Манипуляционные роботы играют важную роль в современном производстве, характеризующемся высокой степенью гибкости и автоматизированное&trade-. Спектр задач выполняемых ими достаточно широк: сборка, сварка, окраска, механическая обработка, перемещение грузов. В условиях рынка любое производство стремится достичь наибольшей эффективности, например, увеличивая количество выполненных технологических операций за то же время, или уменьшая временные затраты на выполнение того же количества операций без привлечения дополнительного оборудования. Для этого необходимо повышать быстродействие технологического оборудования, в том числе и роботов-манипуляторов, не теряя при этом в точности его работы. Однако, при развитии больших скоростей и ускорений или манипулировании тяжелыми грузами на точность исполнения роботом заданного движения начинают оказывать влияние эффекты, связанные с динамикой исполнительного механизма робота. Поэтому в современных системах управления манипуляци-онными роботами широкое распространение получили т.н. методы динамического управления, позволяющие компенсировать это влияние. Для применения таких методов требуется знание уравнений движения исполнительного механизма робота, являющихся, фактически, математической моделью этого механизма. Таким образом, уравнения движения используются также и для моделирования движений робота. Особенно перспективным представляется создание программных комплексов, имитирующих движение реально существующих роботов. С помощью подобных средств возможно решать такие задачи, как обучение операторов роботехнических комплексов или тестирование и отладка алгоритмов и систем управления роботами [40], без риска повреждения этого, весьма дорогостоящего, оборудования.
Исполнительным механизмом робота-манипулятора (далее — манипуляционный механизм) будем называть систему абсолютно твердых тел (звеньев), связанных вращательными или телескопическими шарнирами и образующих разомкнутую кинематическую цепь, закрепленную на неподвижном основании. Уравнения движения такого механизма полностью определяются геометрическими размерами и масс-инерционными параметрами его звеньев. В число последних входят: масса, координаты центра масс, осевые и центробежные моменты инерции. Выяснить геометрические параметры манипуля-ционного механизма, как правило, не составляет труда: они присутствуют не только в конструкторской документации, но и в эксплуатационной документации, поставляемой вместе с роботом. Узнать масс-инерционные параметры нетрудно лишь в случае собственной разработки. Действительно, проектирование и конструирование современных машин и механизмов не обходится без использования систем автоматизированного проектирования, с помощью которых можно получить всю необходимую информацию. В противном случае остается надеяться, что требуемые сведения предоставит фирма-производитель. Однако, в условиях высокой конкуренции между разработчиками роботов-манипуляторов это маловероятно. В подобной ситуации крайне полезной оказывается процедура идентификации, суть которой заключается в экспериментальном определении неизвестных параметров по данным о движении робота. Особый интерес представляет проведение идентификации в режиме реального времени. Это дает возможность корректировать параметры математической модели манипуляционного механизма во время выполнения роботом технологических задач, т. е. сделать систему управления роботом адаптивной.
В основе процедуры идентификации лежит эксперимент, состоящий в совершении исследуемым роботом-манипулятором каких-либо заданных движений. В процессе этого эксперимента необходимо измерять или оценивать параметры относительного расположения звеньев робота, скорости и ускорения их относительного движения, а также силовые факторы в шарнирах. В механике манипуляционных роботов хорошо известен факт линейности уравнений движения манипуляционного механизма относительно масс-инерцион-ных параметров. Подставляя в эти уравнения геометрические параметры механизма, которые предполагаются известными, и величины, измеренные в ходе эксперимента, можно составить переопределенную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных масс-инерционных параметров1. Решение упомянутой системы и будет оценкой значений этих параметров. Однако, исследования показали, что имеет место т.н. проблема идентифицируемости: идентификационные модели манипуляционных механизмов не имеют единственного решения. Эта проблема вызвана тем, что всякому набору уравнений движения манипуляционного механизма соответствует бесконечное множество наборов масс-инерционных параметров его звеньев. Поэтому было введено понятие базовых инерционных параметров, представляющих собой наименьший набор параметров уравнений движения манипуляционного механизма, полностью их определяющий и соответствующий им взаимнооднозначно при неизменных геометрических параметрах. Очевидно, что запись уравнений движения с помощью базовых инерционных параметров позволяет избежать проблемы идентифицируемости. Еще одним преимуществом использования базовых параметров является возможность минимизации количества вычислительных операций при решении обратной задачи динамики (ОЗД). Это оказывается весьма полезным при практической реализации методов динамического управления роботами-манипуляторами.
Таким образом, базовые инерционные параметры являются фундаментальным понятием в механике манипуляционных роботов. Отдельной задачей оказывается поиск такого набора параметров и их связи с обычными.
1 Подобные системы уравнений называют идентификационными моделями. масс-инерционными параметрами2. В настоящее время существуют численные [22, 36] и аналитические [20, 21, 30, 31] методы решения этой задачи. Однако первые принципиально являются приближенными, причем невозможно определить, в каких случаях результат является точным, а в каких — нет. Вторые же дают точное решение, но только для манипуляторов с параллельными или перпендикулярными осями соседних сочленений. Другой важной задачей является получение уравнений движения манипуляционных механизмов относительно базовых инерционных параметров.
В связи с этим цель данной диссертационной работы состоит в математической формализации понятия базовых инерционных параметров, разработке аналитического метода поиска базовых параметров, справедливого для манипуляторов с произвольно ориентированными осями сочленений, разработке способов формирования уравнений движения и идентификационной модели манипуляционных механизмов в терминах базовых инерционных параметров.
Работа выполнена на кафедре «Робототехнические системы» МГТУ им. Н. Э. Баумана и состоит из четырех глав.
В первой главе описано применение классических инерционных параметров в основных задачах механики манипуляционных роботов, используемых для управления ими: это обратная задача динамики, необходимая в расчетах моментов приводов сочленений, а также, требующаяся в ряде случаев, идентификация параметров уравнений движения. Рассмотрены различные идентификационные модели, приведен их сравнительный анализ. Указаны неудобства, возникающие при использовании классических параметров в динамических и идентификационных моделях манипуляционных механизмов.
Во второй главе рассмотрено понятие базовых инерционных параметров и некоторые их свойства. Предложена математическая интерпретация базовых параметров, как коэффициентов разложения какого-либо элемента.
2 Далее будем называть их классическими инерционными параметрами. некоторой конечной системы векторов линейного пространства функций3 по базису этой системы. Показана необходимость введения базовых параметров не только для уравнений движения, но и для других фундаментальных понятий лагранжевой механики: полной энергии и функции Лагранжа. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия равенства этих различных множеств базовых параметров. Указан способ конструирования базиса конечномерного линейного пространства, элементами которого являются полная энергия и лагранжиан манипуляционного механизма, а также их коэффициенты влияния. Получены рекуррентные соотношения для вычисления базисных элементов.
Третья глава посвящена задаче поиска множества базовых инерционных параметров. Представлен обзор существующих методов, проведен их сравнительный анализ. Предложен метод проекций, позволяющий аналитически решать задачу поиска базовых параметров для манипуляционных механизмов с произвольно ориентированными осями сочленений, рассмотрены примеры его применения. Получены рекуррентные соотношения для вычисления проекций, на их основе разработан эффективный по быстродействию алгоритм реализации метода проекций на вычислительной машине.
Четвертая глава посвящена применению базовых инерционных параметров в задачах управления манипуляционными роботами. Выведены рекуррентные соотношения, позволяющие записать уравнения движения манипуляционного механизма относительно базовых параметров, рассмотрен пример. Проведена процедура идентификации базовых параметров первых трех звеньев робота PUMA 560. При выполнении эксперимента реальный манипу-ляционный механизм заменен его математической моделью.
К главам даны приложения с исходными текстами программы, реализующей разработанный рекуррентный алгоритм, а также тексты сценариев.
3 Далее будем называть их коэффициентами влияния. среды МаЫаЬ, с помощью которых была проведена симуляция эксперимента.
Методы исследования. В работе используются методы линейной алгебры, теоретической механики, математического моделирования. Научная новизна работы заключается в следующем: Предложена интерпретация полной энергии, лагранжиана и левой части уравнений движения манипуляционного механизма как векторов линейного пространства функций. Показано, что базовые инерционные параметры могут быть определены как коэффициенты разложения этих векторов по базисным коэффициентам влияния. Введены множества базовых параметров отдельно для полной энергии, лагранжиана и уравнений движения, доказаны необходимые и достаточные условия их равенства. Доказана теорема, указывающая способ конструирования конечномерного линейного пространства, включающего коэффициенты влияния на лагранжиан. Предложен новый метод поиска базовых параметров, основанный на определении координат упомянутых коэффициентов влияния в базисе этого пространства. Получены рекуррентные соотношения для вычисления координат коэффициентов влияния, и разработан рекурсивный алгоритм реализации предложенного метода. Выведены уравнения движения манипуляционного механизма в терминах базовых инерционных параметров в форме рекуррентных соотношений. Основные результаты, выносимые на защиту:
• Предложена математическая интерпретация базовых инерционных параметров как коэффициентов базисного разложения, введены множества базовых параметров полной энергии, лагранжиана и уравнений движения, доказаны необходимые и достаточные условия их равенства;
• Доказана теорема о базисном множестве, с ее помощью создан метод проекций для поиска базовых инерционных параметров, справедливый для манипуляционных механизмов с произвольно ориентированными осями сочленений;
• Получены рекуррентные соотношения для вычисления проекций, на их основе разработан эффективный по быстродействию алгоритм реализации метода проекций;
• Предложен способ формирования уравнений движения в рекуррентной форме в терминах базовых инерционных параметров.
Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на научно-техническом семинаре кафедры «Роботы и робото-технические системы» МГТУ им. Н. Э. Баумана в 2009 г.- на XVIII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» в 2011 гна специальном семинаре «Динамика относительного движения» кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в декабре 2010 г. и в феврале 2013 г.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них три статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК [9−11], одна статья в сборнике трудов конференций и одна в тезисах докладов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 40 наименований и 2 приложений. Основная часть работы составляет 145 страниц машинописного текста, включая 3 таблицы и 10 рисунков.
Выводы.
1. Выведены рекуррентные соотношения, позволяющие записать уравнения движения манипуляционного механизма относительно базовых инерционных параметров. Прямое использование этих соотношений для решения ОЗД малоэффективно с вычислительной точки зрения, однако их применение удобно для автоматизированного вывода уравнений движения в символьном виде, а также генерации исходных текстов программ расчета левой части уравнений движения.
2. Получена энергетическая идентификационная модель в терминах базовых инерционных параметров. Рассмотрена задача идентификации базовых параметров с помощью этой модели на примере первых трех звеньев робота Puma 560. Проведено моделирование эксперимента, расчет эталонных значений и оценок базовых параметров с использованием пакета Matlab. Незначительность ошибок оценки в отсутствие трения и шумов измерений свидетельствует о корректности полученной идентификационной модели.
Заключение
.
В рамках данной работы были получены следующие основные результаты:
1. Доказана неоднозначность описания динамики манипуляционных механизмов с помощью классических инерционных параметров, приводящая к проблеме идентифицируемости параметров их уравнений движения и избыточности вычислений при решении задач управления и моделирования для роботов-манипуляторов.
2. Введено обобщенное понятие базовых параметров многопараметрического семейства функций, порождающее в рамках лагранжевой механики три различных варианта базовых инерционных параметров: для лагранжиана, полной энергии и левой части уравнений движения. Для каждого из этих вариантов базовых инерционных параметров предложена математическая интерпретация в форме набора координат соответствующих коэффициентов влияния классических параметров в «естественных» базисах задаваемых ими линейных пространств. Сформулированы и доказаны необходимые и достаточные условия единственности базовых инерционных параметров при согласованности базисов упомянутых пространств. Установлена связь между базовыми и классическими инерционными параметрами.
3. Для класса манипуляционных механизмов разработана методика составления элементов базисного множества конечномерного линейного пространства, которому принадлежат все коэффициенты влияния классических параметров на функцию Лагранжа и полную энергию. Выведены рекуррентные соотношения для расчета значений базисных элементов этого пространства в заданных точках фазового пространства.
Указана связь между координатами коэффициентов влияния на лагранжиан и полную энергию в базисе упомянутого пространства, а также даны правила определения координат, заведомо равных нулю.
4. Проведен сравнительный анализ современных методов поиска связи между базовыми и классическими инерционными параметрами, показавший отсутствие метода, гарантирующего получение точного решения для произвольных манипуляционных механизмов. На базе полученных теоретических результатов разработан такой метод — метод проекций. В его основе лежит анализ матрицы координат коэффициентов влияния классических параметров на функцию Лагранжа в базисе некоторого вспомогательного пространства. Кроме того, рассмотрены примеры использования разработанного метода для простейших механизмов.
5. Выведены рекуррентные соотношения для вычисления координат упомянутых коэффициентов влияния в базисе вспомогательного пространства, составленном по предложенной методике. На их основе разработан рекурсивный алгоритм реализации метода проекций, согласно которому написана на языке С++ программа поиска базовых инерционных параметров. С помощью этой программы получены базовые параметры робота Puma 560, соответствующие известным результатам. Предложены пути повышения быстродействия разработанного алгоритма. Указан алгоритмический способ приведения матрицы координат к блочно-сту-пенчатому виду и описано его использование для распараллеливания вычислений.
6. Предложен способ формирования уравнений движения манипуляцион-ного механизма относительно базовых параметров на основе рекуррентной процедуры. Рассмотрено его применение на примере плоского двух-звенного механизма.
7. Получено представление энергетической идентификационной модели в терминах базовых инерционных параметров. Проиллюстрировано применение этих параметров в задаче идентификации параметров уравнений движения манипуляционного механизма на примере математической модели трех первых звеньев робота Puma 560. Компьютерная симуляция движения исследуемого механизма и получения необходимых измерений была выполнена с помощью пакета Matlab. Проведенные расчеты подтвердили идентифицируемость базовых параметров, а также корректность идентификационной модели.
