Основы механики

Основы механики

План

1. Кинематика вращательного движения тела

2. Динамика поступательного движения. Инерциальные системы отсчета

3. Механика. Основы динамики

3.1 Первый закон Ньютона. Масса. Сила

3.2 Второй закон Ньютона

3.3 Третий закон Ньютона

1. Кинематика вращательного движения тела

Вращательным называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Кинематические характеристики вращательного движения: угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение.

Угол поворота, рад вектор, численно равный угловому пути, и направлен по оси вращения так, что из его конца вращение видно против часовой стрелки.

Угловая скорость, вектор, характеризующий быстроту изменения угла поворота, и направлен по оси вращения так, что из его конца вращение видно против часовой стрелки.

рад/c, c^-1. (1)

Характеристики равномерного вращения (= const)

1. Период вращения Т это время, за которое тело совершает один полный оборот

с. (2)

2. Частота вращения n это число полных оборотов, совершаемых телом за единицу времени

с¹ Гц. (3)

Угловое ускорение вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости

рад/c, с¹ (4)

Связь между линейными и угловыми характеристиками

; ;

;

;

;; ;

Сопоставление характеристик поступательного и вращательного движения материальной точки

Виды движения (уравнения и графики) Единицы измерения и кинематические характеристики поступательного и вращательного движений

2. Динамика поступательного движения. Инерциальные системы отсчета.

Динамика Ньютона базируется на трех законах, сформулированных им в «Математических началах натуральной философии» (1687 г.). До конца XIX века считалось, что ньютоновская механика способна объяснить любое механическое явление. С развитием физики обнаружились новые факты, которые не укладывались в рамки классической механики. Эти факты были объяснены новыми теориями — теорией относительности и квантовой механикой. При этом новые теории не перечеркнули классическую механику, а лишь показали ее ограниченность:

· механика Ньютона является механикой макроскопических тел (тел, размеры и массы которых много больше размеров и масс атомов);

· эти тела должны двигаться со скоростями много меньшими скорости распространения света в вакууме;

· законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета.

Инерциальные системы отсчета Тело, не подверженное внешним воздействиям (в действительности можно говорить лишь о компенсации этих воздействий), называется свободным, а его движение — свободным движением или движением по инерции.

Инерция — это способность тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, так как характер движения зависит от выбора системы отсчета.

Инерциальной называется любая система отсчета, которая находится в покое или движется равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы (центр ее совпадает с солнцем).

кинематика вращательный инерциальный гелиоцентрический Система отсчета, связанная с Землей, не является строго инерциальной, главным образом из-за суточного вращения Земли. Примером тонкого механического эксперимента, в котором проявляется неинерциальность системы, связанной с Землей, служит поведение маятника Фуко.

Первый закон Ньютона (закон инерции) Всякое тело сохраняет состяние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не заставит его изменить это состояние.

Впервые закон инерции был сформулирован Г. Галилеем (1632 г.). Ньютон обобщил выводы Галилея и включил их в число основных законов.

Кинематика

Движение по окружности

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Дц (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением Дl = RДц.

При малых углах поворота Дl? Дs.

Рисунок 1.6.1. Линейное и угловое перемещения при движении тела по окружности.

Угловой скоростью щ тел в данной точке круговой траектории называют предел (при Дt > 0) отношения малого углового перемещения Дц к малому промежутку времени Дt:

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости х и угловой скоростью щ:

х = щR.

При равномерном движении тела по окружности величины х и щ остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора. Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной х и угловой щ скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Дt. По определению ускорения Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы х_A = х_B = х.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

При малых значениях угла Дц = щДt расстояние |AB| =Дs? хДt. Так как |OA| = R и |CD| = Дх, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Дц направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Дt > 0, получим:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде где — радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см. § 1.1):

В этой формуле Дх_ф = х₂ — х₁ — изменение модуля скорости за промежуток времени Дt.

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие х_x и х_y (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, х_x, х_y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

3. Механика. Основы динамики

3.1 Первый закон Ньютона. Масса. Сила

При движении тела по траектории его скорость может изменяться по модулю и направлению. Это означает, что тело двигается с некоторым ускорением. В кинематике не ставится вопрос о физической причине, вызвавшей ускорение движения тела. Как показывает опыт, любое изменение скорости тела возникает под влиянием других тел. Динамика рассматривает действие одних тел на другие как причину, определяющую характер движения тел.

Взаимодействием тел принято называть взаимное влияние тел на движение каждого из них.

Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется динамикой.

Законы динамики были открыты великим ученым И. Ньютоном (1687 г.). Три закона динамики, сформулированные Ньютоном, лежат в основе так называемой классической механики. Законы Ньютона следует рассматривать как обобщение опытных фактов. Выводы классической механики справедливы только при движении тел с малыми скоростями, значительно меньшими скорости света c.

Самой простой механической системой является изолированное тело, на которое не действуют никакие тела. Так как движение и покой относительны, в различных системах отсчета движение изолированного тела будет разным. В одной системе отсчета тело может находиться в покое или двигаться с постоянной скоростью, в другой системе это же тело может двигаться с ускорением.

Первый закон Ньютона (или закон инерции) из всего многообразия систем отсчета выделяет класс так называемых инерциальных систем.

Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированные поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость неизменной по модулю и направлению.

Свойство тел сохранять свою скорость при отсутствии действия на него других тел называется инерцией. Поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции.

Впервые закон инерции был сформулирован Г. Галилеем (1632 г.). Ньютон обобщил выводы Галилея и включил их в число основных законов движения.

В механике Ньютона законы взаимодействия тел формулируются для класса инерциальных систем отсчета.

При описании движения тел вблизи поверхности Земли системы отсчета, связанные с Землей, приближенно можно считать инерциальными. Однако, при повышении точности экспериментов, обнаруживаются отклонения от закона инерции, обусловленные вращением Земли вокруг своей оси.

Примером тонкого механического эксперимента, в котором проявляется неинерциальность системы, связанной с Землей, служит поведение маятника Фуко. Так называется массивный шар, подвешенный на достаточно длинной нити и совершающий малые колебания около положения равновесия. Если бы система, связанная с Землей, была инерциальной, плоскость качаний маятника Фуко оставалась бы неизменной относительно Земли. На самом деле плоскость качаний маятника вследствие вращения Земли поворачивается, и проекция траектории маятника на поверхность Земли имеет вид розетки (рис. 1.7.1).

С высокой степенью точности инерциальной является гелиоцентрическая система отсчета (или система Коперника), начало которой помещено в центр Солнца, а оси направлены на далекие звезды. Эту систему использовал Ньютон при открытии закона всемирного тяготения (1682 г.).

Инерциальных систем существует бесконечное множество. Система отсчета, связанная с поездом, идущим с постоянной скоростью по прямолинейному участку пути, — тоже инерциальная система (приближенно), как и система, связанная с Землей. Все инерциальные системы отсчета образуют класс систем, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Ускорения какого-либо тела в разных инерциальных системах одинаковы (см. § 1.2).

Итак, причиной изменения скорости движения тела в инерциальной системе отсчета всегда является его взаимодействие с другими телами. Для количественного описания движения тела под воздействием других тел необходимо ввести две новые физические величины — инертную массу тела и силу.

Масса — это свойство тела, характеризующее его инертность. При одинаковом воздействии со стороны окружающих тел одно тело может быстро изменять свою скорость, а другое в тех же условиях — значительно медленнее. Принято говорить, что второе из этих двух тел обладает большей инертностью, или, другими словами, второе тело обладает большей массой.

Если два тела взаимодействуют друг с другом, то в результате изменяется скорость обоих тел, т. е. в процессе взаимодействия оба тела приобретают ускорения. Отношение ускорений двух данных тел оказывается постоянным при любых воздействиях. В физике принято, что массы взаимодействующих тел обратно пропорциональны ускорениям:

В этом соотношении величины и следует рассматривать как проекции векторов и на ось OX (рис. 1.7.2). Знак «минус» в правой части формулы означает, что ускорения взаимодействующих тел направлены в противоположные стороны.

В Международной системе единиц (СИ) масса тела измеряется в килограммах (кг).

Масса любого тела может быть определена на опыте путем сравнения с массой эталона (m_эт = 1 кг). Пусть m₁ = m_эт = 1 кг. Тогда Масса тела — скалярная величина. Опыт показывает, что если два тела с массами m₁ и m₂ соединить в одно, то масса m составного тела оказывается равной сумме масс m₁ и m₂ этих тел:

m = m₁ + m₂.

Это свойство масс называют аддитивностью.

Сила — это количественная мера взаимодействия тел. Сила является причиной изменения скорости тела. В механике Ньютона силы могут иметь различную физическую причину: сила трения, сила тяжести, упругая сила и т. д. Сила является векторной величиной. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, называется равнодействующей силой.

Для измерения сил необходимо установить эталон силы и способ сравнения других тел с этим эталоном.

В качестве эталона силы можно взять пружину, растянутую до некоторой заданной длины. Модуль силы F₀, с которой эта пружина при фиксированном растяжении действует на прикрепленное к ее концу тело, называют эталоном силы. Способ сравнения других тел с эталоном состоит в следующем: если тело под действием измеряемой силы и эталонной силы остается в покое (или движется равномерно и прямолинейно), то силы равны по модулю F = F₀ (рис. 1.7.3).

Если измеряемая сила F больше (по модулю) эталонной силы, то можно соединить две эталонные пружины параллельно (рис. 1.7.4). В этом случае измеряемая сила равна 2F₀. Аналогично могут быть измерены силы 3F₀, 4F₀ и т. д.

Измерение сил, меньших 2F₀, может быть выполнено по схеме, показанной на рис. 1.7.5.

Эталонная сила в Международной системе единиц называется ньютон (Н).

На практике нет необходимости все измеряемые силы сравнивать с эталоном силы. Для измерения сил используют пружины, откалиброванные описанным выше способом. Такие откалиброванные пружины называются динамометрами. Сила измеряется по растяжению динамометра (рис. 1.7.6).

3.2 Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике (см. § 1.7) вводятся две новые физические величины — масса тела m и сила, а также способы их измерения. Первая из этих величин — масса m — является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая — сила — является количественной мерой действия одного тела на другое.

Второй закон Ньютона — это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:

1. Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:

2. Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенн силам:

Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики:

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:

Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :

В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с². Эта единица называется ньютоном (Н). Ее принимают в СИ за эталон силы (см. § 1.7):

Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно понимать равнодействующую всех сил:

Если равнодействующая сила то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Таким образом, формально второй закон Ньютона включает как частный случай первый закон Ньютона, однако первый закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание — он постулирует существование инерциальных систем отсчета.

3.3 Третий закон Ньютона

В § 1.7 понятие массы тела было введено на основе опытов по измерению ускорений двух взаимодействующих тел: массы взаимодействующих тел обратно пропорциональны численным значениям ускорений

В векторной форме это соотношение принимает вид Знак «минус» выражает здесь тот опытный факт, что ускорения взаимодействующих тел всегда направлены в противоположные стороны. Согласно второму закону Ньютона, ускорения тел вызваны силами и возникающими при взаимодействии тел. Отсюда следует:

Это равенство называется третьим законом Ньютона.

Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.

Силы, возникающие при взаимодействии тел, всегда имеют одинаковую природу. Они приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга. Складывать по правилам векторного сложения можно только силы, приложенные к одному телу.

Рис. 1.9.1 иллюстрирует третий закон Ньютона. Человек действует на груз с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую природу — это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения обратно пропорциональны массам тел.

Силы, действующие между частями одного и того же тела, называются внутренними. Если тело движется как целое, то его ускорение определяется только внешней силой. Внутренние силы исключаются из второго закона Ньютона, так как их векторная сумма равна нулю. В качестве примера рассмотрим рис. 1.9.2, на котором изображены два тела с массами m₁ и m₂, жестко связанные между собой невесомой нерастяжимой нитью и двигающиеся с одинаковым ускорением как единое целое под действием внешней силы. Между телами действуют внутренние силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона: Движение каждого тела зависит от сил взаимодействия между ними. Второй закон Ньютона, примененный к каждому телу в отдельности, дает:

Складывая левые и правые части этих уравнений и принимая во внимание, что и получим:

Внутренние силы исключились из уравнения движения системы двух связанных тел.