Система задач как средство развития математического мышления учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики: На примере изучения функций

Широкая дифференциация обучения, которая является в настоящее время одной из первоочередных задач развития современной школы ([55]) по-новому поставила вопросы о целях, содержании и методах обучения математике в школе. Дифференцированное обучение — явление для российской школы не новое. Ещё в начале XX столетия на I Всероссийском съезде преподавателей математики обсуждались вопросы «такой организации преподавания в средней • школе, которая, сохраняя общеобразовательный её характер, допускала бы специализацию старших классов, приноровленную к индивидуальным способностям учащихся» ([95], с. 210). Термин «дифференциация обучения» появился в дидактике в конце 50-х годов нашего века. Под дифференциацией обучения тогда понимали специализацию учащихся при сохранении общеобразовательного характера школ. В начале 60-х годов разрабатываются программы и учебные пособия для школ и классов с углублённым изучением математики. Определение дифференциации становится значительно шире в конце 80-х годов. На современном этапе под дифференциацией понимают «такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, яв-' ляющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.» ([55], с. 8). Теперь различают психологический, педагогический и методический подходы к определению дифференциации, выделяют её виды и формы ([92], с. 33). в.

Проблемам дифференцированного обучения математике в школе посвящены работы А. Н. Колмогорова, В. А. Гусева, С. И. Шварцбурда, Ю. М. Колягина, И. М. Смирновой и др.

В последние десять лет наблюдается проникновение профильной дифференциации обучения в основную школу и организация классов с углублённым изучением математики в её среднем звене (8 — 9 класс). Углублённое изучение математики в таких классах должно, в первую очередь, носить ориентационный характер и призвано помочь учащимся осознать степень своих интересов и способностей к математике, с тем чтобы по окончании девятого класса сделать сознательный выбор дальнейшего образовательного маршрута ([83]). В соответствии с указанными целями должно определяться и содержание обучения математике в этих классах.

Анализ программ и учебных пособий по алгебре для 8−9 классов с углублённым изучением математики ([1], [2], [15], [34], [35], [40], [63], [64], [70],[83]) показал, что имеет место расширение и углубление материала курса (по сравнению с общеобразовательными классами) за счёт включения в программу ряда дополнительных теоретических вопросов, которые, в основном, дублируют курс 10−11 классов или вузовские курсы, а также за счёт решения задач повышенной трудности, которые нередко либо усложнены с технической стороны, либо представляют собой задачи олимпиадного характера. В этом мы усматриваем некоторое несоответствие предлагаемого содержания целям ориентационного этапа профильной дифференциации, что обусловило выбор направления нашего исследования: определение содержания обучения алгебре в 8 — 9 классах с углублённым изучением математики, способствующего математическому развитию учащихся. Под математическим развитием учащихся мы понимаем, прежде всего, осознанное употребление и использование математических понятий, овладение математическим языком для общения с людьми, для познания и описания окружающего мира, умение раскрыть формальное содержание математических понятий прикладными примерами, умение выбирать рациональный способ решения задачи и т. д.

Актуальность выбранного нами направления исследования подтверждается результатами многих исследований (см., например, [38], [44], [57]), в которых указывается на низкие результаты, показанные учащимися при выполнении заданий с практической направленностью ([44], с. 39- [57], с. 43), высказывается беспокойство по поводу состояния интеллектуальных умений учащихся, умений применить известный материал в незнакомой ситуации ([44], с. 39). О. А. Иванов ([38], с. 14, 136) указывает на то, что «даже выпускники ведущих специализированных средних учебных заведений. не обладают надлежащей культурой использования понятий школьного курса математики.- не видят трудности предлагаемых заданий», не используют метод решения задач конкретного типа, если «такой тип появился в качестве одной из составляющих при решении некоторой другой (объемлющей) задачи». Подобные данные мы получили и в ходе проведения констатирующего эксперимента. Всё вышесказанное подтверждает слова Ю. М. Колягина о том, что «весьма важной является проблема разработки приёмов и методов обучения математике, обеспечивающих не только эффективное усвоение программного материала, но и математическое развитие школьников». ([48], с.

3).

В математическом развитии учащихся мы выделили такую важную, на наш взгляд, составляющую как развитие математического мышления. Под математическим мышлением (основными компонентами которого являются содержательный анализ, планирование и рефлексия) мы понимаем проявление теоретического типа мышления (в соответствии с концепцией В. В. Давыдова) на математическом содержании. В тексте диссертации обоснован такой подход к понятию математического мышления и указано на то, что развитое теоретическое мышление характеризуется сформированно-стью общих приёмов мышления, отличающихся универсальностью и возможностью переноса в другие сферы деятельности. Мы считаем, что, обладая развитым математическим мышлением, учащиеся будут осознанно подходить к изучению теоретического материала и решению математических задач. Ниже мы определим понятие «осознанный подход к решению математических задач» .

Вышесказанное определило проблему исследования: поиск путей развития математического мышления учащихся в процессе изучения углублённого курса алгебры основной школы.

Исследований уровня кандидатских или докторских, связанных с решением этой проблемы нам обнаружить не удалось, однако на страницах журнала «Математика в школе» в последнее время появились статьи, затрагивающие вопросы математического развития учащихся на первом этапе (в 8 — 9 классах основной школы) углублённого изучения математики.

Анализ литературы по проблеме развития математического мышления учащихся дал положительный ответ на вопрос о возможности его развития в процессе обучения математике, причём первостепенная роль здесь отводится задачам. Об этом в своих работах пишут Ю. М. Колягин, JI. М. Фридман, А. А. Столяр и др. Таким образом определилась цель исследования: разработать систему алгебраических задач и методику работы с ними, которые будут способствовать развитию математического мышления учащихся.

Для решения проблемы исследования нами выделен следующий объект исследования: процесс обучения алгебре учащихся 8 -9 классов с углублённым изучением математики.

А. А. Столяр ([94], с. 6) указывает на то, что достижение необходимого развивающего эффекта обучения математике даже при оптимальном отборе содержания невозможно без обучения деятельности по приобретению математических знаний, способам рассуждений, применяемым в математике, создания «педагогических ситуаций, стимулирующих самостоятельные открытия учащимися математических фактов, их доказательств, решений задач». Поэтому предметом нашего исследования является система задач курса алгебры для 8−9 классов с углублённым изучением математики и деятельность учащихся по их решению.

При решении алгебраических задач учащиеся выполняют различные действия (расчленяют условия задач на существенные и несущественные с точки зрения способа её решения, производят оценку задачи, позволяющую намечать способы её решения, выбирают необходимые знания и приёмы для решения задачи, определяют последовательность действий для решения задачи, осуществляют контроль за выполнением произведённых действий, за соответствием результата решения условиям задачи, обосновывают решение задачи и др.). Умение выполнять эти действия характеризует уровень развития компонентов математического мышления учащихся (содержательного анализа, планирования, рефлексии). Соответствующий набор задач, направленных на формирование и развитие этих действий, а также определённая организация деятельности учащихся по их решению могут способствовать развитию всех компонентов математического мышления. Как уже ранее отмечалось, развитое математическое мышление, по нашему мнению, обеспечит более осознанный подход учащихся к решению математических задач.

Осознанный подход к решению математических задач характеризуется, с точки зрения И. Я. Лернера ([42], с. 27), Л. Л. Гуровой ([19], с. 94) и других авторов пониманием характера (рядоположен-ности и соподчинённости) связей между знаниями, различением существенных и несущественных связей, осмыслением оснований усвоенных знаний, пониманием способов получения знаний, пониманием принципов, лежащих в основе способов применения знаний и др. Это проявляется.

— в умении, проанализировав условие и требование задачи увидеть принцип, лежащий в основе её решения;

— в умении выбрать математически грамотный путь решения задачи;

— в умении предвидеть результат решения задачи и с этих позиций проанализировать само решение;

— в умении извлекать необходимые части целостного знания для ответа на изолированные вопросы, группировать знания в зависимости от вопроса, применять всю совокупность знаний в вариативных и нестандартных ситуациях;

— в потребности и умении оценивать свои действия с точки зрения их правильности и целесообразности.

Отмечая выше влияние развитого математического мышления на формирование осознанного подхода учащихся к решению алгебраических задач, мы имели в виду развитие у учащихся перечисленных умений и повышение уровня владения ими.

В связи с высказанными соображениями была сформулирована следующая гипотеза исследования: если в процессе обучения алгебре использовать систему математических задач, которая специально ориентирована на развитие разных компонентов математического мышления, то это позволит создать условия для овладения учащимися осознанным подходом к решению алгебраических задач.

Для достижения цели исследования и проверки выдвинутой гипотезы были поставлены и решены в процессе исследования следующие задачи:

1. выполнен анализ психолого-педагогической и методической литературы с целью изучения а) состояния проблемы определения содержания обучения алгебре в 8−9 классах с углублённым изучением математикиб) возможностей и средств развития математического мышления учащихся;

2. выделены действия, в ходе выполнения которых у учащихся развиваются соответствующие компоненты математического мышления (содержательный анализ, планирование, рефлексия);

3. выявлены типы задач, решение которых может способствовать формированию и развитию каждого действия и сформулированы требования к системе задач;

4. разработаны система задач и методика её использования при обучении теме «Функция» ;

5. экспериментально проверена выдвинутая гипотеза.

В ходе исследования были использованы различные методы:

— теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования;

— организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов;

— количественная и качественная обработка результатов эксперимента.

Исследование проводилось с 1995 по 1998 год и включало несколько этапов.

На первом этапе был проведён анализ психолого-педагогической, методической литературы и содержания школьных учебников, определены типы задач, которые целесообразно использовать для развития математического мышления учащихся.

На втором этапе, в рамках поискового эксперимента, определялись принципы организации задач в систему, уточнялись формулировки задач и методика их использования в процессе обучения. Итогом работы на этом этапе было уточнение теоретической концепции исследования.

На третьем этапе была разработана система задач и методика её использования при обучении учащихся 8−9 классов с углублённым изучением математики теме «Функция», осуществлялся формирующий эксперимент.

На четвёртом этапе была проведена количественная и качественная обработка результатов эксперимента, их теоретическое осмысление.

Научная новизна проведённого исследования состоит в следующем:

— определены типы математических задач, решение которых может способствовать развитию выделенных компонентов математического мышления школьников;

— разработаны требования к системе задач для развития математического мышления учащихся;

— разработаны теоретические положения, лежащие в основе методики использования системы задач для развития математического мышления учащихся.

Практическая значимость состоит в разработке системы задач для развития математического мышления учащихся по теме «Функция» и методики её использования при обучении учащихся 8.

9 классов с углублённым изучением математики. Результаты исследования могут быть использованы учителями математики специализированных классов математического профиля основной школы в процессе обучения теме «Функция» и для разработки аналогичных задач по другим темам курса.

Апробация результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в средней школе с углублённым изучением математики № 308 С-Петербурга и школы-лицея № 8 г. Сосновый Бор. Результаты исследования докладывались на методологических семинарах аспирантов и преподавателей кафедры методики обучения математике РГПУ им. А. И. Герцена (1997, 1998 г.), на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена (1998 г.).

На защиту выносятся:

1. Типология, включающая 23 типа математических задач, специально направленных на развитие выделенных компонентов математического мышления: содержательного анализа, планирования, рефлексии.

2. Принципы организации задач в систему, включающие.

— выделение подсистем задач, связанных с изучением отдельных блоков теоретического материала;

— наличие в каждой подсистеме задач, направленных на развитие всех компонентов математического мышления (содержательного анализа, планирования, рефлексии), а также традиционных алгоритмических задач для овладения учащимися определёнными умениями и навыками;

— преобладание в начале изучения (раздела, темы, курса) задач для развития содержательного анализа, а по мере изучения учебного материала увеличение доли задач для развития планирования и рефлексии;

3. Методика использования системы задач для развития математического мышления, основные положения которой состоят в следующем:

— порядок изложения учебного материала темы выстраивается преимущественно от общего к частному;

— обучение осуществляется через систему математических задач, построенную в соответствии с требованиями к системе задач для развития математического мышления учащихся;

— методика работы с задачами предполагает увеличение доли самостоятельности учащихся при выполнении в процессе решения задач действий, отвечающих каждому компоненту математического мышления по мере перехода от одной подсистемы задач к другой.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Содержание обучения математике в специализированных классах математического профиля основной школы. //Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущих учителей математики. Тезисы докладов на Герценовских чтениях. — С.-Петербург «Образование», 1997. — С. 70.

2. Показатели развития математического мышления. //Личностно-ориентированный подход при обучении математике (Содержательный и процессуальный аспекты): Тезисы докладов 51-х Герценовских чтений. — СПб.: Образование, 1998. — С. 91.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации обоснованы психолого-педагогические и методические аспекты использования системы задач как средства развития математического мышления учащихся классов с углублённым изучением математики основной школы, разработаны требования к системе задач и методике её использования в процессе обучения.

Теоретическое исследование позволило установить, что математические задачи как важнейший элемент содержания обучения математике могут выступать эффективным средством развития математического мышления учащихся, если.

— они представлены в системе, структура которой определяется закономерностями развития математического мышления, а содержание и особенности формулировки задач — действиями, выполнение которых при решении задач способствует развитию выделенных компонентов математического мышления;

— организация деятельности учащихся по решению этих задач предусматривает увеличение доли самостоятельности учащихся при выполнении в процессе решения задач действий, отвечающих каждому компоненту математического мышления.

Предложенная методика реализации системы задач для развития математического мышления учащихся позволяет включать такие задачи в процесс обучения, что не требует дополнительных затрат учебного времени и даёт возможность проводить целенаправленную работу по развитию математического мышления школьников, почти не выходя за рамки содержания общеобразовательного курса алгебры. В нашем исследовании такая система задач и методика её использования разработаны по теме функция и апробированы в процессе экспериментального исследования, результаты которого полностью подтвердили выдвинутую гипотезу.

Направления дальнейшего исследования мы видим в разработке требований к содержанию всего курса алгебры 8−9 классов с углублённым изучением математики, определения оптимальной последовательности изучения тематических разделов программы. Также заслуживают внимания вопросы уровневой дифференциации обучения, учитывающий актуальный уровень и характер дальнейшего развития математического мышления каждого учащегося.