Применение интегральных неравенств на конусах монотонных функций в теории вложения пространств Кальдерона

Интегральные неравенства на конусах монотонных функций играют важную роль в математическом анализе, теории вложения и их приложениях. Многие объекты современного математического анализа (убывающие перестановки функций, наилучщие приближения, модули непрерывности, функционалы теории интерполяции операторов) обладают свойствами монотонности. Многие вопросы теории приближений, теории интерполяции и в том числе, теории вложения сводятся к исследованию интегральных неравенств на конусе монотонных функций.

Теория вложения для пространств функций играет важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории дифференциальных уравнений, а также в теории рядов Фурье и в теории приближений. Правильная постановка задач теории приближений в различных метриках требует наличия точной информации о вложении пространств дифференцируемых функций в те или иные банаховые функциональные пространства.

Теоремы вложения возникли в связи с задачами теории уравнений в частных производных, в которых для изучения гладкости решений вводятся одни серии пространств, для изучения поведения вблизи границы области или вблизи каких либо особых точек — другие типы пространствизучение значений решений на многообразиях меньшей размерности проводится в новых пространствах и т. д. Возникновение теории вложения связано с работами C.JI. Соболева в 30-е годы прошлого века. Им были введены и изучены пространства W^, получена для них система теорем вложения и даны приложения в уравнениях математической физики.

Расширение соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах JI.H. Слободецкого, И. Стейна, П. И. Лизоркина и далее Я. Петре, Г. Трибеля и его учеников, М. Тейблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева — Лиувилля, а затем и более обтцей шкалы пространств Лизоркина — Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием С. М. Никольским теории вложений пространств гельдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О. В. Бесов ввел и изучил более общие пространства B^(Rn), совпадающие ири в = со с пространством Никольского Hp (Rn). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В. М. Бабича, О. В. Бесова, Э. Гальярдо, П. И. Лизоркина, И. Стейна, С. В. Успенского и др., что дало толчок в теории обобщенных решений краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов.

Далнейшее расширение понятия гладкости связано с рассмотрением пространств «обобшенной гладкости в которых осуществлен переход от числовых (векторных) параметров гладкости к обобщенным параметрам — функциям (векторфункциям) или последовательностям, причем при минимальных априорных предположениях. Такие пространства естественным образом возникают в теории рядов Фурье и теории приближений. Важный вклад в развитие теории пространств обобщенной гладкости внесли исследования Н. К. Бари, А. Зигмунда, С. Б. Стечкина, П. Л. Ульянова, М. К. Потапова, Э. А. Стороженко, П. Освальда, Ю. В. Нетрусова и др.

Развитие теории обобщенных пространств Бесова связано с работами О. В. Бесова, А. В. Бухвалова, М. З. Берколайко, M.JI. Гольдмана, Г. А. Калябина, Ю. В. Нетрусова и др. Потребностьи теории нелинейных краевых задач привели в работах Ж. Госсе, Т. Дональдсона, Н. Трудингера и др. к рассмотрению пространств дифференцируемых функций, построенных на основе более общей, чем Lp, метрики пространств Орлича. Дальнейшие обобщения, связанные с введением более общих метрик изучались в книге О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М, Никольского, в работах М. З. Берколайко, Ю. А. Брудного, А. В. Бухвалова, К. К. Головкина, M.JI. Гольдмана, B.C. Климова и др. Параллельно шло бурное развитие общей теории идеальных (банаховых функциональных) и симметричных (иерестановочно-инвариантных) пространств, связанное с именами таких известных специалистов, как С. Г. Крейн, А. П. Кальдерон, Е. М. Семенов, П. П. Забрейко, Я. Петре, Е. И. Бережной, В. И. Овчинников и др. Синтез этих подходов привел к возникновению концепции пространств Кальдерона, введенных им.

Ряд важных современных результатов теории вложений для пространств Кальдерона получен в работах M.JI. Гольдмана, Р. Кермана. В работе [10] получены, в частности, необходимые и достаточные условия для вложения где X — перестановочно-инвариантное пространство (кратко: ПИП), и построено оптимальное (самое узкое) ПИП для негото есть, найдено ПИП Хо такое, что вложение A (E, F) с-> X верно при X = Хо, и если это включение верно для некоторого X, то Хо X. Такая постановка вопроса об оптимальности пространства принадлежит Ю. В. Нетрусову [21]-[22].

Диссертационная работа посвящена реализации абстрактных результатов по теории вложений пространств Кальдерона в случае пространств Кальдерона-Орлича A^$(Rnи). Указанная реализация основана на анализе теории двойственности и оценках поведения интегральных операторов типа Харди в весовых пространствах Орлича. В работе также рассматривается вопрос об описании оболочки локального роста для пространств Кальдерона-Орлича и Соболева — Орлича.

Отметим, что пространства и) обобщают классические пространства Бесова. Обобщение проводится по двум направлениям: интегральные свойства функций из выражаются в терминах Е — ПИП общего вида, а дифференциальные свойства функций в терминах принадлежности наилучших приближений пространству Орлича, норма в котором более общая, чем в Lp.

Работа состоит из вступительного § 0.1 и трех глав.

В параграфе § 0.1 описаны основные используемые нами обозначения.

Первая глава посвящена построению конструкции пространства Кальдерона-Орлича и получению вспомогательных результатов. Она состоит из трех разделов.

В 1.1. кратко изложены некоторые факты, относящиеся к общей теории перестановочно-инвариантных и идеальных пространств.

В разделе 1.2. даются основные определения пространства Кальдерона-Орлича и рассмотрены его общие свойства. Как мы выше отметили, пространство Кальдерона-Орлича определяется следующим образом.

Ая, ф (Дпи) = {/ € Е: et (f)E € F (R+) = П ЬФ^П+)} ;

Л > 0: J Ф (л-^(/Ь) u (t)dt < 1 I, о) где Ьф) г/(Я+) — весовое пространство Орлича, et (f)E — наилучшее ll/lk+ W/)A, e + inf приближение функции /? Е с помощью целых функций экспоненциального типа степени tпо каждой переменной.

Методом дискретизации получена двухсторонная оценка нормы пространства F на конусе убывающих функций через норму дискретного пространства Орлича на основе которой устанавливаются основные утверждения. Именно справедливо предложение 1.2.1:

Пусть F = П Lqo — идеальное пространство (квази) норма в котором задается соотношением ф:= 1Ыко + 1Ык,&bdquo-.

Введем (квази) нормированный конус.

Of = {9 6 F: 0 < g (t) 4,} - Мп1.-:=\д\р=\д\ь^ + д (+0), genF.

Пусть Ф Е Аг т. е. 3 с > 0, для которых Ф (2в) < сФ (я) < оо, (0 < s < оо). Тогда.

1Ы1 °F «\{д («т)Ш,» = inf{A > 0: < 1}. т=0.

Здесь w (fim) = Ът, т = 0,1,., где 6 > 1 — фиксировано;

IIKJIkv =inf {x >0: Y, ф (л1ЫК < i.

771=0.

В разделе 1.3 приведен критерий ограниченности оператора типа Харди:

G[g){t) = J д (т)фЕ{т)у{т-1)<1т: ПР F[T, оо). t в пространстве F. Основные результаты работы получены при условии ограниченности оператора G: 0, р F[T, oo). Поэтому важно найти критерий ограниченности оператора G для случая весового пространства Орлича. Введем положительную функцию.

6(t)=HE{w~t)), t G [1, оо), (1.3.1) где /iE-инволюция фундаментальной функции пространства Еw~l-непрерывная справа обратная функция к w.

Тогда условие ограниченности оператора G эквивалентно требованию 9 G —У +оо), т. е. sup[e (2t)/0(t): t G [2, оо)] < оо.

Во второй главе рассмотрены вопросы об оптимальном вложении пространства Кальдерона — Орлича и его оболочке локального роста. В 2.1 получено конкретное описание ассоциированного пространства Q’f для конуса которое дает возможность конкретизировать критерий вложения пространства Кальдерона — Орлича в Lqq. Справедливо следующее предложение 2.1.1.

Пусть F = П Lqo, Ф 6 A2 и V (oo) — 00, где t.

V (t) = f u (x)dx, t > 0. 0.

Тогда для измеримой функции? > 0 на R+.

00 inf{A > 0: J Ф (А-1ра (?- t))v (t)dt < 1} + J ?(x)dx, о 0 где Ф — дополнительная функция Юнга к функции Ф;

Pa&t) = Ф J t (x)dx-, P (t) = w~1(aw{t)). t.

Для различных значений, а > 1 эти нормы эквивалентны. Более того они эквивалентны следующей норме, более удобной для применений: lieik ф t ж)1йх)ёх lip,/.

00 inf I, А > 0: J Ф | Л1Ф w (t) J?,{x)dx J u{t)dt 1.

0 о.

С точки зрения описания оптимального (самого узкого) ПИП Х0 для вложения имеется два существенно различных случая.

1)-фе е q’f.

2).фЕ $ tiF, где фЕ (Ь) = ^(^[^(Г1)2]" 1, Ы*) := \Хо\е ~ фундаментальная функция пространства Е.

Как результат приведенных выше предложений имеет место эквивалентность фЕеП’р & Ф G Lyt",.

Г 00 inf < Л > 0: J Ф^А-1Ф (^у) Ы*)) v{t)dt < т. е. оо.

1 > < ОО.

V WJy——У «~ о.

Из предыдующих утверждений и известных резултатов об оптимальном вложении пространств Кальдерона непосредственно вытекает следующая теорема 2.1.3. Пусть F = L$tV П Lqo и Ф G А2.

1. Если V (oo) < оо то.

А?, ф (Rn-v) = E (Rn).

2. Если V (oo) — оо и ф (sfe)" E (i) е ^ то пространство Хо = П Loo с нормой рх0(л = г (+0) + ре (гх (т~^оо))есть оптимальное ПИП для вложения.

В 2.2 получено конкретное описание оболочки локального роста пространства Кальдерона-Орлича.

Оболочкой локального роста пространства Кальдерона-Орлича, А = v) называется функция:

EA (t) := sup {f*(t): / 6 Л- ||/||л < 1} •.

При наличии вложения Л С L^ получим E (t) = 0(1), t +0. При отсутствии этого вложения функция E (t) является важной характеристикой пространства Л. Пусть Ф 1 и sup w (t) 0(21) fiE{t)? £, ф)„

L m t G (2, oo) oo.

Тогда.

EA (t) * Ф flEfat) где fiE{x-, t) = цЕ{х), х G (0, I/O? &E (x-t) = /x^(l/t), x G [1Д, оо).

В третьей главе рассмотрено анизотропное пространство Кальдерона-Орлича Л^ф (Мпи).

С помощью пространства F = Loo П Ьф,!/ определяется пространство Fo (K+) = Fo с нормой 00 \gloo + inf | Л > 0: J Ф (А-1!^-1^))!) u (t)dt 1 где A (t) = ГК (0> «(*) = {ai{t),., an (t)}, t G M+ j векторная функция со свойствами: а'(?)-непрерыш1ы, и aj (t) t> = О» Q-j (+00) = 00 • Введем пространства идеальные) Fj с помощью нормы:

Таким образом, анизотропное пространство Кальдерона-Орлича и) порождается нормой: п.

Л (' ф ¦

3=1 оо Ё |e$(/b + hf |А > 0: (A-4j (A-I (0)(/)^) «(*)<** < 1.

Аналоги утверждений для ' изотропного пространства, полученных в предыдующих главах, получены и в анизотропном случае.

Действительно, пусть {д: g (A (t)) е F0}- |Ы|п, 0 := \я (А (.))\Ро.

— конус убывающих функций из Fq. Этот конус так же важен как Qf, так как? где.

St (f)E := infmaxe^(/)?- к := |(i/,-)J=1: 4 > O. JJi/, — = t.

— среднее наилучшее приближение функции / 6 Е.

Для измеримой функции? > 0 на R+.

IKIk.

Fo Ф t jki) f*lx)dx.

Ьф, i/ inf |А > 0: J^ /v (t)dt < 1J .

Таким образом, для анизотропного случая имеет место эквивалентность 1.

Фе е n’fo Ф—j fiE{t) е L%u.

Введем оператор

00 t A{t).

Тогда условие ограниченности оператора Go эквивалентно требованию в 6 A2(t ->¦ +оо), т. е. sup[9(2t)/6(t): t 6 [2, оо)] < оо.

В конце отметим, что приведенные выще общие результаты для пространств Кальдерона-Орлича проиллюстрированы примерами.

0.1. Описание обозначений.

1). Повсеместно символ := будет означать, что величина стоящая слева от него определяется выражением стоящим справа.

Символом ~ будем обозначать эквивалентность двух величин. Например, а «6, значит 3ci, С2 > 0: са <Ь< сга.

Нумерация формул в тексте сплошная и состоит из трех чисел (слева-направо): первая цифра соответствует номеру главы, вторая указывает на раздел внутри главы, а третье число номер формулы внутри раздела. Например, (2.1.7) будет номером седьмой формулы из первого раздела второй главы. Номера теорем, лемм, предложений и т. д. совпадают с номерами раздела, где они помещаны. Ссылка на формулу, теорему, предложении дается соответствующим им номером.

Через т, к, г, j будем обозначать индексы пробегающие множество No := {0,1,2,.}. Далее, Еп евклидово действительное у/2 пространство точек х = (х,., хп)-= I ^ =) > гДе п — заданное натуральное число, обозначающее исключительно размерность данного пространстваR+ := (0, оо) — действительная полупрямая.

Всюду в тексте термин «измеримост» будет означать измеримость в смысле Лебега, интегралы будут пониматься в смысле ЛебегаmesQ — мера Лебега множества Г2.

Мы тоже будем пользоваться стандартными обозначениями: Для измеримого непустого множества fiCK" :

• - банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных на со функций.

• LP (Q), 1 < р < оо — множество классов измеримых, равных почти всюду в О, функций f (x), для которых конечна норма: (ff (x)fdx) /Р- 1<�р<�оо.

Ьр (П)'-=<™ J supvrai |/(х)|- р = оо жбП.

Сопряженный показатель к р обозначим через р': то есть ^ + ^ = 1, ири этом 1' = оо, оо' = 1.

• АС {О) — множество абсолютно-непрерывных на ?1 функций.

• Через Врв (0,)-а > 0,1 < р, в < оо обозначим классическое изотропное пространство Никольского-БесоваВ^^О,) = Нр (£1).

2). Напомним, что функция qT (x), x G Мп называется целой функцией экспоненциального типа т = (тц,., rn), Tj > 0, если для нее выполняются следующие условия:

1. gT (z) — целая функция по всем переменным, то есть она разлагается в абсолютно сходящийся на всем Сп степенной ряд: к3> О.

2. Для любого е > 0, существует Ае > О такое, что для всех z = (zi,., zn) выполняется неравенство: rW| < A? exp²{rj + e) zj. i.

Для 1 < р < оо, подпространство в Lp (Wl) целых функций экспоненциального типа г часто обозначают через 9ЯГ-Р (МП). Функций из этого подпространства часто называют функциями с ограниченным спектром, поскольку они допускают эквивалентное описание в образах Фурье, а именно (теорема Пэли-Винера):

9ЯГ)Р (МП) = {qT е Lp (Rn): supp^qT С 0>}, где У := {(&,., f") е Rn: < т,-} - n-мерный брус.

1. Берколайко М. З., Овчинников В. И. Неравенства для целых функций экпоненциального типа в симметричных пространсвах.//Тр.МИАН. 1983.-T.161.-C.3−17.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения.-М:Наука, 1975.480 С.

3. Буренков В. И. Функциональные пространства. Пространства Lp. -М.: Изд-во УДН, 1987. 77 С.

4. Буренков В. И. Функциональные пространства. Основные интегральные неравенства, связанные с пространствами Lp.~М.: Изд-во УДН, 1987. 77 С.

5. Буренков В. И., Гольдман M.JI. Методические реомендации к изучению курса «Функциональные пространства». -М.: Изд-во УДН, 1989. 77 С.

6. Буренков В. И., Гольдман M.JI. Вычисление нормы положительного оператора на конусе монотонных функций. //Тр. МИАН. 1995.-Т. 210.-С. 65−89.

7. Гольдман M.JI. О вложении разных метрик для пространств типа Кальдерона. //Тр. МИАН. 1988.-Т. 181.-С. 70−94.

8. Гольдман M.JI. Об одном вложении обобщенных пространств типа Бесова и Лоренца. //Функ. пр-ва и их прим. к диф. уравнениям. РУДН, 1992.-С. 46−67.

9. Гольдман M.JI. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций. //Тр. МИАН. 2001.-Т. 232.-С. 115−143.

10. Гольдман M.JI. Перестановочно инвариантная оболочка для обобщенных пространств Бесова, Соболева и Кальдерона. // Труды международной конференции, посвященной 75-летию акад. Решетняка Ю. Г., Новосибирск, 2005 (в печати).

11. Гольдман M.JI., Кермаи Р. Об оптимальном вложении пространств Кальдерона и обобщенных пространств Бесова. //Тр. МИАН. 2003. Т 243. С. 161−193.

12. Гольдман M.JI., Энрикес Ф. Э. Описание перестановочно инвариантной оболочки для анизотропных пространств Кальдерона. //Тр. МИАН. 2005.-Т. 248.-С. 154−184.

13. Жамсранжав Д. Оценка локальной растущей оболочки пространства Кальдерона Орлича. //-М. XLII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. 2006. Секции физики. -С 53−54.

14. Жамсранжав Д. О критерии ограниченности оператора Харди в пространстве Орлича. //-М. XLII всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. 2006. Секции физики. -С 55.

15. Жамсранжав Д. О перестановочно инвариантной оболочке пространства Кальдерона — Орлича. //-М., 2006. -23 С.-Рус.-Деп. в ВИНИТИ, 26.02.2006, Ш91-В2006.

16. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функций и пространства Орлича.// -М.: Физматгиз, 1958, 271 С. .

17. Крейн С. Г., Полунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.// -М.: Наука, 1978, 400 С. .

18. Мазья В. Г. Пространства Соболева.// -Изд. ЛГУ.: 1985, 416 С.

19. Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств Бесова в идеальные пространства. // Записки научных семинаров ЛОМИ. -Л.: Наука, -Т. 159. -С.69−82.

20. Нетрусов Ю. В. Теоремы вложения пространств Лизоркина-Трибеля. // Записки научных семинаров ЛОМИ. -Л.: Наука, -Т. 159. -С.103−112.

21. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.// -М.: Наука, 1977, 456 С. .

22. Харди Г. Г., Литтлвуд Дою.Е., Полна Г. Неравенства.// -М.: ИЛ, 1948, 456 С. .

23. Adams D. A sharp inequality of J. Moser for Higher order of derivatives. //Ann. of Math. 128. (1988) 385−398.

24. Bennett C., Sharpley R. Interpolatoin of Operators// Pure and Applied Math. Acad. Press. 1988. Vol. 129,.

25. Caetano A., Moura S. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the subcritical case.// Math. Nachr. 273 (2004) 43−57.

26. Caetano A., Moura S. Local growth envelopes of spaces of generalized smoothness: the critical case.// Math. Inequalities and Applications. 7(4) (2004) 573−606.

27. Caetano M., Haroske D. Continuity envelopes of spaces of generalised smoothness: a limiting caseembeddings and approximation numbers.// J. of Function Spases and Appl. vol 3. 1. (2005). 33−71.

28. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method.// Studia Math., 1964. -V. 24. 113−190.

29. Goldman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D. On the principle of duality in Lorentz spaces.// Can. J. Math. 48. (1996) 959−979.

30. Heinig H., Kufncr A. Hardy operators on monotone functions and sequences in Orlicz spaces//J. London Math. Soc.(2), 53 (1996) 256−270.

31. Triebel H. Theory of function spaces.// BasehBirkhauser. (1992).

32. Triebel H. Structure of functions.// Basel: Birkhauser. (2001).