Метод динамических отображений в нерелятивистских моделях квантовой теории поля

Актуальность проблемы.

Хорошо известно, что решения уравнений Гейзенберга (ГУ) являются операторными обобщенными функциями, произведение которых плохо определено уже в самих уравнениях, тогда как корректное определение полевых уравнений подразумевает знание качественных свойств их решений, которые, в свою очередь, весьма сингулярным образом зависят от вида этих уравнений. Так как динамические уравнения квантовой теории поля пишутся для гейзенберговских операторов, а наблюдаемые величины выражаются их матричными элементами по физическим состояниям, построенным над физическим вакуумом в терминах операторов физических полей, то любую квантово-полевую задачу можно, таким образом, свести к проблеме определения гейзенберговских операторов в представлении физических полей [1], [2]. Выбор такого представления неединственнен и определяется дополнительными условиями, связанными со свойствами пространства интересуемых физических состояний. Именно такая постановка задачи рассмотрена в настоящей работе. Проблема состоит в построении соответствующего динамического отобра-ЭЮСИНЯ гейзенберговских полей (ГП) на физические поля в виде степенного ряда нормальных произведений физических полей — разложения Хаага.

Выход, предлагаемый стандартной теорией возмущений, основан на предположении, что произведение гейзенберговских полей может быть определено через произведение исходных свободных полей, а решения гейзенберговских уравнений могут быть построены по теории возмущений в представлении взаимодействия в пространстве Фока перенормированных (по теории возмущений) свободных полей [3], [4], [5]. Однако, на этом пути сложно иметь дело с неперенормируемыми (по теории возмущений),.

5— в частности, 4-х фермионными моделями и получать описание связанных состояний, спонтанного нарушения симметрии и других непертурбатив-ных эффектов. Само же существование представления взаимодействия оказывается запрещено теоремой Хаага.

Здесь представляется более уместным более последовательное использование процедуры канонического квантования, применимой, в равной степени, как к перенормируемым, так и к неперенормируемым (по теории возмущений) теориям поля.

Такая попытка предпринята в настоящей работе. Развиваемый подход, использует идею разложения Хаага или «динамического отображения», сводящего произведения гейзенберговских полей к нормально упорядоченным произведениям выбранных определенным образом физических полей, и тесно связан с процедурой «одевания» Л. Д. Фаддеева. Подобные методы берут начало в работах Р. Хаага [6], Л. Д. Фаддеева [7], М. И. Широкова [8]-[10], и др. [11], и развивались А. С. Шварцем [12], Х. Уме-дзавой с сотрудниками [1], и О. В. Гринбергом [13]. Проблема придания смысла гейзенберговскому полю распадается, таким образом, на две части.

Первая часть состоит в выборе представления коммутационных соотношений, в пространстве которого гамильтониан являлся бы самосопряженным оператором. Для этого достаточно построения операторной реализации Ф (х, ¿-о) ==> ¿-о)] начальных гейзенберговских полей.

Ф (х,^о) через начальные физические поля ^(х, £о) = ф[А], которая, с одной стороны, была бы «как-то» согласована с одновременными каноническими (анти) коммутационными соотношениями ((КАС), ККС) как для гейзенберговских Ф (х,?), так и для физичеких полей а, с другой стороны, должна быть ассоциирована с определенной операторной реализацией для заданного функционалом полей Ф (х,?) гамильтониана.

6—.

Н{Ф (х,?)} Я [А], приводящей к единственному стабильному вакууму 10) и стабильному одночастичному состоянию | 1, к) с определенным спектром Е{к). Это позволяет, во-первых, в качестве базиса для построения сепарабельного гильбертова пространства представления использовать фоковское пространство, натянутое на вакуум и прямые произведения собственных одночастичных состояний полного гамильтониана, и последовательно определять в нем динамику 2,3,.п — частичных возможных собственных состояний полного гамильтониана, избегая трудностей связанных с теоремой Хаага. Во-вторых, поскольку рассматриваемый полный гамильтониан по определению не зависит от времени, он имеет один и тот же вид в терминах гейзенберговских и начальных полей, а сами гейзенберговские поля получаются простым сдвигом по времени начальных полей, генератором которого является полный гамильтониан.

Таким образом, физические поля, — это, по определению, одночастич-ные поля, построенные по выбранному вакууму и одночастичному спектру полного гамильтониана, собственные для его квадратичной кинетической части и «максимально» диагонализующие его в высших секторах, если только таковые имеются.

Выделяются два существенно различных выбора начального момента времени ¿-о? приводящих, соответственно, к принципиально различным наборам физических полей:

Фаддеев, Широков) ?0 = 0: операторное начальное условие (8) ИтФ (х,*) = Ф№(х.О)] {¦0[Л]} = полное пространство Фока нет дополнительных полей для связанных состояний н<�йн0{А} + н1{А}, (**.

Гринберг, Умедзава) —оо: неоператорное начальное условие (w) bmja I Ф (х,*) —ⁱⁿ (x, f) I b) = 0 неполное пространство Фока необходимо новое поле Vin для каждого связанного состояния H Н0{Агп} + H0{Vin}+! ., (*).

Здесь | а), | 6) произвольные нормируемые состоянияА-операторы рождения, уничтожения физических состояний- (w) и (s) отмечают слабые и сильные (операторные) равенства соответственно.

В то время, как для релятивистски ковариантных моделей наличие такой операторной реализации, по видимому всегда, означает или сильную (операторную), или слабую (на матричных элементах), эквивалентность ее какой либо свободной теории поля (*), диагональные операторные реализации вида (**) с требуемыми свойствами всегда существуют, по крайней мере для нерелятивистских (нековариантных) моделей типа Ли, рассматриваемых в диссертации. Причем, как показано в главе 1, для них оказывается возможным, ценой «спонтанного» нарушения одной из внутренних симметрий, объединить в одном поле и операторы рождения и уничтожениядля фермионов такая операторная реализация может даваться, например, преобразованием Боголюбова, изменяющим «глубину дираковского подвала» для отдельных компонент фермионного поля.

Другой характерной чертой вторично квантованных теорий для систем с бесконечным числом степеней свободы, также тесно связанной с теоремой Хаага, является наличие в теории унитарно неэквивалентных представлений ККС для операторов рождения и уничтожения частиц.

8—.

Действительно, наличие сюрьективного отображения любого континуума, например отрезка [0,1], на множество {| щ, п2,.)}, (п € базисных векторов пространства состояний квантовой системы, в представлении чисел заполнения, позволяет считать {| П2,.)} континуумом, т. е. множеством, которое не может быть использовано в качестве базиса сепарабельного гильбертова пространства. Понятно, что выбор произвольного счетного подмножества из множества {| пх, п2,.)} даст нам желаемый базис, однако существенная неоднозначность подобного выбора как раз и приводит к существованию представлений, унитарно неэквивалентных в том смысле, что вектора одного представления не будут являться линейной суперпозицией векторов другого. Это обстоятельство кардинально отличает рассматриваемую ситуацию от ситуации, возникающей в квантовой механике, с ее сепарабельным пространством состояний. Требование единственности вакуума выделяет представления Фока, в которых просто контролировать самосопряженность (гамильтониана), но оно не является, вообще говоря, необходимым.

Возможность вырождения вакуумных состояний приводит к спонтанному нарушению симметрии и появлению в теории голдстоуновских бозонов. В отсутствие фундаментальных скалярных полей нарушение осуществляется динамически и проявляется через ненулевые вакуумные средние операторов соответствующих составных состояний, — фермионные конденсаты. Заметим, что интерпретация голдстоуновских бозонов, как обычных связанных состояний сталкивается с определенными трудностями. В релятивистской теории, это, — безмассовость и, следовательно, отсутствие для них системы покоя, т. е. отсутствие системы центра масс для составляющих частиц. Казалось бы, в нерелятивистской теории поля, где условие равенства нулю энергии голдстоуновского бозона при нулевом импульсе легко удовлетворяется обычным нерелятивист.

9— ским спектром, никаких проблем с ним быть не должно. Однако, при детальном рассмотрении выясняется, что, как связанному состоянию с нулевой энергией связи при нулевом угловом моменте, ему нет места и среди обычных нормируемых решений уравнения Шредингера с произвольным короткодействующим потенциалом.

Поскольку разложение Хаага должно содержать всю информацию о динамике системы, допускающей спонтанное нарушение симметрии, то возникает естественный вопрос: Как наличие голдстоуновских состояний может проявляться в коэффициентных функциях динамического отображения гейзенберговских ферми полей на шредингеровские физические поля, составляющие оператор рождения голдстоуновского бозона? В обычном подходе (О.Гринберга и Х. Умедзавы [13], [1]) динамическое отображение строится для произведения гейзенберговских полей в одной точке (которое, вообще говоря, плохо определено), путем введения дополнительного асимптотического скалярного (т)-поля, имеющего ненулевое вакуумное среднее и интерпретируемого как поле голдстоуновского бозона.

В данной работе показано, что в динамическом отображении на шредингеровские физические поля голдстоуновской моде отвечает константное слагаемое в коэффициентной функции при соответствующем трехопе-раторном произведении полей в разложении Хаага.

Вторая часть проблемы состоит, таким образом, в построении соответствующего динамического отображения гейзенберговских полей на физические в виде степенного ряда нормальных произведений физических полей (разложения Хаага):

Ф"(х,*) = Фв (х,*0) =" ^ {Т1 Мх, ¿-о)]} ^ {ТЦА}}, которое, как показано в данной работе, для Ьлокальных взаимодействий, в случае конечных ¿-о? решает проблему доопределения произведения гейзенберговских полей путем фиксации (только в гамильтониане!) процедуры одновременного упорядочения гейзенберговских полей, однозначно связанной с хорошо определенным нормальным упорядочением физических полей. Операторная реализация Ф (х, to) ¿-о)] играет, очевидно, роль начального условия к этой задаче.

Несмотря на внешнюю формальную простоту и, казалось бы, по сути технический характер, эта часть проблемы, как показывает ее обсуждение в третьей главе данной работы, уже для одной и той же модели требует отдельного рассмотрения для различных динамических отображений и может порождать принципиальные ошибки даже в серьезных монографиях по КТП.

Поскольку, в терминах асимптотических in — (out) полей полный гамильтониан, по определению, выглядит в слабом смысле как свободный (**) [4], то, казалось бы, естественно выбрать эти поля в качестве физических. Такой подход, тесно связанный с Sматричной постановкой задачи рассеяния, является господствующей парадигмой в квантовой теории поля уже на протяжении многих лет. Трудность его, однако, состоит в том, что именно при наличии связанных состояний полный набор асимптотических in — (out) полей оказывается шире полного набора гейзенберговских (или шредингеровских) полей и является заранее неизвестным [1]! В частности, не известны ни спектры связанных состояний, фигурирующих в этом асимптотическом гамильтониане (-*), ни само их количество. Это приводит к необходимости путем специальной «самосогласованной» процедуры вводить в динамическое отображение дополнительные in (out) — операторы связанных состояний, что обусловленно изначальным несохранением ККС (КАС), (неполнотой набора изначально известных физических полей), и позволяет согласовать ККС для гейзенберговских и физических т{ри?) — полей [1]. Выбор же конечного значения для ¿-о не требует введения дополнительных полей, непосредственно приводя к полному их набору, согласованному с ККС (КАС) для гейзенберговских полей.

Данная проблема приобретает особую остроту в КХД, где физические кварки, если и существуют, то не могут быть получены из затравочных кварковых полей по теории возмущений. Это побуждает в данной работе выбрать в качестве физических полей шредингеровские поля, совпадающие с гейзенберговскими при? = Ц — 0.

Как уже было упомянуто, в основу рассмотрения положены нерелятивистские полевые модели типа Ли: (./V, ©-)-модель и модель контактного четырехфермионного взаимодействия типа «ток 0 ток». Если анализ первой модели интересен лишь с точки зрения демонстрации метода динамических отображений на примере хорошо изученой теоретико-полевой конструкции, то вторая модель интересна также и своим физическим содержанием. Она включает основные ультрафиолетовые расходимости релятивистской полевой модели, связанные с сингулярным характером взаимодействия. Однако, сохранение (при соответсвующей диагонализа-ции) числа частиц позволяет явно реализовать фоковское пространство и перевести проблему на язык потенциальной теории. Среди возможных приложений этой модели можно указать низкоэнергетический предел квантовой хромодинамики (КХД), и теории сверхпроводящего типа в физике твердого тела.

Цель работы.

Развитие непертурбативного метода динамических отображений в не-перенормируемых нерелятивистских моделях квантовой теории поля путем последовательного использования процедуры канонического квантования, получение явных решений для гейзенберговских полей в терми.

12— нах шредингеровских физических полей и выяснение смысла коэффициентных функций динамического отображения и их связей с волновыми функциями рассеяния, связанных и голдстоуновских состояний.

Научная новизна.

В диссертации впервые продемонстрирована эффективность метода динамического отображения на шредингеровские физические поля при решении как самих ГУ, так и задачи о рассеянии и связанных состояниях в нерелятивистских моделях КТП со спонтанным нарушением симметрии.

Положения выносимые на защиту:

• Явные выражения для первых коэффициентных функций динамического отображения гейзенберговских полей на шредингеровские поля как в нерелятивистской (Л/-, 0)-модели, так и в неперенорми-руемой модели четырехфермионного контактного взаимодействия типа «ток®ток», допускающей спонтанное нарушение симметрии.

• Связь между точными волновыми функциями двухчастичных состояний и коэффициентными функциями динамического отображения гейзенберговских полей на шредингеровские (физические) поля.

• Условия унитарной эквивалентности динамических отображений гейзенберговских полей на шредингеровские и асимптотические физические поля.

Метод линеаризации уравнений Гейзенберга с помощью динамического отображения на шредингеровские физические поля.

Замкнутые выражения для нормального символа функционала динамического отображения гейзенберговского поля на физические поля,.

13— для коэффициентных функций его нормальной формы и их производящего функционала в виде функционального интеграла по фазовому пространству для (iV, (c)) — модели и нерелятивистской модели 4-х фермионного взаимодействия.

Апробация работы.

Результаты, представленные в настоящей диссертации докладывались на семинарах ЛТФ ОИЯИ и ИЯФ (г. Новосибирск), на международных семинарах «X International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory» (Звенигород, 1995), «XI International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory» (Санкт-Петербург, 1996), IX International Seminar QUARKS-96 (Ярославль, 1996), на международных конференциях «Problems of Quantum Field Theory» (Алушта, 1996), «Quantum Systems: New Trends and Methods» (Минск, 1996), «XXV Зимней школе ИТЭФ» (Мосва 1997), Байкальской школе по фундаментальной физике «Астрофизика и физика микромира» (Иркутск 1998).

Публикации.

Результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в 7 работах [14] - [20].

Содержание работы.

Диссертация состоит из Введения, 4-х глав и Заключения, содержит 117 страниц.

Список литературы

включает 75 наименований.

Заключение

.

Резюмируя, отметим, что развиваемый в рамках диссертации подход имеет следующие отличительные моменты:

• Использование шредингеровских полей в качестве физических соответствует постановке операторных начальных условий уравнениям Гейзенберга в отличие от неоператорных условий при использовании в качестве физических асимптотических in — out полей. Соответствующее динамическое отображение непосредственно связано с задачей на собственные значения и отвечает операторной диагона-лизации гамильтониана в отличие от его диагонализации в слабом смысле на? п-полях.

• В отличии от большинства подходов к проблеме связанных состояний, основанных на исследовании решений уравнений Бете-Солпитера и Швингера-Дайсона, здесь решается задача (частичной) диагонализации полного Гамильтониана путем непосредственного построения его собственных состояний методом динамических отображений.

В этом подходе получены следующие результаты:

• На примерах различных моделей теории поля показано, что эффективным средством анализа связанных состояний, в том числе и в неперенормируемых теориях, является динамическое отображение на соответственно подобранные шредингеровские поля (to = 0), которые и выбираются в качестве физических полей. Такой выбор представляется физически более адекватным проблеме связанных состояний, поскольку для них взаимодействие никогда не «выключается». Он оказывается, также, наиболее экономным и дает единую трактовку как связанных состояний так и состояний рассеяния в терминах коэффициентных функций динамического отображения.

• Показано, что коэффициентные функции такого динамического отображения непосредственно определяют волновые функции рассеяния, волновые функции связанных состояний и состояний с бесщелевым энергетическим спектром (состояний Голдстоуна), содержат детальную информацию о динамике системы, и, таким образом, дают решение как Б-матричной задачи рассеяния, так и проблемы связанных (стационарных), так и квазистационарных состояний. Причем, можно получить замкнутые уравнения на низшие коэффициентные функции (например, двухчастичные) и при наличии несохраняющих число частиц (начиная с трех) «плохих» — флукту-ационных членов высшего порядка.

• В рамках этого подхода, в некоторых решаемых случаях показана возможность «естественной» линеаризации гейзенберговских уравнений, позволяющая получить замкнутые функциональные выражения для гейзенберговских полей в терминах физических полей.

Благодарности.

Автор от всего сердца хочет поблагодарить своих коллег и соавторов: В. М. Левианта, Д. В. Наумова и А. В. Синицкую за длительное сотудниче-ство и ценные советы.

Следует также добавить, что эта работа появилась на свет исключительно благодаря постоянному участию и поддержке научных руководителей диссертанта: доцента, кандидата физ.-мат. наук С. Э. Коренблита и профессора, доктора физ.-мат. наук А. Н. Валла, которым автор выражает искреннюю и глубокую признательность и благодарность.

— ill.