Внезапные разрушения ответственных конструкций, которые происходят при сравнительно невысоких расчетных напряжениях и в спокойных условиях, при сравнительно малых деформациях после длительного времени нормальной работы, выявили необходимость более глубокого подхода к анализу прочности, подчеркнули значение трещин и их роста в проблеме разрушения, необходимость введения новых характеристик прочности, учитывающих трещиностойкость (вязкость), способность противостоять начавшемуся разрушению [15], [17] - [19] [21], [28], [41], [43], [54]. Современные экспериментальные данные убедительно свидетельствуют о постепенном развитии разрушения, о большой роли первичных дефектов, микротрещин в формировании картины разрушения. Трещины начинают развиваться задолго до полного разрушения. Конструкции из новых высокопрочных материалов, которые при стандартных испытаниях обнаруживают высокую прочность, при некоторых условиях разрушаются путем распространения трещины задолго до исчерпания расчетной несущей способности. Анализ хрупких разрушений конструкций показывает, что в очагах изломов всегда имеются начальные трещины. Разрушение не является единовременным актом, оно развивается с большей или меньшей скоростью и представляет собой некоторый, иногда длительный, процесс. Для оценки реальной прочности конструкций и пригодности тех или иных материалов, необходимо учитывать влияние трещин, определить связь между свойствами сплошного материала и его сопротивляемостью зарождению и развитию трещин, усовершенствовать на этой основе способы испытания материалов и прогнозирования долговечности элементов конструкций [12], [13], [17], [28].
Разрушение (макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего окружения) обычно развивается параллельно с упругой или пластической деформацией твердого тела, или в условиях ползучести. Исследование скрытого разрушения (зарождение и развитие микродефектов, рассеянных по объему тела) осуществляется с помощью методов и теорий механики поврежденности — нового динамично развивающегося раздела механики деформируемого твердого тела [8], [17], [23], [37], [44], [52], [72], [75], [81].
Изменение со временем механических свойств материалов феноменологически нередко можно интерпретировать как некоторые процессы накопления повреждений, различных дефектов, микропор, трещин. Когда повреждения достигают опасного уровня, происходит разрушение. Трещинообразование начинается на самых ранних этапах деформации и связано с ростом имеющихся и возникновением новых суби микродефектов. В материале всегда имеется большое число различных дефектов, приводящих к высоким местным напряжениям. Повреждения можно разделить на рассеянные дефекты — малые по размерам и встречающиеся во множестве в единице объема, и крупные, магистральные трещины, появляющиеся обычно в финале процесса разрушения. Процесс накопления рассеянных повреждений можно описать путем введения некоторой априорной характеристики поврежденности [17], [23], [72], которая чаще всего трактуется как сокращение упругого отклика тела вследствие сокращения эффективной площади составляющих его элементов, передающей внутренние усилия от одной части тела к другой его части, обусловленного, в свою очередь, появлением и развитием рассеянного поля микродефектов [8], и может быть установлена сравнением следствий теории с экспериментальными данными.
Уменьшение прочности (свойства тела сопротивляться воздействиям со стороны внешнего окружения) твердых тел часто может быть объяснено скрытым разрушением и микродефектной структурой тела. Таким образом, так как повреждения тела существенно влияют на характер его разрушения, то становится очевидным, что и механика разрушения и механика поврежденности призваны решить главную прикладную задачу об оценке запаса прочности твердого тела [8].
В простейшем варианте поврежденность можно описать некоторым скаляром, структурным параметром 1 > ф > О (J1.M. Качанов [16]). В начальном состоянии при отсутствии поврежденности ф = 1- с течением времени функция ф убывает. Функцию ф, по сути дела, можно интерпретировать как сплошность.
Ю.Н. Работнов [22] ввел функцию и > 0, равную нулю в начальном состоянии и единице в момент разрушения, которую можно принять за меру охрупчивания. Функцию и естественно назвать поврежденностью1 (в отличие от сплошности ф) — можно считать, что ф = 1 — и. Величина аможет быть интерпретирована как относительная площадь поперечного сечения, занятая трещинами. Предполагается, что скорость изменения параметра ш зависит от напряжения и от и. Такое предположение позволяет считать и за один из структурных параметров. Простейшая гипотеза состоит в том, что и есть степенная функция отношения <т/(1 — а-), это отношение может быть истолковано как среднее напряжение на площади поперечного сечения, свободной от трещин [23], [24].
В конце 70-х годов моделирование роста трещины основывалось на предположении, что рост трещины происходит в том случае, если некоторая мера поврежденности достигает своего критического значения на некотором расстоянии от вершины трещины. В [1], [76] при моделировании роста трещин использовался скалярный параметр поврежденности Качалова — Работнова. В [99] параметр поврежденности связывался с величиной пористости материала и предполагалось, что процесс накопления повреждений обусловлен совместным действием диффузионного и вязкого механизмов роста пор в условиях высокотемпературной ползучести. В [55] в качестве меры повре.
В русскоязычной литературе параметр поврежденности, как правило, обозначается буквой ш, а в англоязычной — D. жденности материала принималась величина интенсивности накопленных деформаций ползучести. Модель, описывающая рост трещины в условиях ползучести, в более общей постановке, была предложена в [2]. В рамках этой модели предполагалось, что величина критической поврежденности материала не является постоянной, зависит от уровня напряжений и убывает при возрастании интенсивности напряжений.
Экспериментальные данные [17], [23] свидетельствуют о том, что повреждение материала носит направленный характер, определяемый, в частности, напряженным состоянием. Однако, если нагружение простое, можно в известных случаях не учитывать направленность повреждений.
Геометрический подход [87] позволяет учесть анизотропию состояния поврежденности и представить эффект возрастания внутренних напряжений в среде с повреждениями с помощью понятия эффективного напряжения. Сущность этого подхода к математическому моделированию процессов накопления повреждений может быть достаточно явно продемонстрирована на примере простейшего одномерного состояния поврежденности одноосно растянутого образца [20], [95]. Рассмотрим цилиндрический образец, растягиваемый силой Р (рис. 1). Обозначим через So и S площади поперечных сечений образца в начальном неповрежденном и текущем поврежденном состояниях соответственно.
В соответствии с классической теорией Качанова — Работнова, текущее состояние внутренней поврежденности образца может быть представлено с помощью единственного скалярного параметра (параметра поврежденности) о-, который представляет собой монотонно возрастающую функцию времени 0 < и < 1.
Параметр поврежденности интерпретируется как относительное сокращение вследствие распределенных внутри образца микродефектов эффективной, несущей нагрузку площади поперечного сечения. Деградация материала объясняется как постепенное уменьшение эффективной площади, которая реально несет растягивающую нагрузку и определяет сопротивляемость образца растяжению. В силу такой интерпретации несущая нагрузку площадь оказывается равной не S, а некоторому меньшему значению S* и для параметра и имеет место следующее простое соотношение:
S*.
Определенный таким образом параметр поврежденности представляет собой чисто геометрическую характеристику текущего состояния поврежденности и его изменение определяется свойствами материала и историей внешнего нагружения.
Вызванное внутренним распределением повреждений сокращение площади, несущей растягивающую нагрузку, сразу же приводит к важнейшему представлению об эффекте возрастания внутренних напряжений в теле с распределенными поврежденностями. Действительно, наряду с напряжением Р очевидно, следует рассмотреть эффективное напряжение аS* которое в силу определения параметра поврежденности можно также представить в виде сг =.
1-и.
Последняя формула выражает эффект повышения уровня напряжений в поврежденном материале, поскольку 0 < и < 1.
Таким образом, можно представить вместо исходного образца другой, воображаемый неповрежденный образец, площадь поперечного сечения которого равна S* и который растягивается той же самой силой Р. Механическое а*=(т/(1—ш) S'—(l—a)S.
Рис. 1: Поврежденный и эквивалентный неповрежденный образец состояние подобного образца полностью эквивалентно текущему состоянию поврежденного образца, а изменение геометрии полностью описывается параметром поврежденности и.
То, что поврежденность чаще всего носит ярко выраженный анизотропный характер, доказывают многочисленные эксперименты по измерению хрупкой поврежденности, существующей в форме полей микротрещин различной ориентации, коррозионной поврежденности в металлах, а также поврежденности при ползучести [8].
В [95] тензорная мера анизотропной поврежденности, которая является мерой сокращения, вследствие распределенных микродефектов, реально несущей нагрузку площади поверхностного элемента в зависимости от его ориентации, вводится как симметричный тензор второго ранга.
В процессе ползучести поврежденность с течением времени возрастает. Изменение сплошности ф можно описать некоторым кинетическим уравнением где F зависит от фи некоторых других переменных, существенных для рассматриваемого процесса. Процесс разрушения прежде всего зависит от уровня напряженного состояния. В [16] скорость уменьшения сплошности (или скорость роста поврежденности) определяется эффективным напряжением а/ф dt ~ Аф) ' где, А > 0, п > 0 — постоянные (А — коэффициент, п — показатель трещино-образования).
В [22] в левой части кинетического уравнения фигурирует величина ctAj, при этом показатель (3 учитывает форму трещины. Для окончательного результата это несущественно, меняется лишь некоторая константа, которая все равно подлежит определению из опыта.
Таким образом, система уравнений классической механики сплошной среды дополняется кинетическим уравнением, описывающим эволюцию введенного параметра — параметра сплошности или поврежденности. Необходимо отметить, что распределение сплошности (поврежденности) можно определить после решения задачи нахождения напряженно-деформированного состояния в теле путем интегрирования кинетического уравнения. Данный подход решения получил название «несвязанной постановки» задачи теории упругости, теории пластичности или теории ползучести с механикой поврежденности. В этом случае учитывается влияние напряженно-деформированного состояния на рост повреждений в теле [1], [3], [4], [76]. Однако в рамках данного подхода не удается описать взаимный процесс — процесс влияния поля повреждений на эволюцию напряженно-деформированного состояния в теле. Для учета взаимного влияния изменения напряженно-деформированного состояния и поля повреждений используется так называемая «связанная постановка» задачи, когда скалярный параметр сплошности входит в определяющие соотношения рассматриваемой задачи [23].
Проблемам определения напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины как стационарной, так и распространяющейся трещины в связанной постановке задач теории упругости, теории пластичности и теории ползучести с механикой поврежденности в последнее время посвящается большое количество исследований [5] - [8], [31], [70], [71], [79], [80], [83], [88], [89], [100], [105], [106]. Основной интерес представляет оценка влияния процесса накопления повреждений на распределение напряжений и деформаций (или скоростей деформаций ползучести). С практической точки зрения важно определить скорость докритического подрастания трещины.
Можно выделить характерные особенности, свойственные двумерным задачам о стационарной и растущей полубесконечных трещинах в бесконечном теле в связанной постановке (в связках упругость — поврежденность, ползучесть — поврежденность, пластичность — поврежденность и других более сложных связках).
В [5], [б], [65], [73], [79], [80], [106], [107] показано, что влияние накопления повреждений проявляется либо в полном устранении особенности напряжений в окрестности вершины трещины, либо в значительном ослаблении сингулярности поля напряжений сг^(г, ф) = Ar~afij ((p) (показатель степени, а в г~а уменьшается). В [5] установлено, что эффективные напряжения crij/ф, где — параметр сплошности Качанова-Работнова, ограничены при приближении к вершине трещины, а параметр сплошности и сами компоненты тензора напряжений линейным образом уменьшаются до нуля при г —> 0. В [106] представлен асимптотический анализ полей напряжений и деформаций в окрестности растущей усталостной трещины в связанной постановке для линейно упругих определяющих соотношений. Численное исследование полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для различных значений констант тип, входящих в кинетическое уравнение, задающее степенной закон накопления повреждений, показало, что связанность постановки задачи приводит к слабой сингулярности (по сравнению с классической асимптотикой линейной механики разрушения) поля напряжений для малых значений тип, тогда как при возрастании значений данных параметров особенность напряжений вообще исчезает. В [79] и [80], где представлено асимптотическое исследование полей напряжений, скоростей деформаций и параметра сплошности у вершины стационарной трещины нормального отрыва в упругом нелинейно-вязком материале со степенной зависимостью между напряжениями и скоростями деформаций ползучести, также учет влияния поврежденности приводит к устранению особенности поля напряжений в окрестности вершины трещины. В [73] проведен асимптотический анализ полей напряжений, скоростей деформации ползучести и распределения повреждений в непосредственной окрестности вершины стационарной трещины нормального отрыва в условиях ползучести в среде с поврежденностью. Для описания процесса накопления повреждений использовалось кинетическое уравнение Качанова — Работнова: duj dt где х© = (3Ji 4- (1 — /3) J2 и Ji = ai — главное напряжение, J2 = y/SsijSij/2, Sij — компоненты девиатора тензора напряжений, А, к, /3 — материальные константы. Численный анализ, проведенный авторами [73], показал отсутствие сингулярности поля напряжений у вершины трещины.
Следующей характерной чертой, присущей этому типу задач, является наличие либо области активного накопления повреждений, либо области полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность обращаются в нуль (рис. 2). Полностью разрушенная область у берегов трещины может быть интерпретирована как область микроветвления, когда вдоль всей траектории развития магистральной тре.
Ш ¦ щ главная (макро) трещина поле микротрещин.
Рис. 2: Схематичное представление области полностью поврежденного материала щины возникают ортогонально ориентированные к ней микротрещины. В [5], [6] при численном определении коэффициентов асимптотических разложений компонент тензора напряжений и сплошности (угловых распределений компонент тензора напряжений и параметра сплошности) оказалось, что, начиная с некоторого значения полярного угла <рд (значение ср = тг соответствует верхнему берегу трещины, <р = 0 — ее продолжению) (рис. 3), функция, определяющая главный член асимптотического разложения параметра сплошности, начинает принимать отрицательные значения, что противоречит физическому смыслу этой величины. Данное обстоятельство привело к модифицированной постановке задачи, согласно которой решение разыскивалось для 0 < <р < (fdОставшаяся область ф&<<�р< 7 Г, локализованная в окрестности вершины распространяющейся трещины, есть полностью разрушенная зона, в которой все компоненты тензора напряжений и сплошность равны нулю, на границе же введенных областей должны выполняться условия непрерывности функции сплошности и компонент тензора напряжений. В [106] авторы апеллируют к невозможности выполнения граничных условий на берегах трещины и переходят к модифицированной постановке за р=о.
А£ О х.
Хл поверхность трещины.
Рис. 3: Геометрия вершины растущей трещины: Х’Хч — неподвижная система координат, ххъ — движущаяся вместе с вершиной трещины система координат дачи, вводя область полностью поврежденного материала, примыкающую к берегам трещины.
Необходимо отметить, что вместе с асимптотическим изучением полей в окрестности вершины трещины в связанной постановке использовались и иные методы. Например, для анализа растущей трещины антиплоского сдвига в [71], [105] сделана попытка использования метода годографа. Однако авторы отказываются от проблемы интегрирования кинетического уравнения и оперируют с предполагаемым результатом интегрирования, полагая, что параметр сплошности (или поврежденности) есть функция лишь от напряжений, но не физических координат a? i, а?2, что, вообще говоря, неверно. Явная зависимость параметра сплошности от физических координат вносит сложности в процедуру метода годографа и ставит под сомнение возможность его использования для движущейся трещины.
В [71] представлены решения задач о неподвижной и растущей трещинах антиплоского сдвига в квазихрупком материале. В этой работе предполагается, что определяющие соотношения линейны до и после достижения некоторых двух характерных для этого материала значений интенсивности деформации. Для промежуточных значений справедлива степенная зависимость. С помощью метода годографа определены конфигурации каждой из трех областей, соответствующих трем различным определяющим зависимостям. Согласно предложенной модели введенные области отвечают а) неповрежденной области, б) области, в которой происходит процесс накопления повреждений, в) регион «насыщения», непосредственно охватывающий вершину трещины, в котором новые микродефекты уже не образуются. Показано, что данные области разделены окружностями с центром в вершине трещины (окружность, разделяющая область насыщения и зону активного накопления повреждений) и с центром, смещенным вправо относительно вершины трещины (граница, разделяющая неповрежденную область и зону накопления повреждений).
В уже упомянутой работе [106] представлено асимптотическое исследование усталостного роста трещины нормального отрыва в упругой среде с поврежденностью. Показано, что у вершины трещины существует область процесса — зона, в которой происходит накопление рассеянных повреждений (в отличие от области полностью поврежденного материала). Для определения границы данной области использовано то обстоятельство, что кинетическое уравнение, задающее закон накопления рассеянных повреждений, имеет две «ветви», разделяющие два состояния материала, находящегося под действием усталостного нагружения: накопление повреждений в окрестности вершины трещины и отсутствие накопления повреждений.
В [88], [89] исследованы асимптотики напряжений и параметра сплошности у вершины растущей трещины нормального отрыва. Авторы статьи, основываясь на экспериментальных данных, предполагают, что граница области, в которой происходит процесс накопления повреждений, есть полуэллипс и прямые, параллельные берегам трещины. Задавая этой гипотезой форму области процесса, можно определить асимптотические разложения компонент тензора напряжений и сплошности. Заметим, что авторы не определяют геометрию области процесса, а задают ее априори. Таким образом, задача нахождения конфигурации областей полностью поврежденного материала, либо области активного накопления повреждений у вершины трещины не является еще полностью исследованной и заслуживает особого внимания.
В [5], [6] рассмотрено докритическое подрастание трещины нормального отрыва и антиплоского сдвига в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Установлено, что в окрестности вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности обраг щаются в нуль. Данная область примыкает к берегам трещины в окрестности вершины трещины и занимает область, определяемую соотношениями 7г/2 <<�р<7гитг<(р < 37г/2, где (р — полярный угол. Однако в рамках данного исследования не удается найти конфигурацию этой области, поскольку результаты указывают лишь на существование вертикальной касательной к границе этой области при (р = 0. Геометрию этой области можно определить, находясь от вершины трещины на расстояниях, сравнимых с характерным линейным размером зоны полностью поврежденного материала или превышающих это расстояние.
В [31] приведено асимптотическое решение задачи о трещине антиплоского сдвига в связанной постановке теории ползучести и механики поврежденности с использованием автомодельной переменной2, предложенной Риде.
2Процесс, развивающийся со временем, называется автомодельным, если распределение его характеристик в разные моменты времени получается одно из другого преобразованием подобия [8], [10], [27]. Свойство автомодельное&trade-, если его удается обнаружить, часто существенно упрощает исследование и математическое описание процесса. В механике разрушения при исследовании стационарного состояния лем в [100] для степенных определяющих соотношений, связывающих скорости деформаций ползучести и напряжений. На основе упомянутых выше исследований в [31] предполагалось существование области полностью поврежденного материала, где все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности равны нулю. В силу наличия данной зоны вблизи вершины трещины нельзя разыскивать асимптотические разложения компонент тензора напряжений и параметра сплошности в непосредственной окрестности вершины трещины, как это обычно принимается в механике разрушения. Поэтому все асимптотические разложения определялись в системе координат, сдвинутой вправо от вершины на расстояние, равное характерному линейному размеру области полностью поврежденного материала. Оказалось, что, в отличие от ранее упомянутых исследований, степени в разложениях по собственным функциям параметра сплошности и компонент тензора напряжения не связаны друг с другом. Поэтому приходилось одну из степеней задавать априори (т.е. приходилось задавать асимптотическое поведение параметра сплошности), что ограничивает общность задачи. Тем не менее геометрия области полностью поврежденного материала для различных значений материальных констант при данных предположениях найдена и приведена в [31].
К числу еще неразрешенных задач, требующих детального изучения, относится оценка скорости роста трещины в условиях ползучести в среде с трещины и ее роста в упругом нелинейно вязком теле автомодель ность впервые установлена Риделем [100].
Введение
автомодельной переменной упрощает с математической точки зрения поиск решения, поскольку уменьшается число независимых переменных. Более того, введение автомодельной переменной позволяет связать два предельных режима состояния трещины в упругом нелинейно вязком теле: случай коротких времен после приложения нагрузки, когда деформации ползучести локализованы в непосредственной ее окрестности, и случай достаточно больших времен, соответствующий обширным областям, в которых развиваются деформации ползучести.
Таким образом, с физической точки зрения с помощью автомодельной переменной удается описать переходный период от первого предельного состояния ко второму и получить решение (т.е. распределение напряжений), справедливое в течение переходного режима, а также оценить время перехода. поврежденностью и связанная с данным вопросом проблема сращивания «ближнего поля» — решения, полученного в окрестности вершины трещины, с «дальним полем» — заданных граничных условий на бесконечности (в задачах о росте полубесконечной трещины в бесконечном теле). Стандартным приемом сращивания «ближнего» и «дальнего» полей является использование инвариантных интегралов механики разрушения: «/-интеграла3, С*-интеграла4 и некоторых иных инвариантных интегралов [14], [17], [42] -[51], [53], [57], [58], [60], [61], [63], [64], [74], [78], [90] - [93], [96], полученных обобщением упомянутых. Однако, такие параметры не обладают свойством инвариантности в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности.
Хорошо известно, что при изучении напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины используется подход в стиле «теории пограничного слоя» [26] или «принцип микроскопа» [43], в рамках которых изучается непосредственная окрестность вершины трещины, и в такой постановке трещина предполагается полубесконечной, а истинные гра.
3Для упругого тела с трещиной J-интеграл Эшелби — Черепанова — Райса представляет собой с точностью до знака скорость изменения его потенциальной энергии при увеличении длины трещины:
Г1 дщ, J = Jaij? ijdx2 — Ti-^-ds, где .
4Определяя зависимость нагрузка — скорость перемещения для двух идентичных образцов, с трещинами длины I и I + ей, С*-интеграл вычисляется дифференцированием по длине трещины площади под кривой нагрузка — скорость перемещения или по формуле.
С = J ^V*dx2 — aijTH^ds где W = J (7ijdiij' ничные условия заменяются условиями асимптотического сближения, например, с особым упругим решением при исследовании трещины в упруго-пластическом материале в предположении маломасштабного пластического течения [56], [69]. В этом случае говорят, что конфигурация области пластического течения «полностью управляется» особым упругим решением. Аналогичный метод для решения задачи о росте трещины в упругопласти-ческих материалах применяется при формулировке граничного условия в бесконечно удаленной точке в [62], [79], [104]. В [68] аналогичный подход используется для описания переходного периода от состояния маломасштабной ползучести (когда рост трещины описывается коэффициентом интенсивности напряжений) до состояния развитых деформаций ползучести (когда рост трещины можно описать с помощью инвариантного С* - интеграла установившейся ползучести). Первый предельный случай требует выполнения условия асимптотического сближения искомого решения с особым упругим решением, тогда как второй предельный случай предполагает выполнение иного граничного условия в бесконечно удаленной точке — условия асимптотического сближения с решением HRR.
Формулировка граничного условия в бесконечно удаленной точке в стиле «теории пограничного слоя» используется и при решении задач механики трещин в связанной постановке. Так в [71], [106], [107] исследуется напряженно-деформированное состояние у вершины трещины антиплоского сдвига [71] и нормального отрыва [106], [107] в связанной постановке в связках «упругость — поврежденность» и «пластичность — поврежденность», где предполагается, что поле напряжений непосредственно у вершины трещины искажается вследствие процесса накопления повреждений, тогда как при удалении от вершины трещины, где материал является неповрежденным, можно считать, что поле напряжений полностью определяется сингулярным упругим решением. Таким образом, принимается гипотеза, согласно которой область накопления рассеянных повреждений полностью определяется особым упругим решением.
Подобный подход используется и при постановке граничного условия в бесконечно удаленной точке в упругом нелинейно-вязком материале [67], [68].
В настоящей работе рассматривается класс задач о стационарной и растущей трещинах в нелинейно-вязком материале, определяющие соотношения которого построены на основе степенного закона Нортона установившейся ползучести, в связанной постановке в связке ползучесть — поврежден-ность с использованием автомодельной переменной, предложенной Риделем [100] для данного типа определяющих соотношений, рассматриваемого кинетического уравнения и граничных условий. Однако решения каких-либо краевых задач с использованием установленного на основе анализа размерностей свойства автомодельности решения не было получено.
Поэтому целью настоящего исследования является:
1) изучение напряженно-деформированного состояния и поля повреждений у вершины трещины в связанной постановке (ползучесть — поврежденность) с введением автомодельной переменной;
2) моделирование области полностью поврежденного материала, охватывающей вершину трещины и примыкающей к ее берегамопределение конфигурации данной области.
Проведенные исследования (отраженные в первой и четвертой главах настоящей работы) инициировали новый класс задач о растущей трещине в связанной постановке, решения которых были получены с помощью асимптотических разложений искомых величин на больших расстояниях от вершины трещины (исследовалась так называемая асимптотика дальнего поля повреждений — асимптотика на расстояниях, много больших характерного линейного размера области полностью поврежденного материала, но все еще малых по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) (вторая и третья главы настоящей работы).
В целом, работа состоит из четырех глав и двух приложений.
В первой главе приведены постановка и решение задачи о стационарной трещине антиплоского сдвига в связке ползучесть — поврежденность. Показано, что распределение HRR не может быть использовано в качестве граничного условия задачи на бесконечности, так как это граничное условие в бесконечно удаленной точке не приводит к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала, построенных на основе двучленного, трехчленного и четырехчленного разложений скалярного параметра сплошности. Невозможность формулировки граничного условия в бесконечно удаленной точке как требования асимптотического сближения искомого решения с решением HRR можно объяснить тем обстоятельством, что размеры области полностью поврежденного материала превосходят размеры зоны доминирования решения HRR, так что зона, где справедливо решение HRR частично или полностью охвачена областью полностью поврежденного материала и, следовательно, геометрия последней не может управляться асимптотикой HRR.
Поэтому для степенных определяющих соотношений закона Нортона теории установившейся ползучести, начальных условий и граничных условий в бесконечно удаленной точке в более общей форме была введена автомодельная переменная, аналогичная введенной Риделем для случая асимптотического сближения решения с решением HRR. Разрешающая система уравнений была переписана с помощью автомодельной переменной. Решение задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора эффективных напряжений и скалярного параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины. Показано, что в рамках предложенной схемы построения решения, на каждом этапе необходимо решать либо систему уравнений относительно угловых распределений компонент тензора напряжений, либо уравнение относительно углового распределения параметра сплошности. Следовательно, с помощью предложенного метода удается «развязать» изначально связанную задачу.
Построены области полностью поврежденного материала на основе двучленного, трехчленного и четырехчленного асимптотических разложений параметра сплошности. Показано, что предложенная асимптотика дальнего поля напряжений и параметра сплошности в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности приводит к сходящимся границам областей полностью поврежденного матриала для различных значений констант определяющих сотношений и кинетического уравнения.
Для обоснования предложенной в первой главе новой асимптотики дальнего поля напряжений, действительно управляющей областью полностью поврежденного материала, во второй главе была исследована задача об установившемся росте трещины антиплоского сдвига в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Решение этой задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора эффективных напряжений и параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины. Используемая схема позволила построить область полностью поврежденного материала на основе двучленного асимптотического разложения параметра сплошности и установить, что магистральная трещина в процессе ее распространения окружена введенной областью и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала.
В третьей главе рассматривалась задача о росте трещины нормального отрыва в случае плоского напряженного и плоского деформированного состояний в связанной постановке задачи теории ползучести с механикой поврежденности по аналогии с задачей о растущей трещине антиплоского сдвига. Приближенное решение уравнений равновесия, условия совместности деформаций, сформулированного для скоростей деформаций ползучести, кинетического уравнения, постулирующего степенной закон накопления повреждений, разыскивалось в виде асимптотических разложений компонент тензора напряжений, представленных через функцию напряжений Эри, и скалярного параметра сплошности. Таким образом, осуществлялось движение от бесконечно удаленной точки к окрестности вершины трещины.
Используемая схема дает возможность определить геометрию области полностью поврежденного материала у вершины трещины и ее берегов, причем удается единой зависимостью г = г (ф) найти границу области полностью поврежденного материала.
В четвертой главе исследовалась задача о стационарной трещине нормального отрыва в случае плоского напряженного и плоского деформированного состояний с помощью автомодельной переменной. Приближенное решение задачи разыскивалось в виде асимптотических разложений функции напряжений Эри и параметра сплошности по отрицательным степеням автомодельной переменной Rx (Л < 0), при R —* оо.
Численное решение задачи позволило построить области полностью поврежденного материала на основе двучленного и трехчленного разложения параметра сплошности. Из сравнения найденных конфигураций областей полностью поврежденного материала, полученных с помощью двучленного и трехчленного асимптотических разложений параметра сплошности видно, что: 1) формы областей, полученных с помощью двучленного и трехчленного разложений, близки- 2) характерные линейные размеры областей отличаются несущественно.
Комплекс программ, разработанный с помощью среды Turbo Pascal 7.0 и математической системы символьных вычислений Maple 6.01, реализующих нахождение угловых распределений компонент тензора напряжений и параметра сплошности и определение конфигурации области полностью поврежденного материала, приведен в двух Приложениях.
Основные научные результаты, выносимые на защиту:
1. Получены асимптотические решения задач о стационарных трещинах типа I (нормального отрыва) и типа III (антиплоского сдвига) в связанной постановке задачи в связке «ползучесть — поврежденность» с помощью автомодельной переменной. Построены трехчленное асимптотическое разложение для компонент тензора напряжений и четырехчленное асимптотическое разложение параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины антиплоского сдвига (но малых расстояниях по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) и двучленное асимптотическое разложение для компонент тензора напряжений и трехчленное для параметра сплошности для трещины нормального отрыва. Найдена новая асимптотика дальнего поля напряжений в задачах о стационарных трещинах типа I и III.
2. Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности обращаются в нуль. Найдена конфигурация введенной зоны для различных значений материальных констант определяющих соотношений и кинетического уравнения.
3. Установлено, что асимптотика Хатчинсона — Райса — Розенгренаставшая уже классической асимптотика компонент тензора напряжений у вершины трещины для степенной зависимости между компонентами тензора напряжений и деформаций (или скоростей деформаций) — не может служить граничным условием в бесконечно удаленной точке в задаче о полубесконечной трещине в среде с поврежденностью для рассматриваемого типа определяющих соотношений и не определяет конфигурацию области полностью поврежденного материала.
4. В связанных задачах (связка ползучесть — поврежденность) о растущей трещине антиплоского сдвига и нормального отрыва найдены главные члены асимптотических разложений компонент тензора напряжений и скалярного параметра сплошности на больших расстояниях от вершины трещины.
5. Установлено, что магистральная трещина (главная трещина) в процессе ее распространения окружена областью полностью поврежденного материала и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала. В рамках настоящего исследования удается единой зависимостью г = г (ф) найти границу области полностью поврежденного материала.
В целом, настоящая работа представляет собой исследование взаимного влияния процесса накопления повреждений и эволюции напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины стационарной и растущей трещины в рамках континуальной механики поврежденности.
Основные результаты работы опубликованы в [9], [31] - [36], [38], [39], [94], [101], [102], [103] и доложены на:
— девятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 25 — 27 мая 1999;
— десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 29 — 31 мая 2000;
— научных семинарах «Актуальные проблемы математики и механики» кафедры механики сплошных сред Самарского государственного университета, Самара, 2000, 2001;
— на межвузовском школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж, 25 — 30 сентября 2000;
— второй межвузовской конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки», Самара, 11−13 сентября 2001;
— всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара, 2004;
— научном семинаре кафедры безопасности информационных систем Самарского государственного университета, Самара, 2004;
— XXXII Summer School — Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg, June 24 — July 1 2004;
— XXI International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Warsaw, Poland, 15 — 21 August 2004.
Основная часть результатов выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 02−01−311-а, 00−01−81 067-Бел2000;а).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
1. Получены асимптотические решения задач о стационарных трещинах типа I (нормального отрыва) и типа III (антиплоского сдвига) в связанной постановке задачи в связке «ползучесть — поврежденность» с помощью автомодельной переменной.
Построены трехчленное асимптотическое разложение компонент тензора напряжений и четырехчленное асимптотическое разложение параметра сплошности на больших расстояниях от вершины для трещины антиплоского сдвига (но малых расстояниях по сравнению с длиной трещины, характерным линейным размером тела) и двучленное асимптотическое разложение компонент тензора напряжений и трехчленное асимптотическое разложение параметра сплошности для трещины нормального отрыва. Найдена новая асимптотика дальнего поля напряжений в задачах о стационарных трещинах типа I и III.
2. Показано, что у вершины трещины существует область полностью поврежденного материала, в которой все компоненты тензора напряжений и параметр сплошности обращаются в нуль. Найдена конфигурация введенной зоны для различных значений материальных констант определяющих соотношений и кинетического уравнения.
3. Установлено, что асимптотика Хатчинсона — Райса — Розенгрена не определяет конфигурацию области полностью поврежденного материала. Установлена новая асимптотика дальнего поля напряжений в связанной постановке задачи теории ползучести и механики поврежденности. Показано, что именно такая асимптотика поля напряжений и параметра сплошности ведет к сходящимся границам областей полностью поврежденного материала для различных значений материальных констант определяющего соотношения и кинетического уравнения.
4. Получены асимптотические решения задач о растущих трещинах типа.
I и III. Показано, что решение HRR не может быть использовано в качестве граничного условия на большом удалении от вершины трещины. Найдены главные члены асимптотических разложений эффективных напряжений и скалярного параметра сплошности при больших расстояниях от вершины трещины.
5. Установлено, что магистральная трещина (главная трещина) в процессе ее распространения окружена областью полностью поврежденного материала и процесс роста трещины следует представлять как продвижение целой области полностью поврежденного материала. Причем, в рамках настоящего исследования удается единой зависимостью найти границу области полностью поврежденного материала.
