Спектральные свойства дифференциально-разностных операторов и нелокальных эллиптических задач

1. В настоящей диссертации рассматриваются спектральные свойства сильно эллиптических дифференциально — разностных операторов и нелокальных эллиптических задач. Изучаются полнота и суммируемость по Абелю системы корневых функций несамосопряженных операторов, порождаемых дифференциально — разностными уравнениями и нелокальными задачами, а также асимптотика собственных значений самосопряженного дифференциально — разностного оператора.

Основы общей теории краевых задач для эллиптических дифференциально — разностных уравнений были созданы в работах А.Л. Скуба-чевского [25] - [27], [38]. Были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной, фредгольмовой, нетеровой разрешимости в пространствах Соболева и в весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Наиболее полное изложение теории краевых задач для дифференциально — разностных уравнений и обширную библиографию можно найти в [38]. Однако во-, просы полноты и суммируемости системы корневых функций, а также асимптотики собственных значений остались неисследованными.

Нелокальные задачи изучались рядом авторов. Спектральные свойства нелокальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений исследованы достаточно хорошо (см. [29], [35], [9], [30] и др.). Например, в работе [9] для дифференциальных операторов второго порядка с нелокальными условиями установлены необходимые и достаточные условия базисности по Риссу системы корневых векторов. Спектральные задачи для дифференциальных операторов с интегральными условиями были исследованы в работах М. Picone [36], Я. Д. Тамаркина [29], W. Feller [34], A.M. Krall [35], В. А. Ильина и Е. И. Моисеева [10], A.A. Шкаликова [30] и ряда других авторов. В этих работах рассматривались случаи атомарной на концах интервала меры. Были получены результаты о разрешимости, полноте и базисности системы корневых функций.

Дискретность и угловая структура спектра нелокальных эллиптических задач, а также оценки резольвенты были установлены A. J1. Ску-бачевским [24]. Однако, асимптотика собственных значений, полнота системы корневых функций и суммируемость разложений по корневым функциям многомерных нелокальных задач практически остаются неисследованными. В связи с этим отметим работы F. Browder [33], М. А. Мустафина [17], [18] и Е. И. Моисеева [15], [16]. В [33] получен первый член асимптотики спектральной функции и функции распределения собственных значений самосопряженного в L2{Q) оператора, порожденного нелокальной эллиптической задачей. Кроме того как известно (см. [39], §§ 13, 21), нелокальные задачи как правило являются несамосопряженными. Однако условия существования такого оператора не были приведены. В работе [17] рассмотрена задача БицадзеСамарского для оператора Лапласа.

Аи (х, у) + Аи (х, у) = 0, ((ж, у) 6 (0, 2) х (0,1)) u{x, tt) = м (ж, 1) = 0, (же (0,2)).

0, у)+"(2,2/)= о, (уе (0,1)) и{хо, у) + и (1 + х0, у) = 0, (у£(0,1)).

0.1).

Явно вычисляя собственные значения и корневые функции задачи (0.1) методом разделения переменных и применяя результат работы [9], доказана базисность по Риссу в Ь2((0,2) х (0,1)) системы корневых функций задачи (0.1) при хй 6 (0,1), х§ф ½. В работе [18] рассмотрена задача Бицадзе — Самарского для равномерно эллиптического оператора второго порядка в п-мерной ограниченной области. Доказана базисность по Абелю системы корневых функций порядка, а Е (п + 1, п + 2).

В работах [15] и [16] приведены примеры нелокальных задач для оператора Лапласа в двумерном круге, корневые функции которых полны и минимальны в ½ ((3), но не образуют в нем базиса.

2. В диссертации впервые получены результаты о суммируемости рядов по корневым функциям несамосопряженных сильно эллиптических дифференциально — разностных операторов и многомерных нелокальных эллиптических задач, а также об асимптотике собственных значений самосопряженных дифференциально — разностных операторов. В силу того, что собственные функции дифференциально — разностных операторов являются негладкими (см. раздел 4.2), для вычисления первого члена асимптотики используется вариационный метод исследования. Результаты о суммируемости по корневым функциям опираются на методы, развитые в работах В. Б. Лидского [13] и М. С. Аграновича [1], [2]. Отличие состоит в использовании более слабых оценок резольвенты, что позволило изучить суммируемость разложений в более сильной топологии.

3. Приведем определения базисности по Риссу и Абелю системы корневых функций. Пусть — некоторая минимальная система векторов в гильбертовом пространстве Н, т. е. ни один из векторов fi не содержится в замыкании линейной оболочки остальных векторов /ь .,/г!,/¿-+1,. Обозначим через Л4/ линейную оболочку векторов /Ш{+1,., /т,+1, где — некоторая неограничено возрастающая последовательность целых неотрицательных чисел и тг =0.

Система векторов {?•} называется полной в пространстве Н, если замыкание линейной оболочки этих векторов совпадает с Н. Последовательность подпространств называется полной, если замыкание линейной оболочки всех подространств совпадает с Н.

Пусть {е^-}^ — ортонормированный базис в Я, а N1 — линейная оболочка векторов ет,+1,., ет-+1.

Если существует такой ограниченный оператор Б в Я, имеющий ограниченный обратный, что М. = ВМ при всех /, то говорят, что — базис Рисса из подпространств в Н.

Промежуточным между полнотой и базисностью из подпространств является свойство суммируемости по Абелю, введенное в известной работе В. Б. Лидского [13].

Пусть в Н действует неограниченный, обратимый оператор, А с областью определения Т>(А) и оператор Т = А-1 — компактный. Очевидно, что оператор, А имеет дискретный спектр. Пусть Xi — собственное значение оператора А, — соответствующее корневое подпространство, в котором существует базис из жордановых цепочек собственных и присоединенных векторов е (1),., е^. (0.2).

Выбирая таким образом для каждого Аг- (г = 1,2,.) базис в А^, получим систему векторов {ед} (д = 1,2,.). Пусть эта система минимальна. Тогда существует биортогональная система векторов = 1, 2,.) см. [8, гл. VI, § 1]). Пусть произвольный вектор / € Н представим в виде ряда = !>*• (о-3) ч.

Коэффициенты сд определяются следующим образом: если -— жорданова цепочка, т. е. 1™ 1 1.

Тед — — ед, Т ед+ — — ед+1 + ед, ., Тед+ь — — ед+к + ед+к-, лд лд лд то.

Сд+ (0 < г < &).

9ч+к-г).

Нумерация векторов биортогональной системы объясняется следующим. Если ед,., ед+к — некоторая жорданова цепочка системы (0.2), то соответствующие векторы дд, .дд+к биортогональной системы преобразуются по формулам.

Т*дч+к = =-дя+к-1, Т*дч+к-1 — =~дя+к-1 + дч+к, Т*дд = =-дд + дд+1.

Лд Лд Лд.

Поэтому для удобства вектора перенумеровывают так, чтобы первый вектор системы был собственным.

Однако ряд (0.3) сходится не для всякого / 6 Н. Поэтому вместо ряда (0.3) рассмотрим.

0.4).

Здесь сд (Ь) зависят от? и определяются следующим образом. Если ер — собственный вектор оператора, А (следовательно, и оператора Г), соответствующий собственному значению Лр оператора, А не имеет присоединенных, то.

Ср (*) = V (0.5).

Если же ея,., ея+к образуют жорданову цепочку, то к—з с9+,-(*) — е~х%г ]Г (0 < з < к), (0.6) т=0 где.

Вывод формул (0.5), (0.6) можно найти в [13].

Введем следующее.

Определение 0.1. Будем говорить, что ряд (0.4), соответствующий f суммируем к f по методу (А, А, о:), если для этого ряда существует подпоследовательность частичных сумм 5V"(?), сходящаяся в Н при всех t > 0, такая, что со N?,+1 = Е (Е с*(')е")>

1 q-N" +1 lim u (t) = f. *->+о '.

Определение 0.2. Система {eq} (q = 1,2,.) образует базис Абеля со скобками порядка, а в Н, если для любого f 6 Н соответствующий ряд суммируем к f по методу (А, Л, а).

4. В диссертации исследуются свойства операторов, действующих в пространствах Соболева. Приведем используемые обозначения. Для натуральных к через Wk (Q) обозначим пространство Соболева комплекс-нозначных функций, имеющих обобщенные производные вплоть до кго порядка из L2(Q). Для нецелых к определение пространств Собоо. лева приведено, например в [14]. Через W (Q) обозначим замыкание множества финитных и бесконечно дифференцируемых в Q функций в 1¥-к ((5). В дальнейшем будем обозначать скалярное произведение и норму в УУк (0) через (•, -)кд и || • Ц^д соответственно.

Диссертация состоит из двух глав и введения. В первой главе рассматриваются спектральные свойства сильно эллиптического дифференциально — разностного оператора вида.

Ляи=? {uev{ЛR)), (0.7) 0<т о где Т>(Ав) С ¥-т ((^)), — разностный оператор, определяемый следующим образом. Обозначим через Рц: ½(Мп) —> оператор сужения функции из М. п в <5, /д: Ь^О) —> Ь2(ЕП) оператор продолжения функции, заданной в ф нулем в М.п. Тогда.

Р-а/зд = РаЯа/з^д,.

Яари (х) = аа13к (х)и (х + /1), кет где а^ъ.? С°°(КП) — комплексные функции, Т — конечное множество векторов из К." с целочисленными координатами.

В § 1 приводятся необходимые в дальнейшем сведения о разностных операторах.

В § 2 исследуется суммируемость по Абелю системы корневых функций несамосопряженных сильно эллиптических дифференциально — разностных операторов. Результаты для операторов получаются как следствие результатов для полуторалинейных форм, т. е. используется вариационная постановка. Необходимые оценки собственных значений получаются из сильной эллиптичности и минимаксного принципа для собственных значений. Это позволяет получать аналогичные результаты для произвольных сильно эллиптических функционально — дифференциальных операторов.

В § 3 строится пример несамосопряженного сильно эллиптического дифференциально — разностного оператора, имеющего присоединенные функции. Для этого с помощью метода разделения переменных задача сводится к дифференциально — разностному уравнению на интервале (0,2). Доказывается, что существуют такие значения параметров, что.

Л = 0 является собственным значением оператора Ar и этому собственному значению соответствует присоединенная функция.

В § 4 рассматривается подчиненное возмущение самосопряженного дифференциально — разностного оператора. Предполагается, что возмущение самосопряженности происходит в младших членах. Используя результаты М. С. Аграновича [1] о суммируемости рядов по корневым векторам мы получаем утверждение о базисности по Абелю, а в одномерном случае базисности по Риссу системы корневых векторов.

В § 5 исследуется гладкость собственных и присоединенных функций. Доказывается гладкость собственных и присоединенных функций в подобластях Qs{. Приводится пример нарушения гладкости собственной функции на границе соседних подобластей. Получены достаточные условия сохранения гладкости собственных и присоединенных функций на границе соседних подобластей.

В § 6 получается первый член асимптотики первой краевой задачи для сильно эллиптического дифференциально — разностного уравнения. Трудности, возникающие при исследовании этой задачи, связаны с тем, что гладкость обобщенных решений может нарушаться (см. § 5). Поэтому для получения спектральной асимптотики используется вариационный подход [40, 4].

В § 7 результат об асимптотике собственных значений дифференциально — разностных операторов применяется к эллиптическому уравнению с нелокальными условиями, связывающими следы искомой функции и ее производных на некоторых кусках границы с линейной комбинацией следов на тех же кусках, но сдвинутых внутрь области. При наложении некоторого требования на коэффициенты в нелокальных условиях удается свести задачу на собственные значения оператора, порожденного нелокальной задачей, к задаче на собственные функции и собственные значения для дифференциально — разностного оператора.

CRu — XRqu (и G V (CR)), о где CR = CRq, V (CR) = {и e Wm (Q): CRu G L2(Q)}, С — сильно эллиптический дифференциальный оператор, Rq — некоторый разностный оператор. Заметим, что первый член асимптотики собственных значений матричных несамосопряженных эллиптических дифференциальных операторов был получен в работе [б]. Однако на оператор А, являющийся замкнутым расширением дифференциального оператора, кроме прочих накладывалось требование Т>(А) С W2m (Q). В нашем случае это требование не выполнено и, следовательно, полученная асимптотическая формула не следует из результатов статьи [6]. В силу негладкости собственных функций применяется вариационный метод. Примечательно, что первый член не зависит от коэффициентов в краевых условиях.

Вторая глава посвящена исследованию спектральных свойств нелокальных задач.

В § 1 рассматривается задача.

Au = f (x) (х G Q) (0.8) с нелокальными условиями.

В^и = (Blu + + Ви — 0 (х? OQ, ц = 1,. m). (0.9).

Формулируется понятие эллиптичности с параметром на луче локальной задачи, порожденной нелокальной задачей (0.8) — (0.9) и строится * оператор As, действующий в пространстве WS (Q). В § 1.1 устанавливается плотность области определения этого оператора при некоторых s. В § 1.2 используя результаты о разрешимости нелокальных задач и априорные оценки, устанавливаются необходимые оценки резольвенты оператора As. В § 1.3 используя технику работы [13] устанавливается полнота и базисность по Абелю системы корневых функций задачи (0.8) — (0.9). Заметим, что в отличие от работы [13] использована более слабая оценка резольвенты. Это позволило получить результаты о суммируемости по Абелю для операторов, действующих не только b L2(Q), но и WS{Q) при s > 0. Для нелокальных задач, локальные задачи которых эллиптичны с параметром на любом луче, не совпадающем с К.+, приведен первый член асимптотики распределения модулей собственных значений, используя результаты работы [б].

В § 2 рассматривается нелокальная задача в цилиндре для оператора второго порядка с формально самосопряженной главной частью. В отличие от § 1 допускается подход носителя нелокальных слагаемых к границе области. Используя схему § 1, получен результат о базисности по Абелю в L2(Q) системы корневых функций соответствующего оператора. Также, используя результаты работы [б], приведен первый член асимптотики распределения модулей собственных значений.

В § 3 рассмотрена нелокальная задача для обыкновенного дифференциального оператора второго порядка на (0,1) с интегральными условиями. Для этой задачи строится неплотно в Ь2(0,1) определенный оператор, А и приводится достаточное условие суммируемости по Абелю ряда по корневым векторам к любому вектору из V (A). Для исследования применяются методы § 1.

5. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19] -[22], [37]. Результаты диссертации излагались на Международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования», посвященной 75-летию Л. Д. Кудрявцева (Москва, 1998 г.), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягинана семинаре В. В. Власова и A.B. Седлецкого в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, Г. А. Каменского и А.Л. Скуба-чевского в Московском Государственном авиационном институте, Е. И. Моисеева в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, A.A. Шкаликова в Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова, а также на Крымской осенней математической школе (1998г.).

1. Агранович М. С. О рядах по корневым векторам операторов, определяемых формами с самосопряженной главной частью. -—¦ Функциональный анализ и его приложения, т. 28, вып. 3, 1994, 1−21.

2. Агранович М. С. О суммируемости рядов по корневым векторам несамосопряженных эллиптических операторов. — Функциональный анализ и его приложения, т. 10, вып. 3, 1976, 1−12.

3. Агранович М. С. Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида. — УМН, т. XIX, вып. 3 (117). 1964, 53 161.

4. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. — Труды ММО. т. 27. с. 3−52, 1972.

5. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. — ДАН СССР. 1969. т. 185, № 4, 739−740.

6. Бойматов К. Х., Костюченко А. Г. Спектральная асимптотика не самосопряженных эллиптических систем дифференциальных операторов в ограниченных областях. — Математический сборник, 1990, 181, № 12, 1678 1693.

7. Галахов Е. И. Скубачевский А.Л. Нелокальная спектральная задача. — Дифференциальные уравнения, т. 33. № 1, 1997, 25 32.

8. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

9. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисностп Росса корневых векторов разрывных операторов второго порядка. —Дифференциальные уравнения, 1986, т. 22, № 12, с. 2059;2071.

10. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода. — Дифференциальные уравнения, 1988, т. 24, № 5, 795 804.

11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. .- М. Мир.1972.

12. Левин Б. Я. Распределение корней целых функции. ¦¦— М., 1956.

13. Лидский В. Б. О суммируемости рядов по главным векторам неса-мос.опряженных операторов. Труды ММО, т. 11, с. 3−35, 1962.

14. Лионе Ж. Л. Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М., Мир, 1967.

15. Моисеев Е. И. О спектральных характеристиках одной нелокальной краевой задачи. — Дифференциальные уравнения, т. 30, № 5, 1994, 864−872.

16. Моисеев Е. И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функции одной нелокальной краевой задачи.. Дифференциальные уравнения, т. 30, № 12, 1994, 2082;2093.

17. Мустафин М. А. Базис Рисса системы корневых функций одной нелокальной задачи для оператора Лапласа. — Задачи математической физики и спектральная теория, М., 1989.

18. Мустафин М. А. О суммируемости методом Абеля рядов по корневым векторам нелокальных эллиптических задач. —- Дифференциальные уравнения, т. 26, № 1, 1990, 167−168.

19. Подъяпольский В. В. Суммируемость по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи с интегральными условиями. — Математические заметки, т. 65, № 5, 1999, 797−800.

20. Подъяпольский В. В. Полнота и базис. ность по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи. — Дифференциальные уравнения, т. 35, № 4, 1999, 568 569.

21. Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. О полноте и базисности системы корневых функций сильно эллиптических функционально-дифференциальных операторов. — УМН, 1996, т. 51, вып. 6, с. 219 220.

22. Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. О главном члене спектральной асимптотики нелокальных эллиптических задач. Тезисы конференции, посвященной 75-летию Л. Д. Кудрявцева, 1998. 157 157.'.

23. Рисс Ф., Секефальви Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М. Мир. 1979.

24. Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром. — Матемематический сборник, 1983. 121, № 6. 201 210.

25. Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для эллиптического дифференциально разностного уравнения. — Математические заметки, 1983, 34, № 1, 105−112.

26. Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом. — Математические заметки. 1985, 38, Д-4. 587−598.

27. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. — Математический сборник, 1986, 129, № 2, 279−302.

28. Скубачевский А. Л., Стеблов Г. М. О спектре дифференциальныхоператоров с областью определения, не плотной в ½(0,1). .- ДАНСССР, 1991, т. 321, № 6,1158 1163.

29. Тамаркин Я. Д. Некоторые общие задачи теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и разложение произвольной функции в ряд по фундаментальным функциям. — Петроград, 1917.

30. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями. — Вестник МГУ, сер. 1 Математика и механика, 1982, № 6, с. 12−21.

31. Agmon S. On the Eigenfimctions and on the Eigenvalues of GeneralElliptic Boundary Value Problems. .- Communications on Pure andApplied Mathematics, vol. XV, (1962) 119 147.

32. Agranovich M.S. Nonselfadjoint Elliptic Operators in Nonsmooth Domains. — Russian J. Math. Physics, 1994, V. 2, № 2, 139−148.

33. Browder F. Asymptotic distribution of eigenvalues and eigenfimctions for nonlocal elliptic boundary value problems. — Amer. J. Math., 1965. v. 87, № 1, 175 195.

34. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semigroups of transformations. — Ann. of Math., 55 (1952), 468−519.

35. Krall A.M. The development of general differential and general boundary systems. — Rocky Mountain J. of Math. 5, 1972, p. 493−542.

36. Picone M. I teoremi d’esistenza per gPintegrale di una equazione dif-ferenziale lineare ordinaria soddisfacenti ad una nuova classe di con-dizioni. — Rend. Acc. Lincei, 17, 1908, 340−347.

37. Skubachevskii A.L. The first boundary value problem for st rongly elliptic differential-difference equations. — J. of Differential Equations. 1986. 63, 332−361.

38. Skubachevskii A.L. Elliptic functional differential equations and applications. — Basel Boston — Berlin, Birkhauser, Operator Theory, v. 91,1997.

39. Weil H. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linoa partieller Differentialgleichungen. — Math. Ann. 1919 v? i s j 479.