Некоторые теоретико-числовые методы приближенных вычислений

В 1956 году по инициативе Н. Н. Ченцова в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР был организован научно-исследовательский семинар по разработке новых многомерных квадратурных формул. Этим семинаром руководили профессор, доктор физико-математических наук Н. М. Коробов и его молодые коллеги Н. С. Бахвалов и Н. Н. Ченцов.

В 1957 году вышла первая работа Н. М. Коробова [37], с которой и ведется отсчет истории создания теоретико-числового метода в приближенном анализе. В этой работе был предложен первый класс теоретико-числовых сеток — неравномерные сетки вида (1.106) (см. стр. 59).

В 1959 году в работах [38], [39] Н. М. Коробов ввёл другой очень важный класс теоретико-числовых сеток — параллелепипедальные сетки М (аАГ) вида.

-({тг}—{£}) (* = о.1.-." -ч. (Ч где (о^, А^) = 1 = 1,., в) и ах,., а8 — специально выбранные оптимальные коэффициенты по модулю N.

Достаточно быстро сформировались четыре основных направления приближенного анализа, где эффективными оказались методы теории чисел. Это — вычисление интегралов от периодических функций многих переменных, интерполирование периодических функций многих переменных, численное решение интегральных уравнений Фредгольма II рода и численное решение уравнений с частными производными. Анализ показывает, что из перечисленных четырех направлений исследований основным является первое. И от успехов в этом направлении зависит продвижение и в остальных трех, хотя там и возникает своя специфика [61].

Исходя из указанного обстоятельства, в данной диссертации усилия сосредоточены исключительно на проблеме численного интегрирования периодических функций многих переменных.

Задача приближенного вычисления определенного интеграла относится к числу классических проблем вычислительной математики. Решение этой задачи существенно зависит от класса функций, на котором она рассматривается.

В своей кандидатской диссертации [50] К. К. Фролов выделял следующие основные постановки задачи:

1. построение квадратурных формул, оптимальных для заданного класса функций F;

2. построение асимптотически оптимальных квадратурных формул;

3. квадратурные формулы, имеющие точный порядок погрешности;

4. квадратурные формулы, порядок погрешности которых отличается от точного на множитель вида ln7 N (N — число узлов в квадратурной формуле).

Если взять 2ls класс всех периодических функций f (x) с периодом 1 по каждой переменной, у которой её ряд Фурье.

1 1 s = Y, c (m)e2wi{™'s), С (т) = (.(f (x)e~27!i^dx, (rn, x) = ?marnez* { { j=l абсолютно сходится, то он оказывается слишком обширным для оценки погрешности приближенного интегрирования, так как ряд Фурье может сходиться как угодно медленно. Пространство 2ts относительно нормы.

11Ж)1к =? №й)|<�оо является сепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству h — всех абсолютно суммируемых комплексно-значных последовательностей (см. [31]).

Для дальнейшего мы будем рассматривать более узкий класс Es = U Е£. а>1.

Банаховы пространства быстросходящихся рядов Фурье Е^ определяются ниже (см. стр. 5).

В работе [19] отмечалось следующее обстоятельство: классические оценки погрешности численного интегрирования содержат норму функции, которая неизвестна, и получается парадоксальная ситуация — надо вычислить значение нулевого коэффициента Фурье, а оценка погрешности дается через величину нормы, которая содержит информацию о всех коэффициентах Фурье. А поэтому необходимы правила остановки, сформулированные в терминах величины, которая при росте числа точек стремится к нулю, и, следовательно, по её малости можно судить о скорости сходимости процесса.

В 1957 — 1960 годах ([37] — [39]) при создании теоретико-числового метода в приближенном анализе Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е?© (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье. Через Е?© обозначается множество функций из Ef с нормой, не превосходящей С, то есть шар в банаховом пространстве Ef радиуса С с центром в нуле.

Банахово пространство Ef состоит из функций f (xi,., xs), имеющих по каждой из переменных х,., х3 период, равный единице, и для которых их ряды Фурье оо хь ., х8)= •''' ma) e™< oo. (3) me Z3.

Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как wrnwi^ ii/(f)ik (i+2C («)r, а поэтому для любого, а > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, — дзета-функция Римана.

Относительно нормы пространство Ef является несепарабельным банаховым пространством изоморфным пространству /— всех ограниченных комплексно-значных последовательностей (см. [31]).

13десь и далее для вещественных тп полагаем ш = тах (1, |т|). Таким образом, величину Ш можно назвать усеченной нормой числа тп, что согласуется с понятием усеченной нормы вектора, о которой речь пойдет дальше.

Рассмотрим понятие усеченной нормы вектора, которой называется величина д (ж) =х-.-Ха. Усеченной норменной поверхностью с параметром t ^ 1 называется множество = = 1, хф б}, которое является границей гиперболического креста К3(Ь), заданного соотношениями К8(Ь) = {а%(ж) < ?}. Для натурального Ь на усеченной норменной поверхности имеется т*(£) целых ненулевых точек, где 2 ?'1 (4) число представлений натурального числа? в виде Ь = т, •. • гп3.

Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции ||/(ж)||да. Справедливо равенство f (x)\E? =max |C (0)|, sup ie • max |C (m)|.

V 1 m€N (t).

Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f (x) из Ef© по модулю ограничена величиной С • (1 + 2((a))s, при этом данная оценка достижима на функции оо " ./(f) = У 7—- е2жг (т, х) т=—оо в точке х — 0.

Очевидно, что Ef© с Е%© при a ^ /3. Для любой периодической функции f (x) € Ef© с Е%© справедливо неравенство для норм.

ЕЪ > \№\Е!

Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов вида ж) = С (б)+ J2 C{m)e2^'s meJV (l).

Рассмотрим квадратурную формулу с весами 11 N f{x1,., xs) dx1. dxs = —^pkf[^1(k),.^s (k)]-RN[f}. (5).

J lc—1.

О О.

23десь и далее Y^' означает суммирование по системам (mi,., ms) ф (0,., 0).

Здесь через обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла.

1 1.

J. ! }'(хъ., х8) йх1.

1х&bdquoо о средним взвешенным значением функции /(хь., х8), вычисленным в точках.

Мк = Ык),., Ш) (* = 1. М).

Совокупность М точек М^ называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины = р (Мь) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса веществен-нозначные.

Здесь необходимо сделать одно важное замечание. Вообще говоря, все узлы сетки М не обязаны быть различны (см. например работы [30], [35], [36], [46], посвященные сеткам Смоляка) и среди них могут быть повторяющиеся. В этом случае можно наряду с сеткой М — последовательностью узлов рассмотреть сетку М* — множество узлов, то есть.

M^ = {? = Mjl^j^N}, м* ^ |М| = И, р (х) = ^ ?

Ух=М] и квадратурная формула перепишется в виде 1 1 }{хъ., х3) йх1.^х3 =—— ^ р (х)/(х) — ЯМ*[Я (6).

0 0 1 ^м.

Даже в случае, когда все узлы различные, полезно различать сетку последовательность и сетку множество, так как одной сетке множеству из N различных точек соответствует ЛИ различных сеток последовательностей. Сделав это замечание, мы как правило будем отождествлять сетки множество и сетки последовательности, делая различия только там, где это необходимо.

Так, например, одна и та же параллелепипедальная сетка множество М (аИ) соответствует ^{Щ различным параллелепипедальным сеткам последовательностям М (Ь • где Ь — любое натуральное число из наименьшей приведенной системы вычетов по модулю N и — функция Эйлера.

Для произвольных целых тп,. ., та суммы б’м.Д^х,.тв), определённые равенством N.

5м>1, — ¦ = (7) к=1 называются тригонометрическими суммами сетки с весами.

Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами -, та) = —8м^(т±,., т8). N.

Положим р (М) — тогда для всех нормированных тригонометричез=1 ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка^Р (М). (8).

Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать 5″ м (т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки.

В работе [19] дано следующее определение, обобщающее определение из работы [33].

Определение 1. Дзета-функцией сетки М с весами р и параметром р ^ 1 называется функция ?(а, рМ, р), заданная в правой полуплоскости, а = а + И т > 1) рядом Дирихле а, р|м, д= ?' ^ = (9) м (т1.т3)а к ' т.1,., т3=—оо 4 ' п=1 где.

5 Г (р1М,?, п)=? 18*м/т)Г. (10) теТУ (п).

Непосредственно из определения следует неравенство.

С (ра, рМ, р) ^(р (а, 1 М, р) (а > 1). (11).

Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки М с параметром р и писать ?(а, рМ) .

Справедливы следующие две обобщенные теоремы Коробова о погрешности квадратурных формул (см. [19]).

Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции /(х) сходится абсолютно, С (гп) — ее коэффициенты Фурье и Бм^т) ~ тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство.

Зд/] = с (0) (^БМА0) — + I С{т)8м, р{т) =.

N 7) N с С (б) (5⁶) — 1) + С (т)Гм/т).

7П1,., т3=—оо оо.

12).

Ш1 ,., тв = — оо и при N—>00 погрешность Ядг[/] будет стремиться к нулю тогда, и только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном э-мерном кубе.

Теорема 2. Если /(жь., х3)? Е°©, то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка ад/]| < с.

— 1 дг.

Зм, р{гп) С.

ТП. ., 77г5 —— оо.

С-((а, 1 М, р), тг. тп8) а.

13) где сумма бд^Дт) определена равенством (7). На классе Е" © эту оценку нельзя улучшить.

Другими словами теорему 2 можно сформулировать так: Для нормы ||Длг[/]||.е" линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле (5) справедливо равенство Л ?? д^(0) — 1 оо.

N ^ (т1.т3)а т1,., т. в=—оо 4 '.

14).

Модифицированной сеткой М (/3) называют сетку, состоящую из модифицированных узлов мк0) = аш + м, • • •, {Ш + &}) (* = 1. ЛГ).

Линейный функционал погрешности приближенного интегрирования периодической функции /(х) из класса по квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М (/3) обозначается через ЯМ (0) р[/(^)]> а ег0 норма через Д.

Е?

В этих обозначениях утверждение (13) применительно к модифицированным сеткам формулируется так: для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Епо квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М (/3) выполняется равенство Я.

М{р), р

Е? N.

5 м, р (0) — 1 1 Л7 ?

ЗУДГП!,. .., Ш5)|.

N ' [тщ. те,)а т, 1,., та=—оо х '.

15).

Это равенство утверждает, что для всех модифицированных сеток М (/3) норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Е£, является инвариантом, который определяется исходной сеткой М и не зависит от вектора модификации.

В работе [19] дано простое объяснение этого факта через понятие граничной функции класса, которое впервые встречается в работе Н. М. Коробова [42], а более подробно в его монографии [43] (см. также [4]).

Функции /(?) с единичной нормой, для которых абсолютная погрешность приближенного интегрирования равна норме линейного функционала погрешности, следуя Коробову, называют граничными функциями класса ЕЛегко видеть, что граничной функцией класса Е®для сетки М с весами р будет функция с коэффициентами Фурье3.

Со (те) О.

5'м, р (те)|да (те).

БмЛ0) ~ 1 |5м, р (0) — 1| при Бм, р{гп) = 0, при БмА&trade-) ф 0, т ф 0, при вмА®-) ф1, т = 0, при БмА®-) = 1, те = 0.

16).

3 Здесь 8 м, р (гп) означает комплексное сопряжение.

Граничная функция класса сеткой определена неоднозначно, если при некоторых значениях т, ., т8 тригонометрическая сумма Бм^п) = 0.

Пусть /(х) — граничная функция класса Е" для сетки М, тогда д (х) = = ¡-{х — ?3) — граничная функция класса Е" для модифицированной сетки М0). Так как из =? С0(т)е2^ д (х) = /(? — 0) = Е С^тУ™^,.

11 11 С (т) = С0(7п)е-2т^ С0 (б) = ?{х)с1х = J. J д (х)с1х = С (б).

0 0 0 0 следует \/{х)\Е? = НяОЮНяу,.

N к=1 и.

1 1 °° Д*[/] = Соф) (^мАб) — 1] + ^ Со (т)5м, р (^) = т1,., т3=—оо.

1 1 °° = (м^т/о) Е' с^ммА*) = (17) т. т .— —.

7711 — 0О то, действительно, это так.

Так как граничная функция класса зависит от вектора модификации сетки, то приближенное интегрирование одной и той же функции по модифицированным сеткам для разных векторов модификации приводит к появлению дополнительной информации о приближенном значении искомого интеграла. Такая ситуация естественно возникает при использовании произведения сеток, если соответствующим образом организовать суммирование в квадратурной формуле, как будет видно из дальнейшего.

Вопросы численного интегрирования с правилом остановки рассмотрены в работе [19]. Следуя этой работе дадим частное определение мультипликативной дискретной дисперсии для случая произведения двух параллелепипедальных сеток с равными весами.4.

4 Подробному рассмотрению понятия произведения двух сеток посвящена работа [21].

Определение 2. Если параллелепипедалъная сетка М является произведением двух параллелепипедалъных сеток 5 то мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с сеткой М и равными весами периодической функции f{x) из пространства Ef будем называть величину D*Ml.M2[f{x)], заданную равенством.

Из определения видно, что, вообще говоря, (х) Ф {х).

В качестве правила остановки будем брать величину мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования, так как при М ->¦ оо будем иметь (х)} 0.

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию теоретико-числовых алгоритмов численного интегрирования периодических функций многих переменных. Рассматривается актуальная задача получения оценок мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования.

Исследование теоретико-числовых алгоритмов численного интегрирования, интерполирования, решения уравнений с частными производными и линейных интегральных уравнений на классах периодических функций — это современная отрасль теоретико-числового метода в приближенном анализе, ей посвящены многочисленные современные работы известных ученых, таких как, Н. М. Коробов [37] - [43], Н. Н. Ченцов [15], Н. С. Бахвалов [2], [3], В. А. Быковский [6] - [10], С. М. Воронин [12] - [14], Э. Главка [52], Хуа Ло Кен, Вань Юань [53] и многих других.

Однако, оценкам мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования было посвящено относительно мало работ и здесь остается ряд нерешенных задач.

5Для любого гёК8 полагаем {г} = ({^х},., {гя}) е [0- 1)" .

М = Мг ¦ м2 = {{х + у} х е ми у е М2},.

2 2.

Основной целью работы является создание и развитие аппарата, позволяющего получать оценки мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования, величина которой является основой правил остановки алгоритмов интегрирования.

Первая цель данной работы — алгоритм численного интегрирования с правилом остановки для периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с парралелепипедальными сетками и его программная реализация в системе МаЙ1сас115. Алгоритм будет строится для системы сеток, являющейся концентрической совокупностью параллелепипедальных подсеток параллелепипедальной сетки 5, вычисленной по алгоритму Л. П. Добровольской [5].

Вторая цель данной работы — алгоритм численного интегрирования с правилом остановки для периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с алгебраическими сетками и его программная реализация в системе МаЛсасПб.

Как показано в работах А. С. Герцога (см. [17], [18]) при реализации алгоритмов интегрирования с алгебраическими сетками возникает нетривиальная проблема точной параметризации алгебраической сетки. В случае системы алгебраических сеток это проблема усложняется, так как необходимо найти точную параметризацию для модифицированных алгебраических сеток. Поэтому третью целью данной работы будет алгоритм и его программная реализация точной параметризации модифицированных алгебраических сеток.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка.

Заключение

.

Подводя итог обсуждения проблемы выработки правил остановки в алгоритмах численного интегрирования, дополним следующие соображения из работы [29].