Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского

1. Канонические представления на эрмитовых симметрических пространствах С/К были введены Березиным [3], [4] и Вершиком-Гельфандом-Граевым [6] - для целей квантования и квантовой теории поля. Сам термин «канонические представления» был введен в [6]. Эти представления были унитарными относительно некоторого нелокального скалярного произведения (сейчас называемого формой Березина). Березин получил разложение этих представлений и изучил их поведение, когда параметр А, нумерующий их, стремится к — оо, и тем самым установил справедливость принципа соответствия из квантования. Подробные доказательства были даны в [32].

Как нам кажется, рамки унитарности являются слишком узкими. Более естественным нам представляется рассматривать канонические представления в более широком смысле: мы отказываемся от условия унитарности и позволяем этим представлениям действовать в более широких пространствах, в частности, в некоторых пространствах обобщенных функций.

Канонические представления порождают граничные представления — двух типов: представления одного типа действуют в обобщенных функциях, сосредоточенных на границе, представления второго типа действуют в струях, трансверсальных к границе (в коэффициентах Тейлора относительно границы).

Один из источников для получения канонических представлений наоднородном пространстве С?/// состоит в следующем. Мы берем некоторую группу (7 («надгруп-пу»), содержащую (7, берем некоторую серию представлений Дд, А € С, индуцированных характерами (одномерными представлениями) некоторой параболической подгруппы Р группы СУ, связанной некоторым образом с исходным пространством СУ/Н, и затем ограничиваем эти представления на СУ, кроме того, ограничиваем функции на СУ/Р из пространств представлений /?д, на орбиту (или ее замыкание) группы Полученные представления и есть то, что мы называем каноническими. Вообще говоря, представления могут еще зависеть от некоторого дискретного параметра.

2. В настоящей работе мы исследуем канонические представления и порожденные ими граничные представления на пространстве Лобачевского произвольной размерности. Мы используем аналог модели Клейна: пространство Лобачевского размерности п — 1 есть открытый единичный шар В в прстранстве К. п~, группа движений есть псевдоортогональная группа СУ = 80о (п — 1,1) лоренцовой сигнатуры, она действует на В дробно-линейно. Стационарная подгруппа начала координат есть максимальная компактная подгруппа К = 80(п — 1), так что В — С/К.

Диссертация состоит из двух глав.

Главная часть диссертации — это глава II. Здесь мы определяем канонические представления Яд, А € С, группы СУ как ограничения на (7 максимально вырожденных серий представлений группы СУ = БЦп, К). Последние представления были исследованы в работе [24]. В выборе надгруппы СУ мы следуем подходу работы [23]. [Возможен другой подход: в качестве надгруппы СУ можно взять псевдоортогональную группу БОо^, 1), этот вариант мы оставляем в стороне.] Пространство, в котором действуют наши Яд, есть пространство Т>(В), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на замыкании В шара В. Эти представления можно распространить на пространство Т)'(В) обобщенных функций на Кп-1 с носителями в В.

В начальных параграфах главы II мы строим гармонический анализ на пространстве Лобачевского В. С одной стороны, этот материал в основном хорошо известен, и результаты являются классическими, см., например, [5], так что мы даем его ради полноты. С другой стороны, как нам кажется, мы внесли некоторые усовершенствования в это изложение, см., например, использование преобразования Пуассона и вид формулы обращения в § 19.

Здесь же мы даем разложение формы Березина (см. § 20). Некоторые пересечения с работой [23] оказываются неизбежными. Формула, которая дает «собственные числа» Л (А, а) формы Березина в виде.

Г1 (Р п—<�г—Л д / М 2 ^ 1 I 2).

1 ' гН) г (^) ' см. (20.10), является аналогом формулы Березина [4] для эрмитовых симметрических пространств ранга 1.

Из этой формулы получается асимптотическое поведение преобразования Березина при Л — оо. Более того, мы можем написать полное разложение преобразования Березина. Для того чтобы получилась прозрачная явная формула, надо разлагать не по степеням 1/А, а использовать обобщенные степени переменной (—А — п)/2. Идея такого разложения была предложена в [20].

Далее, мы определяем операторы Р1<�т и сплетающие канонические представления Я и представления Та группы (7, связанные с конусом (более точно Т2-п-а для Рх, а и Т&bdquoдля Гх, а) — Мы называем эти операторы преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями.

Мы подробно исследуем мероморфную структуру по, а преобразований Р>а и Эта информация является решающей для разложения граничных представлений и М (см. § 23 и § 26). В частности, полюсам второго порядка отвечают жордановы клетки в разложении граничных представлений.

Пуканский [30] был первым, кто обнаружил появление унитарного представления дополнительной серии в качестве дискретного слагаемого в разложении тензорных произведений унитарных представлений группы БЬ (2, М). Эти произведения во многом аналогичны каноническим представлениям. Аналогичный факт был установлен Вершиком-Гельфандом-Граевым [6] для унитарных канонических представлений на плоскости Лобачевского — единичного круга И: г г < 1. Представление дополнительной серии, появляющееся для некоторых значений параметра, было реализовано в дельта-функциях <�р (з)6(р) на границе 5 круга ?>, здесь г = гв, 0 < г < 1, = 1, р = I — г2, 6(р) — дельта-функция Дирака. В работе ван Дейка-Хилле [23] о канонических представлениях на гиперболических пространствах в разложении появилось конечное число представлений дополнительной серии, однако, в этой работе не было реализации их в виде пространств обобщенных функций сосредоточенных на границе. В нашей работе [25] мы впервые указали инвариантные подпространства обобщенных функций, сосредоточенных на границе, — для плоскости Лобачевского (были даны явные формулы для таких функций). Для параметра общего положения получается диагонализация (разложение в прямую сумму) граничных представлений.

Наконец, в § 28 мы даем разложение канонических представлений Для простоты мы ограничились параметром, А из полос Д: к < 11е, А < к € 2. Оказы.

Бается, что для Л из полосы /о имеет место разложение такого же типа, как разложение квазирегулярного представления: прямой интеграл представлений непрерывной серии Тег, & = ^ + гр, с кратностью 1. Для других Л требуется брать дополнения пространства ?>(??). А именно, для, А из полосы /*+!, к € М, нужно добавить пространство Т, к (В) обобщенных функций, сосредоточенных на границе, см. § 23. Тогда в пространстве Т) к (В) = Х>(В) + Е/е (В) представление Дд разлагается в сумму двух слагаемых: первое разлагается как каноническое представление для полосы /о, второе разлагается в прямую сумму к + 1 слагаемых Т2-п-х+2т, ш — 0,1,., Л. Для Л из полосы 1-к-, к € М, надо пространство Т>{В) расширить до пространства Тк+{В), см. § 23, тогда тоже представление распадается в сумму двух слагаемых: первое ралашется как каноническое представление для полосы /о, второе разлагается в сумму & +1 слагаемых.

Гр"л+2т, ГП — 0, 1,.. ., к.

В главе I мы исследовали канонические представления на плоскости Лобачевского, используя еще один подход: в качестве надгруппы мы взяли группу (? = 8Ь (2, С). В этой главе получены результаты, аналогичные описанным выше для пространства Лобачевского в модели Клейна.

Канонические представления на плоскости Лобачевского, определенные в главе I и в главе И, эквивалентны, если их рассматривать на пространстве Т>(В) или в пространстве 1У {В). Формы Березина различны.

3. Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения (§ 0) и 28 параграфов, разбитых на две главы.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Типергеометричес-кая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том II. М.: Наука, 1970.

3. Березин Ф. А. Квантование в комплексных симметрических пространствах. Изв. АН СССР. Сер. мат., 1975, том 39, No. 2, 363−402.

4. Березин Ф. А. Связь между кои контравариантными символами операторов на классических комплексных симметрических пространствах. Докл. АН СССР, 1978, том 241, No. 1, 15−17.

5. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

6. Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И. Представления группы SL (2, R), где R кольцо функций. Успехи матем. наук, 1973, том 28, No. 5, 83−128.

7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958.

8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

9. Трошева Л. И. Представления в обобщенных функциях на плоскости Лобачевского, сосредоточенных на границе. Державинские чт. III: матер, научн. конф., 1998, 6−7.

10. Трошева Л. И. Канонические представления на плоскости Лобачевского. Держат винские чт. IV: матер, научн. конф., Тамбов, 1999, 21−22.

11. Трошева Л. И. Граничные представления, связанные с каноническими представлениями на плоскости Лобачевского. Державинские чт. V: матер, научн. конф., Тамбов, 2000, 12−14.

12. Трошева Л. И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими преобразованиями. Вестник Тамбовского ун-та, 2002, том 7, вып. 1, 44−46.

13. Трошева Л. И. Разложение канонических представлений на плоскости Лобачевского. Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 142−144.

14. Трошева Л. И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве. Вестник Тамбовского ун-та, 2004, том 9, вып. 1, 83−86.

15. Трошева Л. И. Разложение канонических представлений на комплексном гиперболическом пространстве. Вестник Тамбовского ун-та, 2004, том 9, вып 1, 86−88.

16. Трошева Л. И. Канонические и граничные представления на пространстве Лобачевского. Вестник Тамбовского ун-та, 2004 tтоп9, Р>Ып.З, J06- 2>U.

17. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966.

18. Молчанов В. Ф. Представления псевдоортогональной группы, связанные с конусом. Матем. сб., 1970, том 81, No. 3, 358−375.

19. Молчанов В. Ф. Сферические функции на гиперболоидах. Матем. сб., 1976, том 99, No. 2, 139−161.

20. Молчанов В. Ф. Гармонический анализ на однородных пространствах. Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. / ВИНИТИ. 1990, том 59, 5−144.

21. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть I, М.: Гостехиздат, 1956.

22. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

23. Dijk. G. van, Hille S. Canonical representations related to hyperbolic spaces. J. Funct. Anal., 1997, vol. 147, 109−139.

24. Dijk. G. van, Molchanov V.F. Tensor products of maximal degenerate series representations of the group SL (n, R). J. Math. Pures Appl., 1999, t. 78, No. 1, 99−119.

25. Grosheva L.I. Canonical representations on the Lobachevsky plane. In: European School in Group Theory, Leiden, The Netherlands, June 22-July 4, 1998. Course Descriptions, 19−20.

26. Grosheva L.I. Boundary representations associated with canonical representations for complex balls. European School in Group Theory, SDU-Odense Univ., Denmark, August 14−26, 2000, 7.

27. Molchanov V.F., Grosheva L.I. Canonical and boundary representations on the Lobachevsky plane. Acta Appl. Math., 2002, vol. 73, 59−77.

28. Molchanov V.F., Volotova N.B. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperbolid of one sheet. Вестник Тамбовского ун-та, 1998, том 3, вып. 1, 65−78.

29. Pukanszky L. On the Kronecer products of irreducible representations of the 2×2 real unimodular group. I, Trans. Amer. Math. Soc., 1961, vol. 100, No. 1, 116−152.

30. Tengstrand A. Distributions invariant under an orthogonal group of arbitrary signature. Math. Scand., 1960, vol 8, 201−218.

31. Unterberger A. and Upmeier H., Berezin transform and invariant differential operators. Comm. Math. Phys., 1994, 164, 563−598.