Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы

Елава 1 Введение 1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках Напомним, что дзета-функция Римана ^(s) при Re s > 1 определяется следующим рядом: сю ^ п=1 Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках s ^ 2, т. е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними. Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно: где В2п — числа Вернул ли, удовлетворяющие рекуррентному соотношению tirh^o, «. ifc=0 и начальному условию 5о = Г. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа тг. Следовательно, при натуральном п число С (2^) трансцен1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках 5 дентно. Ситуация с числами С (2п+1) намного более сложная. Проблема арифметических свойств этих чисел поднималась еще в 1934 г. О. А. Гельфондом (см.

заключение

в [4]). Существует Гипотеза. При любом натуральном п и для любого ненулевого многочлена P{XQ,. .. , Хп) с целыми коэффициентами верно Р (7г, С (3), С (5),…, С (2п + 1))7⁰.Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках. В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел (^(2п4−1).Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута. Так как Dn ^ 3″ и 3^{л/2 — 1)'* < 1, то правая часть стремится к нулю при п —>• оо. Откуда и следует иррациональность С (3)Трансцендентность <^ (3) или иррациональность С (2?г + 1) при п ^ 2 пока не доказана. Однако после Апери, с помощью различных обобщений, были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля [41] о бесконечности размерности линейного пространства над 1.2 Интегральные представления аппроксимаций 6 Q, порожденного значениями ^ (2п + 1), а также результат В. В. Зуди лина [И] об иррациональности по крайней мере одного изs четырех, чисел С (5), С (7), С (9), С (И). lj.2 Интегральные представления аппроксимаций Первым, кто рассмотрел кратные интегралы в связи диофантовымиприближениями, был К. Малер ([36]). Он использовал интегралы, которые можно записать-в виде (см. [17]) Рг. х?'-'(1-хЛ''-'-',. axi—аХт при специальном выборе параметров ai, bi, ci, для оценки сверху линейных форм, приближающих значения биномов (Г— z)" .1:2 Интегральные представления аппроксимаций 7 показатель иррациональности числа, а — это нижняя грань множества чисел fly для которых неравенство Р, а q имеет конечное число решений в целых р и q с q > 0. Интегралы того же типа / -dxdx2. .dx 21 использовались в [21] для оценки меры трансцендентности тг^. В диссертационной работе мы будем рассматривать следующее обобщение интегралов Сорокина: 1.3' Обобщенные полилогарифмы и кратные дзета-функции 9 40 = Го < Г" ! < Т2 < • • • < п = т. (1.6) 1.3 Обобщенные ноли логарифмы и кратные дзета-функции в работе большую роль играют обобщенные полилогарифмы, определяемые равенствами Li,-W=? 2″ l 31³² ^ S (> л.1.4 Результаты диссертации Оказывается, интеграл V (2r), при некоторых ограничениях на параметры может быть сведен к 5(z). Мы установим это в разделе 2.1, доказав более общее тождество. Из этого интегрального тождества вытекает равенствоинтеграла 1^ (2:) интегралу вида 5 (л). Этот результат формулируется! в. виде двух теоремв * зависимости: от четности-.размерности?интеграла"V{z).В разделе 2.2 получен явный вид кратной: суммы, в которую раскладывается интеграл S{z) при z < 1. Из этого результата следуют интегральные представления обобщенных полилогарифмов и кратных дзетафункций. Полученные интегралы продолжают обобщенные полилогариф. мы в область D = С{2: | a rg (l—z) < тг}.1.4 Результаты диссертации 12 Далее, в разделе 2.3 изучается действие преобразования 2-—>—z/(r—г) на обобщенных поли логарифмах. Лемма 2.6. (О двойственности) Пустъ z G D = С{-г :| arg (l —2г)| < 7г} Тогда выполняется равенство для векторамs', получаемого из s по некоторому правилу. Эта лемма используется в главе 3- Васильев в работе [2] доказал равенство, которое можно записать в: виде С ({2}ь1) = 2С (2А- + 1).В разделе 2.4 мы доказываем обобщение этого равенства. Теорема 2181 Притатуральнъьх к, s" ^ 2 выполняется равенство С ({2,{1Ь_2Ь, 1) = < Н + 1).Также в разделе 2.4 указываются другие связи^ и СВ разделе 2:5 обсуждаются арифметические свойства кратных дзетазначений. Доказывается, например^ следующий результат. Следствие 2.7. Существует такое: зге {(2,3), (3,2), (2,2,3), (2,3,2), (3,2,2)}, что числа 1, ^(3) u^(so) линейно независимы над Q. В главе 3 исследуется интеграл вида 5(2-) и указываются его некоторые применения для арифметических результатов: В разделе 3.1 доказывается общая теорема о представлении интеграла 5(л) в виде линейной формы с полиномиальными коэффициентами от обобщенных поли логарифмов. В ней используется обозначение: й ^ v, если длины векторов U и iравны и Uf^ г? г при любом г = 1,. .., 1{и) = l{v).Знак '*' значит то же, что ив разделе Г. З. В некоторых случаях в линейной форме в действительности возникает много меньше обобщенных полилогарифмов, чем гарантируется этой теоремой, что важно в арифметических приложениях. В разделе 3.2 доказывается усиление общей теоремы при некоторых ограничениях на параметры. При этом используется определение: вектор и называется подчиненным вектору г/, если й •^ v или й ^ v' для некоторого вектора v', полученного из вектора /у вычеркиванием нескольких компонент в произвольных местах. В разделах 3.3 и 3.4 исследуются знаменатели и оценка сверху коэффициентов линейных форм разложения 5(-г).Теорема 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а^ О и произвольного е > О существует такое то, что при т,^ т, о размерность линейного пространства (над Q), пороэюденного 1, Lii (a), Ы2(о-),…, Ыщ (о-) не меньше, чем In т.1 + 1п2 Ранее подобный результат был известен лишь при |о-| < 1. Из этой теоремы и леммы 2.6 получается Следствие 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а ^ О и произвольного? > О существует такое т, о, что при тп '^ тпо размерност, ь линейного пространства (над < - а.) 771 «^ ^ т > Сгг+1> • • • > On—1> Оп_ ^ т—п+^т—п 1 и и ] ZXiX2'' • Xfi.

1. ВАСИЛЬЕВ Д.В., Некоторые формулы для дзета-функции Римана вцелых точках // Вестник МГУСер. .1. Матем., мех. 1996. X Г^. G. 81−84..

2. VASILYEV D-V., On small linear forms for the values of the Riemannzeta-function at odd integers // Preprint^ ^Г¹ (558). Minsk: Nat. AcadSci. Belarus, Institute Math., 2001..

3. ГЕЛЬФОНД О.A.. Трансцендентные числа // Труды И Всес. матем.съезда. Л.: Техтеоретиздат, 1934. Т. I.- / / В кн. «Избранные труды». М.: Наука, 1973. G. 57−75..

4. ЗлОБИН G.A., Интегралы, представляемые в виде линейных формот обобщенных полилогарифмов // Матем. заметки. 2002. Т. 71. JV^ 5. 782−787..

5. ЗЛОВИН А., О некоторых интегральных тооюдествах / / Успехиматем. наук. 2002. Т. 57. JV^ З. G. 153−154..

6. ЗлОБИН G.A., Разлоэюения кратных интегралов в линейные формы.

7. Доклады РАН. 2004. Т. 398. Я⁵. G. 595−598.

Литература

м 132.

8. ЗяОВКНС.А.уПроизводяш^ие функции для значении кратной дзетпафункции // Вестник МРУ. Gep. 1. Матем., мех. 2005. JГ²: G. 55−59. 9! ЗЛОБИН^ GiA., Разложения кратных интегралов в линейные формы и Мал^ем. заметки. 2005. Т: 77. J⁵. G. 683−706-..

9. З У Д И Л И Н ' ВШ^, Совершенно! уравновешенные гипергеометрическиеряды и, кратные интегралы.// Успехи матем. наук. 2002^Т.' 57. J^4l G. 177¹⁷⁸: W. ZUDILIN. W., Arithmetic of linear formsinvolving/ oddl zeia values.

10. Ji. Theorie Nombres Bordeaux. 2004: V. 16- № 1: P: 251−291-: / /http://arxiv.org/abs/math/206 176: 12: ZUDILIN WV, Well-poisedl hypergeometric transformations of Euler-type multiple integrals II J. London Math. Soc. (2). 2004: V. 70: № 1: P: 215 230..

11. ZUDILIN W., Well-poised hypergeometric service for diophantine problems^of zeta values 11 Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Gaen (June 29−30, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003. V. 15. № 2. P: 593−626..

12. К О Л М О Г О Р О В A.H., Ф о м и н G.B., Элементы теории функций тфункционального анализа 11 М: Наука, 1989: 15- Н Е С Т Е Р Б Н К О Ю: В, О линейной независимости чисел. 11 Вестник МРУ Gep. 1. Матем-, мех. 1985. № 1. G. 46−54:.

13. NESTERENKO Yu.V., Integral identities and constructions of approxim, ations to zeta-values 11 Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Gaen (June 29−30, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003: V. 15. № 2. P. 535−550..

15. Никишин Е. М., Об иррациональности значений функций F (x, s) //Матем. сборник. 1979. Т. 109. Jf³. 410−417. 19: ПРАСОЛОВ В: В., Многочлены // Mi: МЦНМО, 1999..

16. СОРОКИН В. Ш, Теорема Апери // Вестник МГУ. Gep. 1. Матем., мех.1998. № 3.G. 48−52..

17. СОРОКИН! В:Н., О jwepe трансцендентности числа тг^ / / Матем. сборник. 1996; Т. 187. J¹²: 87−120:.

18. ФЕЛЪ/ЩАПЯ.Ш, Седьмая проблема Гильберта // М.: Изд-во МГУ, 1982..

19. ФУКС Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных / / М.: Гос. изд. физ.-мат, лит., 1962..

20. APERY Ш, Irrationalite de С (2) ei С (3) / / Asterisque 1979. V. 61. P.11−13..

21. BAILEY W.N., Generalized Hypergeometric Series // New York: Stechnert-Hafner, 1964. (Gambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, V. 32)..

22. BEUKERS F., Л note on the irrationality of Cip) andC,{^) // Bull. LondonMath Society. 1979. V. 11. JГ^ З. P. 268−272..

23. BoRWEiN J.M., BRADLEY D.M., BROADHURST D. J-, Evaluations ofk-fold Euler/Zagier Sums: A Compendium of Results for Arbitrary к // Литература 134! The Electronic Journal of Combinatorics. 1997. V. 4. № 2. Research Paper 5..

24. FISCHLER S., Formes lineaires en polyzetas et integrales multiples // СR. AcadSci. Paris Ser. I Math. 2002. V. 335. P. 1−4..

25. РАСПЕР Дж., PAXMAH M., Базисные гипергеометрические ряды //ММир, 1993..

26. HOFFMAN М.Е., The algebra of multiple harmonic series // Journal ofAlgebra. 1997. V. 194: J²: P. 477−495..

27. KOKSMA J.P., POPKEN Jl, Zur Transzendenz von e^ // Journal fiir diereine und angewandte Mathematik. 1932. V. 168. P. 211−230..

28. KRATTENTHALER G., RIVOAL Т., Hypergeometrie et fonction zeta deRiemann / / Preprint (December 2004), submitted for pubUcation- / / http://arxiv.org/abs/math/311 114..

29. MAHLER K., Ein Beweis des Thue-Siegelschen Satzes iiber die Approximation algebraischer Zahlen fur binomische Gleichungen // Math. Ann. 1931. V. 105. P. 267−276..

31. RHIN G., VIOLA C., On a permutation group related to C (2) / / ActaArith. 1996. V. 77, X^l. P. 23−56.

Литература

135.

32. RHIN G., VIOLA, The group structure for Ci" ^) // Acta Arith. 2001.V. 97. JV^ З. P. 269−293..

33. RiVOAL Т., La fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeursirrationnelles aux entiers impairs // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2000. V. 331. Jf^ 4: P. 267−270..

34. RiVOAL т. , Proprietes diophantiennes des valeurs de la fonction zetade Riemann aux entiers impairs // These de doctorat (29 juin 2001). Caen: Universite^ de Caen, Laboratoire SDAD- / / http://theses-ENIigne.in2p3.fr..