Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Разработка математических моделей для расчёта электромагнитного поля с применением сингулярных интегральных уравнений и их численное исследование

Диссертация: Разработка математических моделей для расчёта электромагнитного поля с применением сингулярных интегральных уравнений и их численное исследование
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теоретической электротехники и прикладной математики, теория интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры. Комплекс программ для численного исследования математических моделей реализован на объектно-ориентированном языке программирования Borland Delphi версии 7.0 с применением средств MatLab. Актуальность… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В
  • РАСЧЕТАХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ (обзор)
    • 1. 1. Классификация интегральных уравнений
    • 1. 2. Сингулярные интегральные уравнения для расчета электромагнитного поля
      • 1. 2. 1. Одномерные сингулярные интегральные уравнения
      • 1. 2. 2. Многомерные сингулярные уравнения
    • 1. 3. Состояние теории и методики численной реализации сингулярных интегральных уравнений
    • 1. 4. Выводы
  • Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
    • 2. 1. Сингулярные уравнения для расчета плоскопараллельного и осесимметричного поля
    • 2. 2. Сингулярные уравнения для расчета трехмерного поля
    • 2. 3. Выводы
  • Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
    • 3. 1. Численная реализация одномерных уравнений на замкнутых контурах
    • 3. 2. Одномерные уравнения на незамкнутом контуре
    • 3. 3. Расчет электростатического поля, созданного заряженной прямоугольной пластиной
    • 3. 4. Расчет электростатического поля, созданного заряженным двугранным углом
  • -33.5. Выводы
  • Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ
    • 4. 1. Постановка задачи и сингулярные интегральные уравнения на основе поверхностных зарядов и токов для расчёта трёхмерного поля
    • 4. 2. Осесимметричные и плоскопараллельные поля идеальных проводников, и сингулярные интегральные уравнения для их расчёта
    • 4. 3. Выводы
  • Глава 5. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РАСЧЁТА КВАЗИСТАЦИОНАРНОГО ПОЛЯ ИДЕАЛЬНЫХ ПРОВОДНИКОВ
    • 5. 1. Численная реализация полевых моделей
    • 5. 2. Исследование вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений
    • 5. 3. Итерационное решение систем линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих сингулярные интегральные уравнения
    • 5. 4. Выводы

Разработка математических моделей для расчёта электромагнитного поля с применением сингулярных интегральных уравнений и их численное исследование (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Задачи разработки элктротехнического оборудования и оптимизации его параметров неизбежно приводит к необходимости внедрения методов математического моделирования, а также численных методов расчета электромагнитного поля. Развитие вычислительной техники не решает всех проблем математического моделирования. Остается открытым вопрос оценки вычислительной эффективности математических моделей, построенных на основе теории электромагнитного поля и определения наиболее эффективных методов их численной реализации.

Актуальность работы. Одним из основных методов, применяемых для расчёта электромагнитного поля электротехнических устройств, является метод интегральных уравнений (МИУ). Он может использоваться как для расчёта поля в линейной среде, где наиболее эффективны граничные интегральные уравнения (ГИУ), так и в нелинейных средах в форме объёмных или пространственных уравнений.

МИУ наиболее эффективен в тех случаях, когда для расчёта поля используются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Однако эти уравнения могут быть построены далеко не для всех краевых задач, возникающих при расчёте поля конкретных устройств. В частности, при расчёте поля высоковольтных аппаратов, содержащих электроды в виде тонких оболочек, интегральные уравнения второго рода фредгольмовского типа построить нельзя, и поэтому для такого рода задач используются уравнения первого рода. Такие уравнения некорректны, причём это свойство проявляется тем сильнее, чем выше размерность модели, то есть при расчёте трехмерных полей, что необходимо для адекватного моделирования реальных устройств. Альтернативой уравнениям первого рода являются сингулярные интегральные уравнения (СИУ), которые в отличие от уравнений первого рода корректны, то есть, близки по вычислительным свойствам уравнениям Фредгольма второго рода. Поэтому построение СИУ для расчёта электростатического поля, особенно трёхмерного, является актуальной практической задачей. С другой стороны, СИУ естественным и неизбежным образом появляются при расчётах квазистационарного поля различных электромагнитных аппаратов. При этом для расчёта каждого отдельного устройства может быть построено несколько вариантов систем интегральных уравнений, содержащих сингулярные операторы, и возникает проблема выбора наиболее эффективной модели с точки зрения практической реализации, то есть наиболее точной и экономичной. Чисто теоретическим путём эту проблему решить невозможно, и поэтому возникает актуальная задача сравнительной оценки вычислительной эффективности математических моделей, содержащих СИУ. До сих пор методика таких оценок не разработана, и достаточно широкого вычислительного эксперимента (из-за отсутствия теории — это единственный способ исследования) не проводилось. В данной работе предпринята попытка частично восполнить этот пробел.

Целью работы является построение математических моделей с использованием СИУ для расчёта электростатического и квазистационарного электромагнитного полей, сравнительное исследование их вычислительных свойств и определение наиболее эффективных методов численной реализации.

Основные задачи диссертационной работы.

1. Разработать универсальную методику построения сингулярных уравнений для расчёта электростатического поля без применения специальных приёмов (введение систем криволинейных координат, замены переменных, ограничений на геометрию).

2. Построить математические модели для расчёта квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников с использованием уравнений первого и второго рода Фредгольма и СИУ.

— 63. Разработать основные положения методики и критерии оценки сравнительной вычислительной эффективности математических моделей на основе различных типов интегральных уравнений.

4. Создать комплекс программ и провести численные эксперименты с целью определения вычислительной эффективности СИУ сравнительно с другими математическими моделями по критериям точности, экономичности расчётов, простоты программной реализации и возможности построения универсальных программных средств.

Методы исследования. Для решения поставленных задач применялись методы теоретической электротехники и прикладной математики, теория интегральных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры. Комплекс программ для численного исследования математических моделей реализован на объектно-ориентированном языке программирования Borland Delphi версии 7.0 с применением средств MatLab.

Научная новизна. Новыми научными результатами являются: сингулярные интегральные уравнения для расчёта трехмерного электростатического поляметодика численного решения сингулярных интегральных уравнений с использованием сплайн-аппроксимацийматематические модели для расчёта квазистационарного поля идеальных проводниковметодика численного исследования вычислительной эффективности сингулярных интегральных уравнений.

Практическая ценность. Практическая ценность работы состоит в создании корректных математических моделей для расчёта трёхмерного электростатического поля высоковольтных аппаратов, которые могут быть использованы при их проектированиив разработке новых эффективных трёхмерных математических моделей для расчёта электромагнитных экранов трансформаторовв создании методики численной оценки различных способов численной реализации МИУ, что необходимо при проектировании электротехнических устройств.

На защиту выносятся:

1. Математические модели для расчёта трёхмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем.

2. Варианты систем интегральных уравнений для расчёта поля идеальных проводников, предназначенных для расчёта квазистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте.

3. Методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научно-техническом семинаре «Математическое моделирование процессов и аппаратов», ИГЭУ, Иваново, 1991 г.- международной конференции «Состояние и перспективы развития электротехнологии», ИГЭУ, Иваново, 1991 г.- всесоюзной конференции по теоретической электротехнике, Винница, 1993 г.- научно-техническом семинаре по электротехнике и прикладной математике, ИГЭУ, Иваново, 2003 г.- международной конференции «Бенардосовские чтения», ИГЭУ, Иваново, 2005 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения общим объемом 158 страниц, списка литературы, включающего 106 наименований и приложения объемом 30 страниц. Работа содержит 85 рисунков и 9 таблиц.

Основные результаты и выводы.

1. Установлено, что сингулярные интегральные уравнения являются характерными составляющими элементами интегральных уравнений и систем, возникающих при математическом моделировании электротехнических устройств.

2. Разработаны новые математические модели для расчёта трёхмерных статических полей на основе сингулярных интегральных уравнений и систем, имеющих нулевой индекс и единственность решения.

3. Разработаны новые варианты систем интегральных уравнений для расчёта поля идеальных проводников, предназначенных для расчёта квзистационарного электромагнитного поля при резко выраженном поверхностном эффекте.

4. Установлено, что на незамкнутых поверхностях можно построить несколько различных систем интегральных уравнений, матрицы СЛАУ которых имеют различные числа обусловленности, что даёт возможность выбора оптимальных по вычислительным свойствам математических моделей.

5. Предложена методика исследования вычислительных свойств сингулярных интегральных уравнений, основой которой является анализ взаимного влияния порядка матриц СЛАУ, чисел обусловленности, порядка аппроксимации искомых функций и скорости сходимости.

6. Вычислительные свойства СИУ с точки зрения аппроксимации искомых функций и расположения узлов дискретизации существенно отличается от уравнений Фредгольма. В отличие от них, для успешного применения СИУ в вычислительных целях целесообразно применение сплайнов первого порядка и выше.

7. При кусочно-постоянной аппроксимации искомых функций для численного расчёта СЛАУ, заменяющих СИУ необходимо применять прямые методы, которые дают достаточно точные результаты, несмотря на высокие числа обусловленности.

8. Возможность применения итерационных методов решения СИУ может быть обеспечена при условии аппроксимации искомых функций сплайнами не ниже первого порядка.

9. Скорость сходимости итерационных методов для решения СИУ может быть существенно повышена путём применения метода полуобращения при условии, что числа обусловленности матриц СЛАУ.

— л достаточно малы (порядка 1−10).

10. Основной вывод представленной работы состоит в том, что сингулярные интегральные уравнения могут успешно решаться численными методами и поэтому должны более широко использоваться при математическом моделировании физических процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. М., Стигаи И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. 832 с.
  2. Э.Л., Новгородцев А. Б. Определение формы электродов конденсатора с постоянной напряженностью на краевых участках // Электричество. 1983. -№ 12. — С.31−34.
  3. С.М., Ерофеенко В. Т. Электромагнитные поля в экранирующих оболочках. Мн.: Университетское, 1988. -246с.
  4. В.И. Обращение оператора Лапласа на замкнутых оболочках методом интегральных уравнений//Изв. вузов. Электромеханика. -1975. -№ 11.-0.1175−1183
  5. С.М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. -М.: Наука, 1985. -256с.
  6. П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984. -494с.
  7. А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. -203с.
  8. К., Тылес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. -М.: Мир, 1987. -524с.
  9. Бухгольц Г, Расчет электрических и магнитных полей. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.-712с.
  10. Ю.Васильев В. В., Коленский Л. Л., Медведев Ю. А., Степанов Б. М. Проводящие оболочки в импульсном электромагнитном поле. М.: Энергоатомиздат, 1982. -200с.
  11. Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. -279с.
  12. А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978. -292с.
  13. С.С. К решению задач электростатики для незамкнутых сферических проводников. Симметричные конденсаторы // ЖТФ. -1985.1. Т.55, № 2 С.251−260.
  14. С.С. К решению задач электростатики для незамкнутых сферических проводников. Несимметричные конденсаторы // ЖТФ. 1985. --Т.55. — № 11 -С.2097−2105.
  15. A.M., Лаповок А. Я. Алгоритмы расчета поля намагничивания тонких пластин и оболочек // Энергетика и транспорт. -1987. -№ 4. С.44−50.
  16. В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-303с.
  17. Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука, 1963. -639с.
  18. Т. Г. О композиции сингулярных ядер // ДАН СССР. 1960. -Т. 135. — № 4. — С.767−770.
  19. И.С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматиздат, 1962. -1100с.
  20. О.Л., Иоссель Ю. Я., Кадников С. Н., Якобсон А. Н. Расчет частичных емкостей ограничителей перенапряжений // Эффективность и надежность нелинейных ограничителей перенапряжений: сб. научн. тр. НИИПТ. Л.: Энергоатомиздат, 1987. — С.95−103.
  21. О.В. Метод расчета электромагнитного поля оболочек в режиме сильного экранирования // Известия РАН. Энергетика. 1995. -№ 5. -С.99−106.
  22. Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. -М., Л.: Изд-во АН СССР, 1948. -724с.
  23. Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. -М.: Гостехиздат, 1953. -.360с.
  24. К.С., Чечурин В. Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа. -240с.
  25. Д. Интегрирование алгебраических функций. -М.: Мир, 1985.-192с.
  26. В.Т. Теоремы сложения. Мн.: Наука и техника, 1989. -255с.-16 127. Жуков С. В. О граничных условиях для определения переменных магнитных полей тонких металлических оболочек // ЖТФ. -1969. -Т.39, № 7.-С.1149−1154.
  27. П.П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. и др. Интегральные уравнения. -М: Наука, 1968. -448с.
  28. Е.Ф., Качанов Э. С., Кузовкин В. А., Полумисков М. А. Индукционный магнитометр. Авторское свидетельство № 1 208 925
  29. В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. -Киев.: Наукова думка, 1968, -288с.
  30. В.Я. Методы автоматизированного проектирования приборов электроники. Новосибирск.: Институт математики СО АН СССР, 1986. -Т.1. -192с.
  31. Е.А. Дифракция электромагнитных полей на двух телах. -М.: Наука и техника, 1968. -583с.
  32. Ю.Я. Расчет потенциальных полей в энергетике. -JL: Энергия, 1978.-351с.
  33. Ю.Я., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Расчет электрической ёмкости. -JL: Энергоиздат,. 1981. -288с.
  34. Ю.Я. Электрические поля постоянных токов. -JL: Энерго-атомиздат, 1986. -160с.
  35. В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:1. Наука, 1985.-336с.
  36. С.Н. Расчет проводимости растекания электродной системы из двух сферических сегментов с непроводящей прослойкой методом парных рядов // РЖ Электротехника и энергетика. -1977, -№ 7, -Реф. 7A31−77. -С.5−5.
  37. С.Н. Сингулярные интегральные уравнения для тонких проводящих оболочек // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1989. -№ 5. -С. 179−182.
  38. С.Н. Осесимметричная электростатическая задача для сферических оболочек и дисков // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1984. -№ 3. -С.10−10.
  39. С.Н. Вычисление емкости тонкой сферической оболочки с двумя коаксиальными вырезами (сферического кольца) // Изв. вузов. Энергетика. -1983. -№ 8. -С.4−4.
  40. С.Н. Метод интегральных уравнений для расчета электростатических полей. Иваново: ИвГЭУ, 1995. -84с.
  41. С.Н. Инверсия в сфере и криволинейные ортогональные координаты // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1989. -Геометрическая часть. -4.1. -№ 2. -С.103−105., Расчет электрических полей. -4.2. -№ 3. -С.40−46.
  42. С.Н., Клемин Е. А. Электростатическая задача для осесимметричных сфероидальных оболочек // Электричество. -1986, № 10, -С.5−5.
  43. С.Н., Клемин Е. А. Расчет параметров датчиков электрического поля в проводящей среде // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. -1986. -№ 6. -С.57−60.
  44. С.Н., Полумисков М. А. Сравнительный численный анализ эффективности интегральных уравнений первого рода и сингулярныхинтегральных уравнений при решении электростатических задач для тонких оболочек// Электричество. -1989. -№ 1. -С.66−70.
  45. С.Н., Полумисков М. А. Сингулярные интегральные уравнения для расчёта трёхмерного электростатического поля // Вестник научно-промышленного общества. -М., 2004. -Вып.7., -С.7−11.
  46. С.Н., Полумисков М. А. Краевая задача и интегральные уравнения для расчёта квазистационарного электромагнитного поля идеальных проводников // Вестник научно-промышленного общества. -М., 2004. -Вып.7. -С. 11−15.
  47. С.Н., Полумисков М. А. Смирнов С.К. Сингулярные интегральные уравнения для расчёта осесимметричного электростатического поля // Вестник ИГЭУ- вып.2. -Иваново, 2004. -С.43−48.
  48. JI.B., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. -М., JI.: Наука, 1962. -696с.
  49. Е.С. Анализ и расчеты электрических полей. -М.: МЭИ, 1977. -4.1. -80с.
  50. Е.С. Анализ и расчеты электрических полей. М.: МЭИ, 1977.-4.2. 1977.-82 с.
  51. Е.С. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. -М.: Энергоатомиздат, 1983. -168с.
  52. Н.С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. -М.: Высш. шк., 1970. -710с.
  53. И.П. О решении магнитостатических задач для тонких замкнутых оболочек // ЖТФ, 1972, -T.XI, -Вып.8.- с. 1545−1549.
  54. И.П. О решении некоторых граничных задач теории гармоничных функций // Дифференциальные уравнения, 1975. -T.XI, -№ 11.-С.2052−2066.
  55. И.П. Численные методы исследования судового магнетизма. -Л.: Наука, 1986. -200с.
  56. М.Л. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1975. -301с.
  57. В.И., Бобоков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. -Минск: Наука и техника, 1985. -280с.
  58. П.А., Аринчин С. А. Численный расчет электромагнитных полей.-М.: Энергоатомиздат, 1984.-168с.
  59. В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. -М.: Гос. изд-во технико-теор. мет., 1950. -280с.
  60. М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1965. -716с.
  61. Н.Н. Специальные функции и их приложения. -М.: Гостехтеориздат, 1963.-380с.
  62. Н.Н., Скальская И. П. Распределение электричества на тонком гиперболоидальном сегменте // ЖВМ и МФ. -1967. -Т.7. -№ 2. -С.348−356.
  63. Л.Н., Сальникова Л. П. Численное исследование электростатических полей в периодических структурах. -Киев: Наукова думка, 1968. -160с.
  64. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. -М.: Мир, 1980. -608с.
  65. И.Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. -Киев: Наукова думка, 1979. -210с.
  66. Г. И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1977. -456с.-16 572. Миролюбов Н. Н., Костенко М. В., Левинштейн М. А., Тиходеев Н. Н Методы расчета электростатических полей. -М.: Высшая школа, 1963. -531с.
  67. И.М. Решение задачи о поле конденсатора, пластины которого имеют форму полых сферических сегментов // ЖТФ. -1960. -Т.30. -№ 11. -С.1355−1361.
  68. С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М.: Физматиздат, 1959. -232с.
  69. С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. -М.: Наука, 1962. -254с.
  70. С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М: Высшая школа, 1977.-431с.
  71. Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -Т.1. — 930с.
  72. Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -Т.2. -886с.
  73. Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. -М.: Наука, 1966. -708с.
  74. Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. -512с.
  75. А.Ф., Уваров Б. В. Специальные функции математической физики. -М.: Наука, 1978. -319с.
  76. В.Н. Расчёт электромагнитных полей в многослойных средах. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, -1981. -152с.
  77. М.А. Интегральные уравнения для расчёта ЭМП идеальных проводников // XII Бенардосовские чтения: сб. науч. трудов. -Иваново, 2005.-С. 156−160.
  78. Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989. -478с.
  79. А.А., Гулин А. В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432с.
  80. .С., Губатенко В. П. Аналитические решения электродинамических задач. -М.: Наука, 1988. -344с.
  81. В. Электростатика и электродинамика. -М.: Изд. иностр. лит., 1954. -604с.
  82. И.Е. Основы теории электричества. -М: Наука, 1976. -616с.
  83. А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1974. -224с.
  84. О.В., Маергойз И. Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. -Киев: Техника, 1974. -352с.
  85. О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. -М.: Энергия, 1975. -294с.
  86. В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1986. -420с.
  87. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. / Под ред. Купрадзе В. Д. -М.: Наука, 1976. -663с.
  88. Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. -JL: Наука, 1977. -220с.
  89. Я.Н., Сухаревский И. В. О сведении задач дифракции на незамкнутых поверхностях к интегральным уравнениям второго рода // Радиотехника и электроника. -1966, -№ 7. -С.30−36.
  90. А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Пер. с англ. -М.: Мир, 1982. -304с.
  91. Д., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. -М.: Мир, 1980. -279с.
  92. В.М. Метод последовательных приближений для интегральных уравнений 1-го рода // УМН. -Т.Х1. -Вып. 1. -1956.
  93. X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. -М.: Мир, 1964. -428с.
  94. Цейтлин J1.A. Об определении магнитных и электрических полей тонких слоев и оболочек //ЖТФ. -1958. -Т.28. -Вып.6. -С.1326−1329.
  95. Численные методы теории дифракции: Сб. статей. М.: Мир, 1982.200с.
  96. Л.Э. Избранные задачи расчета электрических и магнитных полей. -М.: Советское радио, 1977. -320с.
  97. В.П. Сумматорные уравнения в современной теории дифракции. -Киев: Наукова думка, 1983. -251с.
  98. Н.Н., Шур С.С. Изоляция электрических сетей. -Л.: Энергия, 1979, -302с.
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?