3. Для предложенной задачи дайте математическую ее постановку. Найдите оптимальное решение с позиций критериев Лапласа, Вальда, Гурвица, Сэвиджа и дайте соответствующие комментарии к их применению.
Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине колеблется от 1000 до 1500. Булочки покупаются лотками по 100 штук по цене 0,25 и продаются по цене 0,49 за штуку. Непроданные булочки распродаются по цене 0,15 на следующее утро. Ваши рекомендации?
Решение:
Несомненно, что имеет смысл рассматривать количество закупаемых лотков с булочками в диапазоне от 10 до 15 (6 вариантов) и количество непроданных в первый день булочек от 0 до 5. Итак:
х = { xi} = (10, 11, 12, 13, 14, 15) — количество закупленных лотков (i = 1,2,3,4,5,6);
S = { Sj} =(0, 1, 2, 3, 4, 5) — количество непроданных лотков в первый день (j = 1,2,3,4,5,6).
Для того чтобы начать поиск решения, построим матрицу полезности, элементы которой показывают прибыль при принятии iго решения при j -ом количестве проданных лотков:
Wij = или Wij =
т.е. решающее правило в задаче формулируется как «доход — затраты».
Выполнив расчеты, заполним матрицу полезности {Wij}:
S0 = 0 S1 = 1 S2 = 2 S3 = 3 S4 = 4 S5 = 5
x1 = 10 240 — - - - ;
x2 = 11 264 230 — - - ;
x3 = 12 288 254 220 — - ;
x4 = 13 312 278 244 210 — ;
x5 = 14 336 302 268 234 200 ;
x6 = 15 360 326 292 258 224 190
Принятие решения в ситуации неопределенности.
А. Для применения критерия Лапласа находим:
W1 = 240 / 1 = 240;
W2 = (264+230) /2 =247;
W3 = 254; W4 = 261, W5 = 268, W6 = 275.
Вывод: в условиях равновероятности возникновения той или иной величины спроса следует закупить 1500 булочек и при этом можно рассчитывать на прибыль в размере 275 д.е.
Б. Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) — для каждой альтернативы (количество закупаемых булочек) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:
W = max (240; 230; 220; 210; 200; 190) = 240 .
Вывод: принимая решение по критерию Вальда, продовольственному магазину следует закупить 1000 булочек и минимум ожидаемой прибыли составит 240 д.е.
В. Критерий Гурвица (компромиссное решение между самым худшим исходом и излишне оптимистическим). Рассмотрим изменение решения нашей задачи в зависимости от значений коэффициента оптимизма (в таблице выделены значения, удовлетворяющие критерию Гурвица при различных ): W =
= 0,2 = 0,5 = 0,8
x1 = 10 240 240 240
x2 = 11 236,8 247 257,2
x3 = 12 233,6 254 274,4
x4 = 13 230,4 261 291,6
x5 = 14 227,2 268 308,8
x6 = 15 224 275 326
Вывод: при 0,5 следует закупить 1500 булочек и ожидать прибыль порядка, не меньшую 275 д.е. (надеемся на широкую популярность булочек и определенную финансовую состоятельность покупателей), при = 0,2 не следует закупать более 1000 булочек (мы более осторожны в своих прогнозах и, скорее всего, предпочтем отказаться от закупки более 1000 булочек).
Г. Критерий Сэвиджа (нахождение минимального риска). При выборе решения по этому критерию сначала матрице полезности сопоставляется матрица сожалений D:
S0 = 0 S1 = 1 S2 = 2 S3 = 3 S4 = 4 S5 = 5
x1 = 10 -120 — - - - ;
x2 = 11 -96 -96 — - - ;
x3 = 12 -72 -72 -72 — - ;
x4 = 13 -48 -48 -48 -48 — ;
x5 = 14 -24 -24 -24 -24 -24 ;
x6 = 15 0 0 0 0 0 0
Наибольшее значение среди минимальных элементов строк (выделенные в таблице значения) равно:
max (-120; -96; -72; -48; -24; 0) = 0
Вывод: закупая 1500 булочек, мы уверены, что в худшем случае ни убытков ни прибыли не ожидается.
Общий вывод. Рассмотренные критерии приводят к различным решениям и дают тем самым информацию к размышлению (принятое решение здесь будет существенно зависеть от психологии и интуиции субъекта решения
