Заключение
.
В заключении сформулируем основные результаты работы.
1. В диссертации проанализированы задачи теории управления, приводящие к матричным дифференциальным и операторным уравнениям Риккати.
2. Для решения различных задач оптимального управления предложена процедура группового анализа на матрицах. Введены новые понятия (инфинитезимальный оператор на матрицах, определяющее уравнение на матрицах, коммутаторы на матрицах и т. д.). Для аналитического решения задач оптимального управления с помощью этой процедуры выполнен групповой анализ матричных дифференциальных уравнений Риккати.
3. Получены различные достаточные условия, при выполнении которых уравнения Риккати для задач управления динамическими системами интегрируется заменой переменных.
4. Получены условия линеаризуемости матричных дифференциальных уравнений Риккати, которые обобщают известный критерий линеаризуемости скалярного уравнения Риккати. С помощью полученных результатов аналитически решена задача оптимального управления движением вращающейся антенны.
5. Для решения задачи оптимального управления стационарными системами выполнен полный анализ алгебраических матричных уравнений Риккати. На основе этого анализа предложены различные процедуры практического решения типичных для теории управления уравнений Риккати. Связь между алгебраическим уравнением Риккати и системой линейных матричных уравнений для динамических систем используется для практического построения решения уравнения Риккати. Предложенная процедура иллюстрируется решением примеров.
6. Показано, что матричное дифференциальное уравнение Риккати обладает фундаментальной системой решений и получена оценка необходимого числа частных решений. Получены ангармонические отношения решений матричных дифференциальных уравнений Риккати.
7. Полученные результаты применены к решению практических задач теории управления.
1. Амбарцумян В. А. К вопросу о диффузии отражения света мутной средой // ДАН СССР. — 1943. —Т. 38, № 8. С. 257−261.
2. Андреев Ю. А. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976. — 424 с.
3. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.383 с.
4. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. — М.: Изд. АН СССР, 1957. — 519 с.
5. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов.
6. М.: Гостехиздат, 1956. — 334 с.
7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. — 575 с.
8. Гайшун И. В. Линейные уравнения в полных дифференциалах. — Минск: Наука и техника, 1989. — 254 с.
9. Гельфанд И. М., Локуциевский О. В. Метод прогонки для решения разностных уравнений // Годунов С. К., Рябенький B.C.
Введение
в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1962. — 340 с.
10. Герценштейн М. Е., Васильев В. В. Волноводы со случайными неоднородно-стями и броуновское движение в плоскости Лобачевского // Теор. вероят. и ее примен. — 1959. — № 4. — с. 424−432.
11. Гренандер У. Вероятности на алгебраических структурах. — М.: Мир, 1965.275 с.
12. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. — М.: ОНТИ, ГТТИ, 1934. — 359 с.
13. Джонсон Б. Л., Вендлинг Д. Е. Передаточные функции и входные импедансы систем трубопроводов, находящихся под давлением // Теор. основы инж. расчетов.1967. — Т. 2. — С. 291−303.
14. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. — 463 с.
15. Егоров М. А. Некоторые свойства матричного уравнения Риккати // Препринт № 147 института прикл. матем. АН СССР, 1990. — 20 с.
16. Егоров М. А. Об одном критерии линеаризуемости матричного уравнения Риккати и некоторых свойствах его решений // Диф. уравнения. — 1993. — № 10.1684−1688 с.
17. Егоров М. А. Уравнение Риккати в функциональных пространствах и некоторые его свойства / / Труды международного семинара «Современный групповой анализ». — Уфа, 1991.
18. Егоров М. A. On group analysis of Riccati equations // Proc. of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000.
19. Егоров M. A. Integration of matrix Riccati equations // Proc. of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000.
20. Егоров M. A. Matrix and operator Riccati equations: symmetries, solutions, linearization // Abstracts of the International Conference MOGRAN 2000. — Ufa, 2000. — P. 28.
21. Еругин H. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1970. — 570 с.
22. Журавлев В. Ф., Климов В. М. Прикладные методы в теории колебаний. — М.: Наука, 1988. — 325 с.
23. Захар-Иткин М. X. Методы численного решения граничных задач для матричных телеграфных уравнений // Электричество. — 1971. — Т. 2. — С. 33−37.
24. Захар-Иткин М. X. Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных преобразований // УМН. — 1973. — Т. XXVIII, вып. 3 (17/1). — С. 83−120.
25. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998. — 350 с.
26. Зеликин М. И. К теории матричного уравнения Риккати // Матем. сборник.1991. — Т. 182, № 7. — с. 970−984.
27. Зеликин М. И. К теории матричного уравнения Риккати // Матем. сборник.1991. — Т. 183, № 10. — С. 87−108.
28. Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных переменных. — М.: ИЛ, 1954. — 167 с.
29. Ибрагимов Н. X. Азбука группового анализа // Математика кибернетика. — М.: Знание, 1989. — 8. — 46 с.
30. Ибрагимов Н. Х. Опыт группового анализа // Математика и кибернетика. — М.: Знание, 1991. 7.-48 с.
31. Калаба Р. Инвариантное погружение и анализ процессов // Общая теория систем. Под ред. М. Д. Месаровича. — М.: Мир, 1966.
32. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М.: Мир, 1977. — 650 с.
33. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968. — 496 с.
34. Красовский Н. Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 475 с.
35. Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ГИТТЛ, 1957. — 456 с.
36. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. — 1960. — Т. 21, № 4, 5, 6- 1961. — Т. 22, № 2,4- — 1962. — Т. 23, № 11.
37. Лидский В. Б. Вопросы спектральной теории, связанные с системой дифференциальных уравнений второго порядка: Дисс.. канд. физ.-мат. наук. 01.01.02. Моск. гос. ун-т. — М., 1954.
38. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с.
39. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М.: Высшая школа, 1982. — 271 с.
40. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 340 с.
41. Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1961.576 с.
42. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 398 с.
43. Овсянников Л. В., Ибрагимов Н. X. Групповой анализ дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и техники. Общая механика. — М.: ВИНИТИ, 1975. — 2. — С. 5.-52.
44. Понтрягин Л. С. Избранные научные труды, 3. — М.: Наука, 1988. — 342 с.
45. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1978. — 551 с.
46. Рудин У. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975. — 443 с.
47. Сагитов М. С. Об одной модификации метода Шура решения матричного алгебраического уравнения Риккати // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 1992. — Т. 32, № 3. — С. 348−357.
48. Сазанов В. В., Тутубалин В. Н. Распределение вероятностей на топологических группах // Теор. вероят. и ее примен. — 1966. — Т. 11, № 1. — С. 3−55.
49. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — М.: ГТТЛ, 1953. — 468 с.
50. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
51. Хуа Ло-кен. Гармонический анализ функций многих комплексных переменных в классических областях. — М.: ИЛ, 1959. — 163 с.
52. Brockett R. W. Dinamical systems that sort lists, diagonalize matrices and solve linear programming problems // Proc. 27-th IEEE Conference on Decision and Control.
53. Austin, TX, 1988. — P. 779−803.
54. Bucy R.S. Structural stability for the Riccati equation // SIAM J. Control and Optimization. — 1975. — V. 13. — P. 749−753.
55. Bunse-Gerstner A., Mehrmann V. A symplectic GR like algorithm for the solution of the real algebraic Riccati equation // IEEE Trans. Automat. Control. — 1986. — V. 31.—P. 1104−1111.
56. Byers R. A Hamiltonian-Jacobi algorithm // IEEE Trans. Automatic. Control. — 1990. — V. 35. — P. 566−570.
57. Curtain R.F., Pritchard A.J. The infinite-dimensional Riccati equation for systems defined by evolution operators // SIAM J. Control and Optimization. — 1976. — V. 9.1. P. 950−983.
58. Gibson J. S. The Riccati integral equation for optimal control problems on Hilbert space // SIAM J. Control and Optimization. — 1979. V. 17. — P. 537−565.
59. Laub A. L. A Schur method for solving algebraic Riccsti equations // IEEE Trans. Automat. Control. — 1979. — V. 5, № 24. — P. 913−921.
60. Mycieski J., Paszkowski S. Sur une probleme du calcul de probabilite. i If Studia Math. — 1956. — V. 15, № 2. — P. 134−144.
61. Levin J. J. On the matrix Riccati Equation, // Proc. Amer. Math. Soc. — 1959.1. V. 10, № 4. — P. 519−524.
62. Lie S. Vorlesungen uber differenzialgleichungen mit bekannten infinitesimale trans-formationen. — Leipzig, 1891.
63. Lie S. Beruhrungstransformation Gruppen. — Leipsig, 1893.
64. Ibragimov N. H. Elementary Lie Group Analysis and ordinary differential equations.
65. Chichester, GB, John Wiley к Sons, 1999. — 347 p.
66. Paige Ch., Van Loan Ch. A Shur decomposition for Hamiltonian matrices // Linear Algebra and its Appl. — 1981. — V. 41. — P. 11−32.
67. Paszkowski S. Sur une probleme du calcul de probabilite // Studia Math. — 1953.1. V. 15, № 3. — P. 273−299.
68. Radon J. Uber die oszillationstheoreme der konjugierten punkte beim probleme von Lagrange. — Muncher Sitzungsberchte, 1927. — P. 243−257.
69. Radon J. Zum problem von Lagrange // Abhandlungen aus dem Math. Sem. Hamburg Univ. — 1928. — V. 6. —P. 273−299.
70. Redheffer R. M. Remark on basis of network theory // J. Math, and Phys. — 1950.1. V. 28, № 4. — P. 237−258.
71. Redheffer R. M. On solutions in Riccati equation of the initial values // J. Rat. Mech. Anal. — 1956. — V. 5, № 5. — P. 835−848.
72. Redheffer R. M. The Riccati equation: initial values and inequalities // Math. Ann.1957. — V. 133, № 3. — P. 235−250.
73. Redheffer R. M. Inequalities for a matrix Riccati equation // J. Math. Mech. —1959. — V. 8, № 3. —P. 349−367.
74. Redheffer R. M. Supplementary note on matrix Riccati equation // J. Math. Mech.1960. — V. 9, № 5. — P. 745−748.
75. Redheffer R. M. The Mycielski-Paszkowski diffusion problem // J. Math. Mech. —1960. — V. 9, № 4. — P. 607−621.
76. Redheffer R. M. On a certain linear fractional transformation // J. Math, and Phys. — 1960. — V. 39, № 4. — P. 269−286.
77. Redheffer R. M. The relation of transmission-line theory to scattering and transfer // J. Math, and Phys. — 1962. — V. 41, № 1. — P. 1−41.
78. Reid W.T. Riccati differential equations. — New-York, London: Academpress, 1972. — 216 p.
79. Riccati J. Animadversationes in aequationes differentiales secundi gradus // Acto-rium eruditorium quae Lipsiae publicantur. — 1724. — Supplementa 8. — P. 66−73.
80. Shayman M. A. Phase portrait of the matrix Riccati equations // SIAM J. Control and Optimization. — 1986. — V. 24. — P. 1−65.
81. Siegel K. L. Symplectic geometry // Amer. J. Math. — 1943. — V. 65. — P. 1−85.
82. Sternberg R. L. Application of the theory of systems of differntial equations to vibrating bims // Portugaliae Mth. — 1954. — V. 13, № 3.
83. Whyburn W. M. Matrix Differential Equations // Amer.J. Math. — 1934. — V. 54, № 1. — P. 587−592.
