Исследование системы автоматического управления

http://

Исходные данные Уравнения связей структурной схемы САУ :

н — задающее воздействие; ? — возмущающее воздействие; x_i — входная переменная i — звена; y_i — выходная переменная i — звена; у = у₁ выходная (управляемая) переменная САУ.

Параметры динамических звеньев исходной САУ:

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику звеньев исходной САУ:

T ₁ +=k₁ (ф₁ +k₀₁ x₁), (1)

T₂ + =k₂ (ф₂ +k₀₂ x₂), (2)

T₃ + y₃ = k₃ x₃, (3)

T₄ + y₄ = k₄ (ф₄ + x₄), (4)

1. Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления

1.1 Уравнения в операторной форме в общем виде

T₁ s² y₁ + s y₁ = k₁ (ф₁ s x₁ + k₀₁ x₁)

T₂ s² y₂ + s y₂ = k₂ (ф₂ s x₂ + k₀₂ x₂)

T₃ s y₃ +y₃ = k₃ x₃

T₄ s y₄ +y₄ =k₄ (ф₄ s x₄ +x₄)

после упрощения получим :

(T₁s² + s) y₁ =k₁ x₁(ф₁ s + k₀₁)

(T₂ s²+ s) y₂ =k₂ x₂ (ф ₂s + k₀₂)

(T₃ s + 1) y₃ = k₃ x₃

(T₄ s + 1) y₄ = k₄ x₄(ф₄ s + 1)

уравнение в операторной форме с учетом численных значений:

(0,7s² + s) y₁ = 1,2sx₁

(0,1s²+s)y₂ =(0,9s+1,8)x₂

y₃= k₃=1,4 x₃

y₄= k₄=0,7x₄

1.2 Передаточные функции элементов

= W₁(s) = = =

= W₂(s)=

= W₃(s) = k₃=1,4

= W₄(s) = k₄=0,7

1.3 Структурная схема По уравнениям связи строим структурную схему исходной нескорректированной САУ:

1.4 Структурные преобразования Заменим звенья W₃(s) и W₂ (s) одним звеном W₅(s) по правилам структурных преобразований :

y₂ = x₂(s)?W₂(s)

x₂=y₃

y₃ = x₃(s)?W₃(s)

y₂=x₃(s)?W₃(s)?W₂(s)

Решая эти уравнения совместно, получим:

=W₅(s)= W₃(s)?W₂(s);

W₅(s) = k₅=2,52

Заменим контур W₄ (s), W₅ (s) одним звеном W₆(s)

По правилам структурных преобразований:

y_{6 =} y₅+y₄;

y₅ =x₅(s)W₅(s);

y₄=x₄(s)W₄(s); y₆= x₅(s)W₅(s)+x₄(s)W₄(s);

=W₆(s)=W₅(s)+W₄(s);

W₆(s)=

Передаточная функция разомкнутой системы :

Коэффициент передачи:

K_раз = k_{1 ? ?}k₅ =3,02

W_раз(s) = W₆(s) ?W₁(s) =

1.5 Передаточная функция замкнутой САУ Передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию v

W _VY = = =

1.6 Передаточная функция по ошибке

W_e (s) = =

1.7 Критерии устойчивости

1.7.1 Формулировка критерия Гурвица Для того, чтобы линейная САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель матрицы Гурвица и все его n-1 диагональные миноры были положительными.

Матрица Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения системы по определенным правилам.

Характеристическое уравнение заданной системы.

В критерии Гурвица характеристическое уравнение задается в виде операторного полинома :

D (p) = a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + …+a_n-1 p+ a_{n ,}

Чтобы получить характеристическое уравнение заданной системы, приравниваем к нулю знаменатель заданной САУ :

0,07s³

Обозначим коэффициенты и найдем их значения:

a₀ = 0,07 0 ,

a₁ = 0,88 0 ,

a₂ = 3,35 0,

a₃ = 3,02

все коэффициенты характеристического уравнения положительны — необходимое условие устойчивости выполняется.

Составляем матрицу Гурвица:

=

Условия устойчивости :

= = 0,88

= - = 2,73 0.

По условию Гурвица система является устойчивой.

1.7.2 Критерий Михайлова Формулировка критерия для устойчивости системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вектор описываемый кривую (годограф) Михайлова при изменении щ от 0 до огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно в положительном направлении n квадрантов, где nпорядок системы.

При этом изменения аргумента arg D (jщ) равно n .

Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости.

Характеристическое уравнение системы :

+ +…+ s + .

Делаем подстановку (s =

получим комплексный полином :

(jщ)ⁿ + (jщ)^n-1 +…+ = X (щ) + j Y (щ) = D (щ)e ^jц(щ) ,

0,07(j щ)³+ 0,88(j щ)²+3,35(j+3,02=X (щ)+j Y (щ).

Выделим вещественную и мнимую часть:

X (щ)= 3,02- 0,88щ²,

Y (щ)= 3,35щ — 0,07щ³

Составим таблицу значений:

Построим по полученным значениям годограф Михайлова

По графику видно, что критерий Михайлова выполняется, так как годограф проходит n=3 квадрантов и на 3 квадранте уходит в бесконечность. Система устойчива!

1.7.3 Критерий Найквиста Этот критерий называется точечным критерием. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы W_s (jщ) Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста не охватывал критическую точку (-1,0)

Условие выполняется!

1.8 Построение АЧХ, АФЧХ, ЛАХ, ЛАФЧХ и годографа в среде MatLab.

Частотные характеристики

1.9 Показатели качества переходных процессов при моделировании на ЭВМ Переходный процесс идет по возрастающей!

При подаче на вход импульса процесс стабилизируется, но не сразу отклоняясь от нуля.

2. Синтез последовательного корректирующего устройства на основании метода желаемой ЛАЧХ

2.1 Построение асимптотической ЛАЧХ нескорректированной системы

W_нес =

При построении ЛАЧХ системы, состоящей из последовательных типовых звеньев учитывается, что логарифм произведения есть сумма логарифмов, поэтому для каждого звена можно построить ЛАЧХ, а затем просуммировать и получить ЛАЧХ всей системы.

Для построения L_сн (щ) рассчитываем параметры:

1) 20 lg k_раз = 20 lg (k₁ k₅) = 20 lg (3,02) = 9,6 дБ

2) Частоты сопряжения системы:

=1/ ф₁ = 1/ 1 =1 рад/ сек

=1/ T₁ = 1/0,7=1,42 рад/сек

=1/T₂ = 1/0,1 = 10 рад/сек по оси абсцисс возьмем логарифмический масштаб (lg щ). Пересчитаем частоты сопряжений в десятичных логарифмах частоты:

lg = lg (1) = 0 дек

lg = lg (1,42) = 0,15дек

lg = lg (10) =1дек

в координатной плоскости [ L (w), lg w] при частоте w=1 (lg 1= 0 дек) отложим ординату 20 lg k и логарифмы частот сопряжений.

В низкочастотной области асимптотическая L_нс (w) — прямая линия проходящая под наклоном — 20 дБ/ Дек через точку с координатами (20 lgk, 0). Таким образом асимптотическая L_HC (w) представляет собой ломанную с наклонами -20, -40, -20 и -40 дБ/дек.

2.2 Построение асимптотической желаемой ЛАЧХ — L_ж

Построение низкочастотной зоны L_жел (щ) начинаем с определения требуемого коэффициента

K_тр = 1/y_доп (=1/0,005 = 200 20 lg k_тр = 46

Через точку 20 lg k_тр проводим прямую линию под наклоном -20 дБ/дек.

Эта линия соответствует низкочастотной зоне желаемой ЛАЧХ.

Для определения СЧЗ необходимо определить частоту среза W_c желаемой ЛАЧХ и ординаты начала и конца зоны.

При заданном _{мах.доп} = 25 определяем P _{мах ,} T_peг f (P_мах)

Находим время регулирования

T_peг =

При заданном значении допустимом времени регулирования

T_{рег.доп} =1,5 с частоту среза найдем по формуле:

_с = = = 6,07 рад/с

Lg_c =0,78

Среднечастотная асимптота проводится под наклоном — 20 дБ/дек через точку lgc начальная и конечная ординаты 16 дБ.

Высокочастотная зона L_жел (щ) строится параллельно ЛАЧХ исходной САУ ее наклон -20 дБ/дек или -40 дБ/дек.

Определим ЛАЧХ последовательно корректирующего устройства L_ку(щ) графическим вычитанием ординат L_HC (щ) из ординат L _жел (щ)

2.3 Определение передаточной функции и параметров корректирующего устройства.

Передаточная функция корректирующего устройства :

W_ку (s) = k_ку .

Найдем численные значения времени T₄, T₅, T₆ :

T₄ = 1/_ср5; lg щ_cp4=0,055 дек, щ_ср4=1,135 рад/с Т₄=0,88 с

T₅ = 1/щ_ср6; lg щ_cp5=1,705 дек, щ_ср5=50,6 рад/с Т₅=0,02 с

T₆ = 1/щ_ср6; lg щ_cp6 =1,365 дек, щ_ср6=0,043 рад/с Т₆=23,26 с Коэффициент передачи регулятора определяется по формуле:

K_ку = = = 66,2

2.4 Структурная схема синтезированной САУ Включаем корректирующий элемент в структурную схему.

2.5 Запас устойчивости по фазе скорректированной САУ Считаем запас устойчивости по передаточной функции:

W_жел (s) = k _тр ?

(= - -(_c), при A (= 1

Для форсирующего звена :

(_с) = arctg (T_{4 c})

Для апериодических звеньев:

(_с) = - arctg (T_{5 c})

(_c) = - arctg (T_{6 c})

Для интегрирующего звена: (_с) = ;

() = -180 — [ arctg (T_{4 c}) — arctg (T_{6 c}) — arctg (T_{5 c}) — 90] / = 73,3

2.6 Проверка результатов синтеза методом цифрового моделирования после ввода корректирующего звена процесс стабилизации занимает 1,8с.

Переходная характеристика скорректированной САУ имеет вид:

При подаче на вход импульса:

Частотные характеристики:

Вывод автоматический управление моделирование Оценка показателей качества переходного процесса и статической ошибки регулирования Скорректированной САУ при единичном ступенчатом воздействии Время регулирования уменьшилась по сравнению с исходной T_рег. = Т _{рег. доп} = 1,5с Статистическая ошибка регулирования: _у(щ) = 0 в отличии от исходной САУ.