Методы исследования робастной устойчивости в системах управления

В очерках истории автоматического управления Ю. П. Петров приводит интересный факт, заключающийся в том, что регуляторы Д. Уатта для паровых машин переставали устойчиво работать при повышении их мощности и имели тенденцию к неустойчивой работе и самораскачиванию. Выдающийся английский физик Д. К. Максвелл поставил задачу исследования «странного» поведения этих устройств. Однако, в своей работе «О регуляторах» (1868) не дал четких практических рекомендаций для обеспечения устойчивости работы этих устройств. Только спустя двадцать лет русский инженер И. А. Вышнеградский сумел решить эту проблему. Он построил первую математическую модель всех регуляторов подобного вида. С его работы «О регуляторах прямого действия» берет начало современная инженерная теория автоматического регулирования. Фактически, он нашел те параметры конструкций регулятора, которые существенным образом влияют на устойчивость его работы. Более того, И. А. Вышнеградскому удалось найти допустимые границы изменения этих параметров, в рамках которых работа регулятора должна носить устойчивый характер. Эти фундаментальные исследования можно считать «предтечей» нового направления в теории устойчивости, а именно робастной устойчивости (устойчивость грубых систем по А. А. Андронову, 1937). Конечно, основой развития новой (робастной) теории являются достижения классической теории устойчивости динамических систем.

Основные подходы к созданию аналитических методов устойчивости и ее приложений были разработаны такими учеными как A.M. Ляпунов, Н. Н. Красовский, Н. Г. Четаев, А. Н. Крылов, К. П. Персидский, Е. А. Барбашин, А. А. Андронов, А. А. Марков, В. В. Румянцев, Н. П. Еругин, J1.A. Эсгольц, В. И. Зубов, Ю. А. Митропольский, В. М. Матросов, А. Н. Тихонов, В. В. Степанов, Н. Н. Боголюбов, В. В. Немыцкий, Н. М. Крылов, Б. С. Разумихин, А. Д. Мышкис, С. Н. Шиманов, М. Г. Крейн, А. А. Воронов, Б. Г. Болтянский, И. Г. Малкин, Б. П. Демидович, A.M. Летов, В. В. Семенов, А. А. Первозванский, Р. Беллман, Дж. Хейл, Т. Иошидзава, Ж.П. Ла-Салль и другими крупными отечественными и зарубежными математиками и их научными школами. Методы исследования нелинейных динамических систем управления по первому линейному приближению получили наиболее полное развитие трудами Э. Рауса, А. Гурвица, А. В. Михайлова, Найквиста, Е. П. Попова, Л. С. Понтрягина.

Однако, математические модели учета неопределенности в динамических системах управления появились гораздо позже новаторских работ И. А. Вышнеградского — почти через сто лет.

Одна из первых моделей неопределенности (нелинейная) была предложена в работах А. П. Лурье (1951), М. А. Айзермана (1961), Ф. Р. Гантмахера (1967). Модели параметрической неопределенности в линейных системах появились позднее. Их систематическое изучение начал И. Горовиц (1970). Важное направление в анализе неопределенности связано с моделью неизвестных, но ограниченных возмущений. Большой вклад в это направление внесли А. Б. Куржанский и Ф. JI. Черноусько. Модели частотной неопределенности интенсивно разрабатывались в 1980 гг., вероятностный подход к робастности получил большое развитие в последнее десятилетие.

Задачу об устойчивости интервального семейства полиномов рассмотрел S. Faedo (1953). Однако он получил только достаточные условия робастной устойчивости. Затем B.JI. Харитонов сделал большое продвижение — доказал критерий устойчивости интервального семейства полиномов (1978). Теорема Харитонова, как оказалось, не переносится на семейство интервальных матриц. Эта задача оказалась сложнее, т.к. устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости. Поэтому усилия исследователей направлены на решение частных задач.

Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности (роба-стная теория) является новым направлением, т.к. основные результаты получены совсем недавно. Например, графический критерий робастной устойчивости полиномов доказан в 1990 г. (Б.Т. Поляк, Я.З. Цыпкин), а реберная теорема получена в 1988 г. (А.С. Bartlett, C.V. Hollot, Н. Lin).

Методы расчета робастной устойчивости систем управления (робастное управление) используют как известные подходы, например, теорию возмущений, так и новые: ц-анализ (J.C. Doyle, A. Packard, Б.Т. Поляк) и вероятностный подход к робастности (R.F. Stengel, L.R. Ray и др.).

Разработке и созданию методов исследования различных задач робастной устойчивости посвящено множество работ, принадлежащих как отечественным, так и зарубежным ученым, таким как И. А. Вышнеградский, Я. З. Цыпкин, Б. Т. Поляк, B. J1. Харитонов, П. С. Щербаков, А. С. Немировский, М. Г. Сафонов, B.R. Barmish, J. Ackermann, V. Blondel, J. Ko-gan, R. Tempo, D.D. Siljak и др.

Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во-первых, современными потребностями науки и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т. д.- во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Перечислим некоторые из них. Как проверить существует ли в данном аффинном семействе полиномов устойчивый полином. Найти ближайший (в смысле нормы в пространстве коэффициентов) устойчивый полином к данному неустойчивому. Для робастной устойчивости матриц вопросов еще больше. Например, задача о ро-бастной устойчивости интервальных матриц и т. д.

Приведенными проблемами далеко не исчерпываются нерешенные задачи линейной теории управления при наличии неопределенности, т. е. робастности. Эта теория является динамичной, развивающейся областью исследований, где постоянно возникают новые задачи и создаются новые методы и подходы для их решения в соответствии с инженерными требованиями. Более того, многие вопросы робастной устойчивости в линейных системах управления остаются открытыми.

Работа посвящена развитию математического аппарата для анализа устойчивости стационарных и нестационарных систем управления по первому приближению, включающего новые аналитические методы и алгоритмы исследования задач робастной устойчивости для этих систем.

Целью диссертационного исследования является развитие аналитических и вычислительных методов исследования устойчивости систем управления по первому приближению, включающих аналитические методы и алгоритмы исследования робастной устойчивости этих систем.

В работе последовательно применяются как классические методы теории устойчивости (точное описание систем управления), так и методы робастной теории устойчивости (неопределенности в описании систем).

Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, базируется на достижениях в теории устойчивости, робастной теории, на корректности поставленных задач. Все доказательства проведены строго и основаны на выводах фундаментальных наук, таких как математический анализ, линейная и высшая алгебра, выпуклый анализ, теория матриц.

Основные результаты были представлены на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» Санкт-Петербург (2005) — на научной конференции «Процессы управления и устойчивость» факультета Прикладной математики — процессов управления Санкт-Петербургского Государственного университета (2002) — на региональной научно-технической конференции «Проблемы безопасности морского судоходства, технической и коммерческой эксплуатации морского транспорта» Морской Государственной Академии имени адмирала Ф. Ф. Ушакова (2005). Результаты работы обсуждались на семинарах ПМ — ПУ СПбГУ, НФ КубГУ, МГА имени адмирала Ф. Ф. Ушакова. Работа использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и для издания двух учебных пособий.

По теме диссертации опубликовано семь научных работ и два пособия.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим ' образом:

1. Сделан обзор методов исследования устойчивости матриц систем первого приближения, как с вычислением характеристического полинома, так и без его использования.

2. Проведен обзор методов исследования робастной устойчивости и типов неопределенности при описании линейных систем управления.

3. Установлены условия экспоненциальной устойчивости нестационарных линейных систем управления. Показано, что устойчивость и даже сверхустойчивость матрицы и (или) ее отрицательная определенность не гарантирует асимптотической устойчивости линейной нестационарной системы управления.

4. Показано использование допустимых линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов, сохраняющие их устойчивость к исследованию устойчивых выпуклых множеств таких коэффициентов.

5. Для системы первого приближения приведены аналитические критерии существования и методы построения устойчивых выпуклых множеств, как в пространстве коэффициентов характеристических многочленов, так и в пространстве параметров самой системы.

6. При некоторых условиях установлена взаимно однозначная связь между собственными числами матрицы первого приближения в нестационарном случае и отрицательной определенностью ее квадратичной формы. Проведены численные эксперименты с методами исследования устойчивости и робастной устойчивости.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в исследовании устойчивости линейных стационарных и нестационарных систем управления с помощью модифицированных критериев робастной устойчивости, как в пространстве коэффициентов характеристического полинома, так и в пространстве параметров самой системы, позволяющие уточнить границы динамический безопасности для исходных нелинейных систем управления. Этот подход является продвижением в развитии методов системного анализа управляемых систем, т.к. он позволяет установить границы допустимых отклонений параметров исследуемой системы от расчетных, при которых система остается устойчивой.

Практическая значимость полученных результатов, с одной стороны, заключается в применении новых прикладных методов уточнения областей робастной устойчивости, что позволяет обеспечить динамическую безопасность изучаемого объекта, а с другой, в возможности конструирования более эффективных систем управления, т.к. предложенные подходы позволяют рассматривать целиком семейство математических моделей динамики управляемых систем, определяемых множеством их допустимых параметров. В итоге появляется возможность снизить затраты времени и средств на создание новых управляемых систем.

Кроме того, отдельные теоретические результаты, полученные в диссертации, являются существенным вкладом в теорию устойчивости при наличии неопределенности, т. е. в теорию робастной устойчивости линейных систем управления. Результаты, полученные в работе, использовалась при чтении спецкурса «Методы исследования устойчивости динамических систем» на факультете Прикладной математики КубГУ и при издания двух учебных пособий подготовленных диссертантом в соавторстве.

Заключение

.