второго порядка (эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых). Для всех перечисленных задач в диссертации получены точные представления для поправочных функций в виде степенных рядов специального вида, определяемых видом решения соответствующей невозмущенной задачи, причем точно находятся все коэффициенты в указанном разложении. Представлены следствия из полученных решений.