Об устойчивости движения неконсервативных систем со связями

Существует целый ряд практических задач о движении цепочек твердых тел в среде с сопротивлением или же на шероховатой поверхности. Этот класс задач механики относится к разделу динамики систем многих тел (multibody dynamics [1,2]). Актуальность исследования динамики многозвенных систем обусловлена большим прикладным значением в таких отраслях как робототехника, транспортные системы, физика полимеров [3−10]. В настоящей работе основное внимание уделяется вопросам устойчивости движения цепочек тел.

При некоторых ограничениях относительно формы тел, входящих в цепочку, а также на характер действующих сил, рассматриваемая система может допускать прямолинейное движение цепочки как твердого тела. Вместе с тем, в реальных технических системах очень часто данное движение оказывается неустойчивым. Похожие явления наблюдаются также при движении тросовых систем (Рис. 0.1), которые можно рассматривать как предельный случай движения цепочек твердых тел при п —> оо, где п количество звеньев.

Пример потери устойчивости прямолинейного движения тросовой системы, созданной для исследования атмосферы Марса учеными Московского авиационного института, приводится в работе.

Рис. 0.1: Отклонение нити от прямолинейной формы под действием набегающего потока жидкости. Эксперимент проводился в Курантовском институте прикладной математики [11].

С.Д. Фурты [12]. Система состояла из переносимого ветром аэростата и цепочки твердых тел конической формы, прикрепленной к гондоле аэростата с помощью троса. На практических испытаниях, проводимых на Земле, оказывалось, что когда аэростат двигался с достаточно большой скоростью, цепочка тел совершала значительные поперечные колебания, что приводило к неустойчивости движения всей системы. В статье [12] неустойчивость объяснялась непостоянством коэффициента трения в зависимости от точки плоскости, по которой двигалась связка последовательно соединенных твердых тел.

Другой пример подобной системы содержится в книге Р. Бишопа [13], где описывается явление потери устойчивости длинной эластичной емкости, заполненной нефтью. Здесь также оказывалось, что при определенных скоростях буксира транспортируемая емкость совершала поперечные колебания с большой амплитудой, препятствуй ющие движению, однако потерю устойчивости в данной системе нельзя объяснить влиянием неоднородной силы трения.

Между тем, возможны другие механизмы потери устойчивости. Например, если рассмотреть элементарный твердый сегмент, движущийся в среде с сопротивлением, то с физической точки зрения совершенно очевидно, что для того чтобы совершить виртуальное перемещение параллельно его плоскости нужно затратить работу меньшую, чем в перпендикулярном направлении. Предельная ситуация приводит к наложению на систему дополнительной неинтегриру-емой связи, запрещающей перемещение сегмента в перпендикулярном направлении. Связи такого типа рассматривались ранее и для систем с бесконечным числом степеней свободы. В частности, в работах [14−18] авторы пытались таким образом объяснить механизм движения рыб и змей в воде.

Известно, что влияние неинтегрируемых связей может приводить к потери устойчивости в реальных системах. Прежде всего речь идет о шимми ведущего колеса самолета [19]. Другой пример — неустойчивость движения игрушечной собаки на колесах, которую тянут за веревку, содержится в книге [13]. В статье [20] рассмотрены системы с бесконечным числом степеней свободы (тросы) с позиции влияния связи на устойчивость. Эта работа имела своей целью объяснить явление потери устойчивости буксируемой длинной емкости, заполненной нефтью [13].

Как уже отмечалось, распределенную систему можно считать предельным случаем цепочки твердых тел. В настоящей работе рассматривается задача о механизме потери устойчивости прямолинейного движения простейшей цепочки твердых тел с произвольным количеством звеньев, на которую наложены дополнительные неин-тегрируемые связи.

Классической общепризнанной моделью неинтегрируемой связи является неголономная связь. С другой стороны, существует другая модель, предложенная В. В. Козловым [21,22] — модель ваконом-ной связи, которая основана на вариационном Лагранжевом подходе. Сравнению этих двух моделей с точки зрения корректности математической постановки посвящена статья [25].

Тем не менее, у исследователей, более ориентированных на приложения, предложенный формализм вакономной механики вызывает некоторые возражения (см. статью Г. Дзампьери [26], показывающую, что классическая система (конек Чаплыгина), рассматриваемая, как вакономная, ведет себя странным образом). Между тем надо иметь в виду, что любая неинтегрируемая связь является идеализацией и появляется как результат некоторых больших по модулю сил. Так, например, в работе М. В. Дерябина и В. В. Козлова [27] дается объяснение «парадоксальным» частным движениям вакономного конька [26] на основании эффекта «выныривания» тяжелого твердого тела в жидкости.

Известно, что большие силы трения специального вида приводят в пределе к появлению неголономной связи. Первая работа относительно возможной реализации связи принадлежит К. Каратеодори [28]. Аккуратное доказательство этих утверждений содержится в работах.

А.В. Карапетяна и В. Н. Бренделева [29,30]. Проблема реализации неголономных связей была рассмотрена также И. Баумгарте [31]. В своей статье он рассмотрел ее методами численного анализа, не доказывая теорем о предельном переходе.

Вакономная связь может быть реализована с помощью действия больших инерционных сил, возникающих за счет действия присоединенных масс (эффект хорошо известный в гидродинамике). Поэтому вакономная модель может оказаться более предпочтительной для описания предельного движения цепочки тел в жидкости.

Одна из задач данной диссертации — показать, что механизм неустойчивости лежит в характере взаимодействия тел со средой, т. е. в соответствующей модели силы трения.

Другая задача, рассмотренная в диссертационной работе, является продолжением исследования асимптотических свойств движений механических систем, начатых В. В. Козловым [32−35]. Как известно [36], сущность первого метода Ляпунова состоит в нахождении общего или частного решения уравнений возмущенного движения механической системы, позволяющего сделать вывод о том, устойчиво ли ее нулевое решение или нет. В случае, когда кинетическая энергия Т (q, q) и потенциальная энергия V (q) натуральной голономной системы представляют собой аналитические функции, a q = 0 является невырожденной критической точкой потенциальной энергии, эта задача полностью решена A.M. Ляпуновым. При отсутствии минимума в точке q = 0 асимптотическое решение находится в виде сходящегося ряда qW=?q k (t)ekX^ А>0, к=1.

Ситуация, когда отсутствие минимума нельзя определить по квадратичной форме разложения потенциальной энергии подробно рассматривалась в работах [32,34]. Неустойчивость выводилась из теоремы о существовании асимптотического решения, которое было представлено рядом с обобщенно-степенной асимптотикой. Позже В. В. Козловым рассматривались возможные построения асимптотических решений и для неголономных систем.

Хорошо известно, что если q = 0 — точка строгого локального минимума потенциальной энергии V (q), то невозмущенное движение q (?) = 0 неголономной системы устойчиво по Ляпунову на инвариантном многообразии, задаваемом уравнениями связей [37], как при действии диссипативных сил так и при их отсутствии. Обратное утверждение при некоторых дополнительных предположениях было доказано в [33] для консервативных систем. В настоящей диссертации применяется обобщенный первый метод Ляпунова для неголономных систем с полной диссипацией и для голономных систем с частичной диссипацией.

Диссертационная работа состоит из четырех глав. В первой главе дается постановка задачи об устойчивости п последовательно соединенных коньков. Подробно разбираются случаи п = 1, п = 2. В этом разделе приводятся различные модели для описания влияния среды на движение тел в цепочке. Рассматриваются системы, на которые наложены неинтегрируемые связи и системы, на которые воздействует анизотропная сила трения, а также исследуется эффект присоединенных масс на устойчивость движения. ® Глава 2 посвящена обобщению полученных результатов на системы с произвольным числом звеньев. Основной результат заключается в том, что вне зависимости от того, какие значения выбраны для безразмерных параметров, характеризующих систему, движение п транспортируемых коньков неустойчиво. Причем в системе, на которую наложена неголономная связь, неустойчивость будет типа флаттера. Показано также, что если рассматривать дифференциальные уравнения, получающиеся из вариационного принципа Гамильтона, то можно придти к тому же выводу о неустойчивости движения, только неустойчивость будет иметь другой тип. В заключении этой части диссертационной работы рассмотрен случай п —> оо. Путем формального предельного перехода устанавливается взаимосвязь между уравнениями движения длинной транспортируемой емкости [20] и уравнениями движения цепочки тел.

В главе 3 основное внимание уделяется стабилизации прямолинейного движения цепочки твердых тел. В первом параграфе описывается влияние свойств среды на устойчивость. Показано, что при наличии достаточно большого диссипативного момента и силы трения рассматриваемое движение может быть стабилизировано. В других двух параграфах этой главы рассмотрены различные механические устройства соединения тел в цепочке. Дается обоснование того, что • при дополнительном соединении тел пружинами движение остается неустойчивымвлияние же демпферов достаточной жесткости способно застабилизировать прямолинейное движение тг транспортируемых коньков.

Устойчивости положения равновесия в механических системах с диссипацией посвящена глава 4. Исследование проводится с помощью обобщенного первого метода Ляпунова, развитого в работах В. В. Козлова и С. Д. Фурты [32,33,35,38]. Для неголономной системы с полной диссипацией доказывается неустойчивость положения равновесия в том случае, когда потенциальная энергия V (q) в критической точке не имеет минимума, и отсутствие минимума можно определить по первой нетривиальной однородной форме в разложении V (q) в ряд Маклорена. Неустойчивость выводится из существования асимптотического решения к положению равновесия. Также с помощью первого метода Ляпунова исследуются равновесие голоном-ной системы с частичной диссипацией. Отметим, что существование полученных асимптотических решений не следует из опубликованных ранее работ [32,33,35,38]. Также новыми являются результаты относительно неустойчивости положений равновесия (ср. [39−42]).

Заключение

.

Сформулируем кратко основные результаты диссертационной работы.

1. Прямолинейное движение транспортируемой цепочки тел неустойчиво. Неустойчивость имеет место для любых значений безразмерных параметров, характеризующих систему. Эти выводы одинаково справедливы как для неголономной, так и для вакономной системы. Но если у неголономной системы неустойчивость будет типа флаттера, то у вакономной системы она будет иметь другой тип.

2. Найдены достаточные условия стабилизации прямолинейного движения цепочки тел. Показано, что при достаточно большом дис-сипативном моменте и большой по модулю силы трения движение будет устойчивым. Также обоснована возможность стабилизации при наличии демпферов достаточной жесткости, установленных в шарнирах.

3. Показано, что у неголономной системы, на которую действуют потенциальные и диссипативные силы, положение равновесия неустойчиво, если первая нетривиальная форма в разложении потенциальной энергии в ряд Маклорена не имеет минимума в равновесии.

4. Исследованы условия, при которых из отсутствия минимума у потенциальной энергии у голономной системы с частичной диссипацией следует неустойчивость равновесия.