Ядра интегральных представлений, связанные с торическими многообразиями

Метод интегральных представлений для голоморфных функций играет важную роль как в самом комплексном анализе (см. [1, 8, 9, 11]), так и в ряде других областей, например, в алгебраической геометрии [5, 10], и математической физике [9, 17]. Если речь вести об интегральных формулах вида в которых ядра z) являются замкнутыми дифференциальными формами, а множествами интегрирования Г служат циклы, то можно заметить тесную связь концепции интегральных представлений с теорией вычетов [1, 10]. Здесь дело в том, что формула (1) эквивалентна тому, что вычет относительно цикла Г для ядра ш = ы (£, 0) (т.е. интеграл и по Г) равен единице.

Исторически первыми интегральными представлениями были:

— формула Коши для полицилиндра, доказанная А. Пуанкаре [33] в 1887 г.

— формула Бохнера-Мартинелли для шара [30] (1938), [18] (1943).

Соответствующие ядра указанных формул в n-мерном пространстве следующие:

1) г.

1 dCi.

2пг)п Ci (n.

ШВМ ~ jcF '.

В каком-то смысле эти две формулы явились эталонными, из которых впоследствии на основе гомологических и когомологических процедур был построен ряд других интегральных представлений (формулы Вейля, Коши-Фантапье и т. д.).

В 1999 г. А. К. Цих [34] заметил, что эталонные ядра и = шди и = и>вм обладают свойством: cj регулярна в области, наивысшая нетривиальная группа когомологий которой имеет одну образующую, представленную формой си.

Так, ядро Коши сок регулярно в комплексном торе (С {0})", который гомотопически эквивалентен вещественному тору Тп, и ядро Бохнера-Мартинелли регулярно в проколотом пространстве С" {0}, гомотопически эквивалентном сфере S2n~l. Таким образом, гомотопические типы областей регулярности указанных форм представляются связными ориентируемыми компактными многообразиями, поэтому для комплексного тора наивысшая нетривиальная группа когомологий есть #" ((С {0})"), а для проколотого пространства — группа Н2п~1 (С®- {0}), причем эти группы одномерны. Еще одна общая специфика ядер и>к и швм состоит в том, что их сингулярностями являются наборы из координатных подпространств: наборы гиперплоскостей.

Ci = 0},., {(«= 0} для ядра Коши и набора из одного нульмерного подпространства {С = 0} = {Ci = 0,., = 0} — для ядра Бохнера-Мартинелли. В связи с этим в [34] было введено следующее.

Определение [34], [35]. Набор (координатных) плоскостей {Е&bdquo-} С С* (не обязательно равных размерностей) называется атомарным, если наивысшая нетривиальная группа когомологий их дополнения является одномерной, т. е. у 0, к > ко для некоторого к0. Образующая и группы Нко (С? JEU) называется ядром для набора {Еи}.

Примером не атомарного набора плоскостей служит тройка координатных прямых {С2 = Сз = 0}, {Ci = Сз = 0}, {Ci = С2 = 0} в пространстве С3.

Для атомарности набора плоскостей необходимы ограничения комбинаторного характера на их взаимное расположение. Оказывается, если набор кодировать определенным образом в помощью веера (многогранного конического полиэдра вЕп), то он будет атомарным. Таким образом, атомарные наборы тесно связаны с теорией торических многообразий (о теории таких многообразий см. книги Оды [31], Фултона [23], а также [6], [19]—[22], [27], [28]). Частным случаем торических многообразий является комплексное проективное пространство СРП. Известно, что ядро Бохнера-Мартинелли в Cn+1 тесно связано с формой объема для метрики Фубини-Штуди проективного пространства СР&bdquo- (см. [5] или [8]). А именно, при диагональном действии одномерного тора С {0} на Cn+1 {0}.

С-+АС форма ивм преобразуется к виду u-(0 = yAwo ([C]) с инвариантной формой w0([C]) — формой объема Фубини-Штуди. Общее n-мерное торическое многообразие X, ассоциированное с веером? С R", подобно проективному пространству, получается как фактор

Х= [С1 Z (?)]/C-, где Z (Y.) — объединение атомарного набора плоскостей, aQ — комплексный тор (С {0})г.

Целью диссертации является:

— построение форм объема w0([C]) на торических многообразиях X (аналогов форм Фубини-Штуди) и эталонных форм w© на С* гДе Z (E) представляет собой объединение некоторых координатных подпространств в.

С;

— построение интегральных представлений в d-круговых полиэдрах с эталонными ядрами.

В основе исследования диссертационной работы лежит теория торических многообразий. Свойство атомарности набора Z (E) координатных плоскостей в С* обеспечивается возможностью введения действия группы G ~ (комплексного тора) на С* Z (E), для которой совокупность орбит.

С? Z{E)]/G =: X представляет собой компактное торическое многообразие, а С* Z{E) гомо-топически эквивалентно расслоению над X со слоем — вещественный тор тг = {ес-:|АЖ| = 1,. ,|АГ| = 1}.

Атомарный набор плоскостей Z (E) и группа G определяются по вееру Е из Rrt, при этом G строится только по одномерным образующим vu., vdezn сшп веера? (при этом размерность G равна г = d—n), а в конструкции Z (E) участвуют конусы других размерностей. Проиллюстрируем вначале конструкцию ядра и для Z (E) и формы объема ujq для X на примере проективного пространства X = CF", для которого веер определяется в Rn с помощью d = п + 1 образующих vi = (1,0,., 0),., i-n = (0,., 0,1), ип+1 = (-1,. ,-1), при этом любой набор из г векторов определяет г-мерный конус (г = 0,1,., гг) в Е. Между образующими г>, — есть единственное (с точностью до линейной зависимости) соотношение:

1 • vi +. + 1 • vn + 1 • vn+i = 0.

Вектор (1,., 1,1) из коэффициентов этого соотношения порождает действие одномерного тора С* на С*:

A-C = (A1-Ci,.:., Аг-Сп+1), Лес, {ЕС1.

Как следует из общей конструкции (см. § 1.3) для рассматриваемого веера набор Z (E) состоит из одной координатной плоскости размерности нуль, т. е. из начала координат 0 € С" +1. Мы знаем, что ядром для набора Z (H) = {0} может служить форма Бохнера-Мартинелли (которую мы запишем без традиционного нормировочного коэффициента) EjQAdC .

CJ" |e|2(n+u ' (2) где = A. A d£n+ь a E (Q — дифференциальная форма Эйлера.

71+1.

E (Q = ^(-l)*-1^^] (здесь [к] — знак пропуска d (k в dQ. fc=i.

В свою очередь, форма объема метрики Фубини-Штуди на X = GPn равна Е (С)ае (0 wb (lCJ) — |С|2(я+1, • 8.

В случае общего веера Е в!" искомое ядро для набора Z (E) в С' имеет бистепень (d, n) и, подобно (2), представляется в виде где h (С) — (п, 0)-форма, обобщающая форму Эйлера ?" (0, а д ((,() — полином, имеющий подходящую полистепень однородности и обращающийся в нуль в точности на Z (E). Форма h (Q, как и группа G, определяется только по образующим Vi,., Vd веера S, а полином д, как и Z (Е) — по всему вееру S. А именно, обозначим через V матрицу из вектор-строк vi,. а через, А = ••^ — левый аннулятор матрицы V (т.е. А • V — 0), представляющий решетку соотношений между векторами V{. Заметим, что согласно Предложению 1.1 матрицу, А можно выбрать с неотрицательными элементами a, j. Каждому упорядоченному набору J = (ji,., jn), где 1 ^ ji < • • • < jn ^ d поставим в соответствие минор Aj матрицы Л, полученный вычеркиванием столбцов с номерами ji,., jn. Тогда аналог формы Эйлера — это форма.

MC) = ?Vi)|J|~%C№ 0, (4) j где суммирование ведется по всем упорядоченным мультииндексам J, а через C[J] и d (j обозначены произведения.

Ш. и Д^о.

Отметим, что по внешнему виду введенная здесь форма h (Q отличается от ранее рассмотренного аналога формы Эйлера (см. [20]), в котором вместо числовых коэффициентов (-1)'" 7'-1А/ ставились Vj — миноры матрицы V, составленные из строк с номерами j, jn. Выражение (4) оказалось для нас более предпочтительным, хотя Лемма 3.1 утверждает, что оно отличается от определения из [20] лишь числовым множителем.

Для определения полинома д (знаменателя ядра и) предположим, что веер Е симплициальный, примитивный и выпуклый. Пусть crm, т = 1,., М — набор всех конусов веера Е размерности п. Для всякого конуса ат с образующими vmi,., vmn определим d целых чисел п.

Р1т := ~ det (^i' • • • «Ияч-и^тн.!,., Vmn), / = 1,—-, rf, с помощью которых составим полином.

М / d.

9((,(>1 ПЙР'^" • ' (5).

771=1 / = 1 /.

Выпуклость веера Е обеспечивает полиномиальность д, т. е. что все мономы имеют положительные степени.

Наконец, укажем, что действие группы.

G: (С* Z (E)) х <С£ -КС' Z (Е) определяется с помощью матрицы, А = (atJ) формулой.

С, А) (А" 11. АГ1 ¦ Сь. •, Aild ¦ -. • XTd • СО- (6).

Теперь мы можем сформулировать основные результаты второй главы. Напомним, что мы предполагаем Е симплициальным, примитивным и выпуклым.

Теорема 2.1. Дифференциальная (с1,п)-форма h (QAd (и- = —-—=—.

С, С) с формой Эйлера (4) в числителе и знаменателем (5) является ядром для набора Z{Е). При действии (6) ядро и преобразуется к виду dX dr и —У —— A. A —— A coo + cox A^ Ar с положительной формой (аналогом формы Фубини-Штуди).

ЩлЦО.

Ыо — «ЖеГ' нулевой степени однородности по действию группы G, и формой и), которая не содержит сопряженных дифференциалов di и в каждом из своих слагаемых имеет не более, чем (г — 1) дифференциалов dj.

Для описания двойственного (по Де Раму) ядру и цикла Г определяющую роль сыграет моментное отображение и конус Кэлера для многообразия X.

Моментное отображение fi: С* Rr для пространства О* со стандартной симплектической структурой и действием группы G (по формуле (6)) определяется матрицей, А = (а^) следующим образом:

Жь—-, Cd) = (Pi, — -, Рг), где aulCil2 +. + aw|Cd|2 =pi: (7) k ari ICi I2 + • • • + ardlCd!2 = Pr-При фиксированном p — (pi,., pr) E Rr соотношения (7) определяют множество Г = Т (р) = /л~1(р).

Цикл Г (р) обладает нужными для нас свойствами, когда р принадлежит конусу Кэлера многообразия X.

Для описания конуса Кэлера напомним [21], что набор векторов Vky,., Vkm веера Е называется примитивным, если он не определяет конуса в ?, но любой его собственный поднабор определяет конус в Е.

Для каждого примитивного набора векторов v^,., представляем их сумму в виде ь +. • + vkm = ci, vn +. + ctnvln, ch,., cin G Q+, где Vilt., Vin образуют конус, в который попадает эта сумма.

Конус Кэлера К представляет собой образ при моментном отображении (7) множества в С*, определенного системой неравенств lOi I2 +. + lOu I2 — Си IC. X Г —. — Cin 10, I2 > 0, (8) причем неравенств столько, сколько примитивных наборов. Неравенства (8) будем называть условиями кэлеровости.

Заметим, что для р? К цикл Г = Г (р), определяющийся системой (7), лежит вС^ч и расслаивается над X со слоями, изоморфными действительным торам Т7-, а именно, Г (р)/Ск = Х, где.

Gr :={(А?" .А^,. = j = 1. г}, см. [20] или [21]). Отсюда, как следствие, получаем, что Г не гомологичен нулю в С* Z{Е). Этот факт также подтверждает следующее утверждение, вытекающее из Теоремы 2.1.

Следствие 2.1. J и = f и)0 = С, где С есть некоторая константа, г х отличная от нуля, выражающая объем торического многообразия X относительно формы UJq.

В § 2.4 вначале доказывается интегральное представление в нуле. Предложение 2.3. (Воспроизводящее свойство ядра ы) Пусть функция f (Q голоморфна в окрестности нуля U, р = (pi,., рг) принадлежит конусу Кэлера и настолько мало, что цикл Г (р) С U. Тогда справедливо интегральное представление до) =? J дсма (9).

Г (р) 12 где С = fu>o — константа нормировки. ж.

Далее рассматривается область D = Dp в пространстве С* переменных г, определенная системой неравенств ы2 + —-+ы2<�к:.±(р), (ю) где каждое неравенство соответствует примитивному набору vkl,.. , Vkm веера Е, а Щ]" '*кт{р) — образ выражения из левой части (8) при моментном отображении (7). И для функций, голоморфных в (i-круговом полиэдре IV = VP, определенном системой неравенств an|Ci|2 +. + aid|Cd|2 <: (П) k cirilCil2 +. + arrf|Cd|2 < pr, доказывается.

Теорема 2.2. Пусть функция f (Q голоморфна в области IV, определяющейся неравенствами (11), и непрерывна в замыкании W. Тогда в пересечении DnW, где область D, определяется неравенствами (10), справедливо интегральное представление =? / ЯС-*МС), г где цикл Г = Г (р) определяется равенствами (7).

Далее в §§ 2.5 и 2.6 рассмотрены два примера построения эталонных форм и форм объема на комплексно-двумерных торических многообразиях заданных с помощью выпуклого и невыпуклого вееров.

Первое торическое многообразие задано двумерным веером с образующими V≠(1,0), г2=(0,1), г-3=(-1,0), г4=(-1,-1), г5=(0,-1). В этом случае множество Z (Е) = {Ci = Сз = 0} и {<1 = С4 = 0} и {С2 = С4 = 0} и {Сг = Сз = 0} и {<3 = Сб = о}.

А1Л2,Л1Лз, Л2, АЬ АЗ): А, — G С*} С (С*)5. Моментное отображение [i: С5 —У R3 здесь следующее pi = ICil2 + IC2I2 + IC4I2 р2 = |Ci|2 + |Сз|2 (12) Рз = IC2I2 + |Сб|2.

При фиксированном р = (рь/^Рз) G К2 соотношения (12) определяют множество Г (р) = рг1(р).

Конус Кэлера для данного торического многообразия задается следующими неравенствами.

IPi > Р2.

Р > рз (13).

Р2 + рз > pi.

При соотношениях (13) цикл Г не пересекает Z (E).

Эталонная форма в С5 Z (H) (аналог формы Бохнера-Мартинелли) имеет бистепень (5,2) и представляется в виде (3) с числителем.

МО =.

— СзС^Сх A d (2 + СгСзСб^С! A d (4 + (^СзСЛ A d (5 — Ci (4(^(2 АОСзСб^Сг A dC4 ~ ОСгСз^Сз, А с? С4 ~ СгСгС^Сз A c? Cs — С1С2С3d (4 A d (5. и знаменателем д (М) =.

1С1|2|С2|4|Сз|2 + |Ci|4|C2|2|C5|2 + ICi|4iC4|2lC5|4 + |С2|4Кз|4|С4|2 + |Сз|4|С4|6|С5|4. Константу нормировки С, участвующую в интегральном представлении (9) и выражающую объем торического многообразия X в виде 4-кратного интеграла fxu>0, можно выписать с помощью однократных интегралов: 2.

С = (2 т) лз.

— 167г2 h.

2г2 — г3)(г3 4- 2г2 + 4) arctg 2.

2 г2 г3 + 2г2 + 4 dr—.

— 2тг2.

00 yV — 2r2)(r3 + 2г2 + 4).

1п у/г3 — 2г2 + л/г3 + 2г2 + 4 л/г3 — 2г2 — л/г3 + 2г2 + 4 dr.

В формулировке теоремы 2.2 для данного примера области D и W определяются следующими неравенствами:

Ы2 + Ы2 <р2.

Ы2 + Ы2 <Рз Dh|2 + |24|2.

Ы2 + Ы2.

Ы2 + l^si2 < Р2 + Рз — Pi ICil2 + IC2I2 + IC4I2 < Pi WICil2 + |Сз|2 < Рг JC2|2 + IC5|2.

В случае, когда торическое многообразие задается невыпуклым веером, возникает сложность с тем, что мноягество особенностей формы и может не совпадать с множеством Z (E). В § 2.6 рассмотрен конкретный невыпуклый веер и показано, что несмотря на вышеуказанную проблему, форма ш является ограниченной вблизи своих особых точек, не лежащих в Z (E), и интегральное представление существует, как и в случае выпуклого веера.

Рассматривается торическое многообразие, заданное двумерным веером с образующими Vi=(l, 0), v2=(-2,1), t-3=(-l, 0), t'4=(-2, -1).

В этом случае множество.

Z (Z) = {Ci = Сз = 0} U {Сг = С4 = 0}.

AtA2,A1,A2,A1):AiGC-}c (C-)4.

При фиксированном р = (яь/эг)? К2 соотношения (14) определяют множество Г (р) = ji~l{p).

Конус Кэлера для данного торического многообразия будет задаваться следующими неравенствами: Р2 > О.

15) р1 > 4р2.

При соотношениях (15) цикл Г не пересекает Z (E).

Эталонная форма в С4 Z (E) (аналог формы Бохнера-Мартинелли) имеет бистепень (4, 2) и представляется в виде.

0 = g ((X)h (QAd (.

9(С, С).

Здесь аналог формы Эйлера ко = -СзС^а a d с2+с2ол a dc4 — ciC^Ca д d (3.

— 4CiC3² a d (4 — CiC2a dC4, знаменатель g (t, 0 = ICi|4IC2|4 + |Ci[4IC4|4 + Ю116 Кз i4 IC4 + IО I41 Сз I4 I i6 а добавочный весовой коэффициент g — это моном l^l4^!4-Множество.

Z" := {Ci = Сз = 0} и {С2 = С4 — 0} и {Ci = С2 = 0} и {Ci = С4 = 0} особенностей формы и (нули знаменателя д ((, С)) не совпадает с множеством Z (E) из-за невыпуклости веера Е. Цикл Г может пересекать плоскости = 0} и {(i = С4 = 0}. Однако доказано, что форма и является ограниченной вблизи плоскостей {(i = (2 = 0} и = ?4=0} и, следовательно, интегрируема по циклу Г.

Константу нормировки С в данном случае можно вычислить до конца:

47г5 г.

С= -pln (7 + 4>/3). л/3.

В формулировке теоремы 2.2 для данного примера области D и IV определяются следующими неравенствами: D.

ICi|2 + IC3|2.

W :

4ICi|2 + IC2I2 + IC4I2 < р |Cl|2 + |Сз|2 < Р2.

Третья глава посвящена получению интегральных представлений (9) путем усреднения ядер Коши по некоторым положительным мерам da.

В § 3.1 указанное усреднение иллюстрируется на примере ядра Бохнера-Мартинелли.

В § 3.2 приводится построение положительной меры da в общем случае и доказывается теорема о реализации интегрального представления (9) в виде усреднения ядер Коши по мере da.

Введем необходимые обозначения. Прежде всего заметим, что знаменатель .

IK'.

Также пусть /i (g:) — форма (4). Рассмотрим п-форму.

Y!{-l)U{-lAje[J]dej.

I I V 1 da (e) =.

Л (е) J tffff) М g-l/^m+l m=l.

Через Ар обозначим пересечение с положительным октантом = {е = (si,. ,?d) '• ?j ^ 0} ПЛОСКОСТИ апи- • • • + = Pi: (i6) k arE +. + ard? d = Pr.

Согласно предложению 3.1 форма da (e) представляет собой положительную меру на Ар.

Через Td (e) обозначим вещественный тор zi2 = ?i,., zd2 = £d-Теорема 3.1. Пусть р = (pi,., рг) достаточно мало и принадлежит конусу Кэлера. Тогда справедливы равенства = Kihy / = щЬ?/I mdiЛ • • •Л.

Г (Р) Д&bdquoТ^(е) где К = /л do (e). Таким образом, интегральное представление (9) реализуется в виде усреднения формул Kouiu по положительной мере da на Ар.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]-[45]. По материалам диссертации делались доклады:

— на международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001) — dQ.

— на международной школе-конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 2002);

— на XL и XLI международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002, 2003);

— на международной конференции «Многомерный комплексный анализ» (Красноярск, 2002), а также на городском научном семинаре по многомерному комплексному анализу при Красноярском госуниверситете (Красноярск, 2001;2003).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Августу Карловичу Диху за постановку задачи и внимание к работе.

1. Айзенберг J1.A., Южаков А. П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука, 1979. Збб с.

2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.

3. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. М.: Наука, 1989.

4. Гамелин Т. Равномерные алгебры. М.: Мир, 1973. 334 с.

5. Гриффитс Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М.: Мир, 1982. 860 с.

6. Данилов В. И. Геометрия торических многообразий jf УМН 1978. Т. 33. С. 85−134.

7. Дольбо Д. Общая теория многомерных вычетов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). Т. 7. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 227−251.

8. Кытманов A.M. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения. Новосибирск: Наука, 1992. 240 с.

9. Хенкин Г. М. Метод интегральных представлений в комплексном анализе. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1985. Т. 7. С. 23−124.

10. Цих А. К. Многомерные вычеты и их применения. Новосибирск: Наука, Сиб-ое отд-ие. 1988. 240 с.

11. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. 4.2. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985. 400 с.

12. Шабат Б. В. Распределение значений голоморфных отображений. М.: Наука, 1982. 288 с.

13. Atiyah M.F. Convexity and commuting Hamiltonians// Bull. Lond. Math. Soc. 1982. V. 14. P. 1−15.

14. Atiyah M.F. Angular momentum, convex polyhedra and algebraic geometry// Proc. of the Edinburgh Math. Soc. 1983. V. 26. P. 121−138.

15. AUDIN M. The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Math. 93. Birkhauser: Boston Basel — Berlin. 1991. 181pp.

16. Batyrev V. Quantum cohomology rings of toric manifoldsj/ Journees de Geometrie Algebrique d’Orsay (Juillet 1992), Asterisque 218, Societe Mathematique de France, Paris. 1993. P. 9−34.

17. Batyrev V., Materov E. Toric residues and mirror symmetry// Moscow math, journal. 2002. V. 2. ЛзЗ. P. 435−475.

18. Bochner S. Analytic and meromorphic continuation by means of Green’s formula// Ann. Math. 1943. V. 44. P. 652−673.

19. Cox D. The homogeneous coordinate ring of a toric varietyJ/ J. Algebraic Geom. 1995. V. 4. P. 17−50.

20. Cox D. Toric residues}/ Ark. Mat. 1996. V. 34. P. 73−96.

21. Cox D. Recent Developments in Toric geometry// Algebraic GeometrySanta Cruz 1995. V. 2. J. Kollar, R. Lazarsfeld and D. Morrison, editors. AMS. Providence. RI. 1997. P. 389−436.

22. D em azure M. Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona// Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1970. V. 3. P. 507−588.

23. Fulton W. Introduction to Toric Varieties. Princeton U. Press. Princeton, NJ. 1993.

24. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Mathematics: Theory &- Applications. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA. 1994.

25. Guillemin V. Moment Maps and Combinatorial Invariants of Hamiltonian Tn-spaces. Progress in Math. V. 122. Birkhauser: Boston Basel Berlin. 1994.

26. Guillemin V., Sternberg S. Convexity properties of the moment mapping// Invent. Math. 1982. V. 67. P. 491−513.

27. Khovanskii A. Newton polyhedra and toroidal varieties// Funct. Anal. Appl. 1977. V. 11. P. 289−296.

28. Kemph G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal Embeddings I. Lecture Notes in Math. V. 339. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York. 1973.

29. Leray J. Le calcul differentiel et integral sur une variete analytique complexe// Bull. Soc. Math. France 1959. V. 87. P. 81−180.

30. MARTINELLI E. Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di piu variabili complesse// Mem. R. Accad. Ital. 1938. V. 9. P. 269−283.

31. Oda T. Convex Bodies and Algebraic Geometry. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg New York. 1988.

32. Passare M., Tsikh A., Yger A. Residue currents of the Bochner-Martinelli type// Publicacions Matematiques. 2000. V. 44. P. 85−117.

33. Poixcare Sur les residues des integrales doubles/ j Acta Math. 1887. V. 9. P. 312−380.

34. Tsikh A. Toric residues// Proceedings of the conference «» Nordan" «/ Grand Hotel Saltsjobaden, Sweden. April 22−25, 1999.

35. Tsikh A. Some kernels in residue theory// Workshop «» Singularities in Geometry and Analysis" «/ St. Marienthal, Uni. Cottbus, Germany. September 24−28, 2002. P. 19.

36. Кытманов А. А. Форма объема для некоторых торических многообразий/ / Тр. межд. конф. «Математические модели и методы их исследования». Красноярск: ИВМ СО РАН. 2001. Т. 2. С. 52−55.

37. Кытманов А. А. Об аналоге ядра Бохнера-Мартинелли для одного тори-ческого многообразия// Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ, 2002. Вып. 5. С. 48−53.

38. Кытманов А. А. Об одном интегральном представлении в С5// Сб. научи. тр. «» Многомерный комплексный анализ". Красноярск: КрасГУ. 2002. С. 79−89.

39. Кытманов А. А. Об одном классе интегральных представлений в областях пространства С*// Материалы XL международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. 2002. С. 74−75.

40. Кытманов А. А. Об интегральном представлении, связанном с тори-ческим многообразием, которое определяется невыпуклым веером// Тез., межд. конф. «Многомерный комплексный анализ». Красноярск: КрасГУ. 2002. С. 22−23.

41. Кытманов А. А. Об одном классе интегральных представлений в полиэдрах пространства С// Тез. межд. конф.-школы по геометрии и анализу. Новосибирск: Институт математики СО РАН. 2002. С. 54.

42. Кытманов А. А. Об одном интегральном представлении, ассоциированном с торическим многообразием, заданным с помощью невыпуклого веера// Сб. научн. тр. «Вопросы математического анализа». Красноярск: КрасГТУ. 2003. Вып. 6. С. 124−133.

43. Кытманов А. А. Об аналоге формы Фубини-Штуди для двумерных торических многообразий// Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 358−371.

44. Кытманов А. А. О ядрах интегральных представлений как усреднениях ядра Коши// Вестник КрасГУ. Сер. физ.-мат. науки. Красноярск, 2003, Вып. 2. С. 3−9.

45. Кытманов А. А. О построении формы объема для торических многообразий/ /Материалы XLI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: НГУ. 2003. С. 46−47.

<"