Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Разработка численного метода конформного отображения и его применение в вычислительной гидродинамике

Диссертация: Разработка численного метода конформного отображения и его применение в вычислительной гидродинамике
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Имеются некоторые простые области, стандартные, для которых можно легко указать, например, ход эквипотенциальных или силовых линий поля. В таком случае автоматически получается решение задачи для всех областей, допускающих конформное преобразование. В качестве стандартных областей чаще всего берутся верхняя полуплоскость, параллельная полоса, прямоугольник или круговое кольцо. В случае… Читать ещё >

Содержание

  • 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
    • 1. 1. Историческая справка
    • 1. 2. Метод П.Ф. Фильчакова— метод последовательных конформных отображений
    • 1. 3. Вариационный метод М.А.Лаврентьева
    • 1. 4. Метод П.П. Куфарева
  • 2. ЗАДАЧА ОБ ОБРАТНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ПОЛУПЛОСКОСТИ С РАЗРЕЗОМ
    • 2. 1. Постановка задачи
    • 2. 2. Геометрический способ
    • 2. 3. Итерационный метод
    • 2. 4. Применение аналитических методов
    • 2. 5. Восстановление функции ?(2) по ее скачку
    • 2. 6. Обсуждение численных результатов
  • 3. ОПИСАНИЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКИХ КОНТУРНЫХ РАЗРЕЗОВ
    • 3. 1. Выбор базового алгоритма
    • 3. 2. Технология преобразований
    • 3. 3. Численные примеры и тестирование
  • 4. ОТОБРАЖЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ БОЛЕЕ ОБШЕГО ВИДА
    • 4. 1. Отображение внутренних и внешних областей
    • 4. 2. Примеры расчета
    • 4. 3. Отображения двусвязных областей
    • 4. 4. Расчет течения в круговом кольце
  • 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С ФИКСИРОВАННЫМИ ГРАНИЦАМИ
    • 5. 1. Емкость и проводимость
    • 5. 2. Присоединенные массы
    • 5. 3. Задача С. Венана — Жуковского
  • 6. ЭВОЛЮЦИОНИРУЮЩИЕ ОБЛАСТИ
    • 6. 1. Математическая модель
    • 6. 2. Задача о нефтяной скважине
    • 6. 3. Растекание тяжелой жидкости
    • 6. 4. Всплывание газового пузыря
    • 6. 5. каверна в скошенном потоке
  • 7. ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ
    • 7. 1. Задача о собственных колебаниях жидкости
    • 7. 2. течение тяжелой жидкости над неровным дном
    • 7. 2. / Математическая постановка
      • 7. 2. 2. Отображение полосы с выступами над ровным дном
      • 7. 2. 3. Решение задачи о течении над неровным дном
      • 7. 2. 4. Результаты расчетов

Разработка численного метода конформного отображения и его применение в вычислительной гидродинамике (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В вычислительной практике после появления быстродействующих ЭВМ стали господствовать метод конечных разностей, конечных элементов и другие подобные им методы для решения краевых задач. Было бы хорошо, чтобы они дополнились также и методом численных конформных отображений, тем более, что на его разработку затрачено много усилий известными математиками.

Поэтому в настоящей диссертации сделана попытка создания некоторого варианта численного метода конформных отображений, который позволил бы сделать его достаточно стандартным и доступным для практического применения. Необходимость в нем давно уже назревала, а его реализация стала возможной благодаря доступности современной вычислительной техники. Об актуальности данной проблемы говорит ряд работ зарубежных и отечественных авторов [56−58,91,94,96].

Такой численный метод задуман как некоторый алгоритм для пересчета координат точек из одной области в другую и обратно. Для этого нужно разработать специальные вычислительные процессы, позволяющие производить отображение широкого класса областей, которые можно было бы задавать не только в аналитическом, но и в графическом виде.

Он может пригодиться и в традиционных конечно-разностных методах, например, при конструировании расчетных сеток, снимая при этом затруднения, связанные со сложностью геометрической формы областипричем такие сетки автоматически будут получаться ортогональными. Но, для многих задач он сразу же дает их решение, без применения каких-либо разностных схем, одним лишь конформным преобразованием. В других случаях, в задачах с неоднородными краевыми условиями, требуется дополнительно использовать ещё быстрое преобразование Фурье.

Долгое время считалось, что область применения теории аналитических функций и конформного отображения ограничивается только плоскими задачами теории потенциала. Действительно, в этом случае, после осуществления подходящего преобразования, автоматически решается и вся задача. Но если конформное отображение понимать в более узком смысле, просто как удобный способ перехода к новой системе координат, то круг его применения существенно расширяется и появляется возможность решать различные краевые задачи физики и техники с уравнениями более сложного вида, чем уравнение Лапласа. Главным при этом является то, что удается избежать всевозможных затруднений, связанных со сложностью геометрической формы.

Состояние методов конформного отображения до последнего времени было таково, что они представляют собой просто набор известных функций, хотя и достаточно широкий, но все же ограниченный. С их помощью было решено немало различных задач прикладного характера по расчету полей в гидродинамике, электростатике, теории упругости. Были развиты даже самостоятельные научные разделы, такие, как теория струй и теория фильтрации грунтовых вод, позволяющие не только рассчитывать поле, но и находить неизвестные свободные границы. Применение численных конформных отображений должно, очевидно, существенно расширить круг решаемых таким способом задач.

Основанием для применения конформных преобразований, как аналитических, так и численных, могут служить следующие общеизвестные соображения о сохранении наиболее существенных особенностей потенциального поля. Плоское поле, порождаемое аналитическими функциями, можно рассматривать как гидродинамическое, электростатическое, магнитное или тепловое и т. д., в соответствии со смыслом решаемой задачи. Энергия поля является, как и угол между двумя направлениями, инвариантом относительно конформного преобразования. Другое свойство инвариантности относится к величине заряда или интенсивности источника в точке. Двумерное уравнение Лапласа II хч + =0 также не меняет своего вида при конформном отображении.

Имеются некоторые простые области, стандартные, для которых можно легко указать, например, ход эквипотенциальных или силовых линий поля. В таком случае автоматически получается решение задачи для всех областей, допускающих конформное преобразование. В качестве стандартных областей чаще всего берутся верхняя полуплоскость, параллельная полоса, прямоугольник или круговое кольцо. В случае прямоугольника, например, если подходящее отображение действительно осуществлено, то одна пара противоположных сторон должна соответствовать эквипотенциальным поверхностям, а другаясиловым линиям.

Круговое кольцо представляет собой двусвязную область, и отображаемая область также должна быть двусвязной. Для нее также легко угадывается ход силовых и потенциальных линий.

Верхняя полуплоскость имеет большое значение по той причине, что имеется единственная наиболее общая формула (интеграл Шварца-Кристоффеля), которая отображает на нее произвольный многоугольник. Она имеет широкую область применения, так как любой плавный или с несколькими разрезами контур может быть для вычислительных целей аппроксимирован многоугольником при достаточно большом числе его сторон. Собственно, эта формула и послужила нам основой для разработки новой технологии численных конформных преобразований. Эта технология подробно описывается в разделах 2,3,4 и позволяет отображать, как односвязные, так и двухсвязные области.

После изложения технологии численного конформного отображения, начиная с раздела 5, приводятся примеры решения прикладных задач, решение которых без применения конформных отображений было бы очень затруднительным. Эти задачи подобраны, не столько исходя из их практической значимости, сколько для того, чтобы проиллюстрировать возможности нового подхода.

О предмете и содержании диссертации.

Диссертация состоит из введения, семи разделов, и списка литературы.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Предложен новый оригинальный численный метод конформного отображения—метод динамических контурных разрезов. Данный метод не имеет сложных вычислительных операций, что делает его удобным для программирования.

2. На базе данного метода разработан и оттестирован алгоритм конформного отображения произвольных односвязных и двусвязных областей. Эта методика в отличие от известных позволяет автоматизировать отображение с помощью стандартных процедур.

3. С помощью метода динамических контурных разрезов решены некоторые задачи в областях с фиксированными границами. Это задача о нахождении емкости и проводимости проводниказадача о нахождении присоединенной массы и центра давления произвольного профиля, движущегося в бесконечной массе жидкостизадача о движении твердого тела, заключающего внутри себя жидкие массы, целиком заполняющие некоторые полости.

4. Решены нестационарные задачи с эволюционирующими областями, в которых неизвестная свободная граница подвижна. В данных задачах применялся подход отличный от подходов в цитируемых работах по данной тематике. Метод наклонных разрезов применяется здесь только один раз при отображении начальной формы контура. Фактически, задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно некоторых параметров с соответствующими начальными условиями.

5. Предложен алгоритм решения двумерной задачи о собственных колебаниях жидкости в сосуде. Метод численного конформного отображения позволяет получить численное решение для произвольного контура.

6. С помощью метода численных конформных отображений найдено реше.

142 ние задачи о влиянии рельефа дна на образование волн в потоке тяжелой жидкости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. И. А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. -М.: Наука, 1976−334с.
  2. Н.И. Элементы теории эллиптических функций. -M., JI.: ОГИЗ Гостехиздат, 1943, -292с.
  3. А.Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж.Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. /Пер. с англ. А. О. Слисенко, /Под ред. Ю. В. Матиясевича. -M.: Мир, 1979, 536с.
  4. Т., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны, //пер. с англ.
  5. B.П.Вахомчика. -М.МИР, 1964, 467с.
  6. Р. Аэроупругость. -М.: ИЛ. 1958, 799с.
  7. Ю.В. О некоторых приближенных методах конформного преобразования. //Сб.трудов Института строит, механики АН УССР. Киев 1950, -С 145—152.
  8. И.Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, вариационным методом. ПММ, 1962, т. XXVI, вып. 6,1. C. 1122- 1127.
  9. В.Н. Тонкие каверны в течениях с возмущениями. // АНУССР, Институт гидромеханики, -Киев: Наукова думка, 1980, -287с.
  10. А.Н., Этингоф П.й. Почему граница круглой капли превращается в инверсный образ эллипса. -М.: Наука. 1995, -77с.
  11. О.Г., Зубко С. П., Никольский М. А. Моделирование и расчет емкости планарного конденсатора, содержащего тонкий слой сегнетоэлек-трика. ЖТФ, 1999, -том 69, вын.4, -С 1−7
  12. В.В. Лекции по теории крыла. -М.-Л: Гостехиздат, 1949. -180с.
  13. В.В. Труды по аэродинамике. -М.-Л: ГТТЛ, 1957, -620с.
  14. Г. М. Метод вариаций в конформных отображениях. // Мат.сб., 1946, 19(61), N2, С.203−236
  15. НЕ. Лекции по гидродинамике. -М.-Л: Собр. соч., т. 11,1948. -520с,
  16. Жуковский Н Е., О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. -М.-Л: Гостехиздат, Собр. соч., т. II, 1948, -143с.
  17. Иванилов К).П., Моисеев Н.Н.Дер-Крикоров A.M. Об асимптотическом характере формул М. А. Лаврентьева. //ДАН СССР, 1958,123,N2, С.231−234
  18. Л.В. О некоторых методах построения функции, совершающей конформное отображение. Изв. АН СССР, Сер.физ.-мат. 1933 -2. С.229−235
  19. Л.В. О конформном отображении многосвязных областей. //ДАН СССР, 1934 -2,N8 С.441−444
  20. Л.В. эффективные методы в теории конформного отображения. Изв. АН СССР Сер.мат. 1937 -1. С.79−90
  21. Л.В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа.-М.-Л: 1949, -695с.
  22. Е. Аэродинамика крыла самолета. М.: Изд.-во АН СССР, 1956. -480с.
  23. М.В. Конформное отображение многосвязных областей на канонические области. // Успехи мат. наук. -1939, № 6, С.90−119
  24. М.В., Седов Л. И. Приложения теории функции комплексного переменного к гидродинамике и аэродинамике. -М.: Наука, 1964, -45с.
  25. Е.Т., Либин Э. Е. Обтекание сферической линзы. -Киев, /УПрикл. механ., -1982, т. 18, N 9, С. 126−130.
  26. Е.Т., Либин Э. Е. К исследованию циркуляционного обтекания тора. -Новосибирск, АН СССР, Сибирское отделение, //Численные методы механики сплошной среды, 1985, т. 16, N 4, С 31−45.
  27. Конформное отображение односвязных и многосвязных областей. / Еолу-зин Г. М., Канторович Л. В., Крылов В. И. и др. //-М.-Л: Гостехиздат, 1937 129с.
  28. В., Штальман Ф. Практика конформных отображений. -М.:ИЛ, 1963,-406с.
  29. Н.Е. О влиянии рельефа земли на волны на поверхности раздела двух жидкостей различной плотности. Собрание сочинений, т.1- -М.-Л: Изд-во АН СССР, 1949 г, -612с.
  30. П.П. Об одном методе численного определения параметров в интеграле Крисгоф(|)еля—Шварца.//ДА! I СССР 57(1947), С 751−754
  31. П.П. Решение задачи о контуре нефтеносности для круга // ДАН СССР. 1948, т.60, N 8, С. 1333 -1334.
  32. М.А. Конформные отображения . -М-Л: Гостехиздат, 1946, -159с,
  33. М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1987, -688с.
  34. В.И.Лаврик, В. П. Фильчакова, А. А. Яшин. Конформные отображения Физико-топологических моделей. -Киев, Наукова думка, 1990, -374с.
  35. Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. -Киев, Наукова думка, 1969, -208с.
  36. А.И. Теория аналитических функций. -М.-Л: Гостехиздат, 1950, -703с.
  37. Методы расчета электростатических полей. / Н. Н. Миролюбов, М. В. Костенко, М. Л. Левинштейн и др // -М.: Высшая школа, 1963, -415с
  38. Миндлин. И, М. ИIп егродифференциальп ые уравнения в динамике тяжелой слоистой жидкости. -М.: Наука, Физматлит, 1996, -304с.
  39. H.H., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями содержащими жидкость. -М.: Наука, Ф-М, 1965, -439с.
  40. Г. С. О колебаниях жидкости в подвижных полостях. -М.: Изв. АНССР, отн., N К). 1957.
  41. ЗЗ.Постон Тим, Иэн Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. // пер. с англ. А. В. Чернавского. -М., Мир, 1980, -607с.
  42. .И. Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. ПММ, 1956, т. XX, вып. 1.
  43. .И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. -М., Машиностроение. 1983, -296с.
  44. Г. А. Тюлина. -М&bdquo- Машиностроение, 1986. С 142−159.
  45. .И., Лебедев В. Г., Мытарев А. И. Вихревые процессы и динамика твердого тела. Задачи динамики космических аппаратов и систем на магнитной подвеске. -М., Наука, 1992, -296с.
  46. .И. Численный КТ- алгоритм конформного отображения в механике сплошных сред. //Космонавтика и ракетостроению 1997, № 10 С52−61
  47. И.С., Крепе Р. Л. Присоединенные массы тел различной формы. //Труды ЦАГИ, N 635,1947, -27с.
  48. Г. Ортогональные многочлены. ~М., Физматгиз, 1962, -500с.
  49. Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. -М., Л.: Гос-техиздат, 1950, ^444с.
  50. Секерж -Зенькович ЯМ. К теории стоячих волн конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости. //ДАН СССР, т 58, вып. 4, 1947.
  51. Г. В. О конформном отображении близких областей. //Успехи мат. наук., 1956, вып5(71), С.57−60
  52. В.И. О конформном преобразовании односвязных областей в себя. //Зап. маг. каб. Крымского Ун.-та, -Симферополь: Изд. Крым. Ун,-та.1921, 3. С. 145—152
  53. Л.Н. Теория волновых движений жидкости, ОНТИ НКТП СССР, 1936 г, -303с.
  54. Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М. Физматгиз, 1962,-512с.
  55. К. А. Либин Э.Е. О численных методах конформных отображений. // Исследования по баллистике и смежным вопросам механики.Вып.1. Сб. ст. /иод редакцией Богоряда И. Б. -Томск, Изд.-во ТГУ, 1997. С7—13
  56. К. А., Либин Э. Е. Численный метод конформного отображения произвольной двусвязной области на круговое кольцо.// Исследования по баллистике и смежным вопросам механики.Вып.4. Сб. ст. /под редакцией Богоряда И. Б. -Томск, Изд.-во ТГУ, 2000. С.23−24
  57. К.А., Либин Э. Е. Метод численного конформного отображения. /7 V Всероссийская научно-техническая конференция молодежи «Механика летательных аппаратов и современные материалы». Тезисы докладов .-ТомскИзд.-во ТГУ, 1998, С 14−15
  58. К.А., Двумерные колебания жидкости в каналах произвольного сечения. // V Всероссийская научно-техническая конференция молодежи «Механика летательных аппаратов и современные материалы». Тезисы докладов. -Томск, Изд.-во ТГУ, 1998, С.82−83
  59. Течения со свободными поверхностями /Логвинович Г. В., Буйвол В. Н., Дудко А. С., и др.// -Киев, Наукова думка, 1985. -296 с.
  60. А.Г. Построение конформно отображающих функций при помощи электромоделирования и интерполяционных полиномов Лагран-жа. -Киев: Наукова думка, 1966, 75с.
  61. П.Ф. Численный метод конформного отображения односвяз-ных однолистных областей. //Укр. мат. журн. 1958, 10N4, С.434−449
  62. П.Ф. Конформное отображение заданных областей при помощи метода тригонометрической интерполяции. //Укр. мат. журн. 1963, 15N2, С. 158−172
  63. П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. -Киев, Наукова думка, 1964, -530с.
  64. П.Ф. Численный метод конформного отображения односвяз-ных и многосвязных областей, основанный на тригонометрической интерполяции. Концентрация напряжений. -Киев, Наукова думка, 1965,1. С.276−287
  65. П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. -Киев, Наукова думка, 1970, -796с.
  66. Фын Я. Ц. Введение в теорию аэроуиругости. -М, Физматшз, 1959,~523с.
  67. С.А. О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на движущееся в нем цилиндрическое крыло. -М.-Л, собр.соч., г. Ш, 1935.-420с.
  68. Н.Г. Об устойчивости вращательных движений твердого тела, полость которого наполнена идеальной жидкостью. IIММ, т. XXI, вып. 2, 1957.
  69. P.P. Гидравлика. -Л., Энергоиздат, 1982 г. -672с.
  70. В. Колебания жидкости в круглых каналах и сферических баках. //JAS, 1960, III, vol. 27, N 3, Р. 161−173.
  71. Fox D.W., Kuttler J.R. Sloshing frequencies. //Journal of Applied Mathematics and Phisics (ZAMP) Vol. 34. September 1983 P.668−696
  72. Milnea. Thomson L.M. Theoretical Aerodynamics (Теоретическая аэродинамика). -London:MacMi 1 lan a.Co.ltd., 1948.
  73. Hopkins T.R., Roberts D.E. Kufarev’s Metod for Determining the SchwarzChristoffel Parameters. //Numer.Math. 33,1979,P. 353−365
  74. Rabinovich В.1., Tyttrin Y.V. Numerical Con formal Mapping in Two Dimensional Hydrodynamics And Related Problems of Electrodynamics and Elasticity Theory. Moscow, Space Research institute Russian Academy of Science, 2000 229 p.
  75. S. // J. of Fluid Mech. 1972, Vol. 56, P. 609- 618.
  76. Stokes G., Matematical and Phisical Papers, vol. I, Cambridge, 1880.
  77. Trefethen L.N. Numerical conformal mapping.// Journal of computational and applied mathematics., 1986, v. 14
  78. EL. «Le probleme de Dirichlet dans une aire annulaire», //Rendiconti Circolo math. Palermo, 33, 1912, P. 134−175
  79. Volkov E.A. An approximate method of conformal mapping of multiply connected polygons onto canonical domains. // Proceedings of Steklov Institute of Mathematics 1987, 4, P. 5 7−69
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?