Математическое моделирование магнитозвуковых волн черенковского типа в твердых телах

Актуальность темы

.

В последние десятилетия в научной литературе большое внимание уделяется исследованию взаимосвязанных механических, электромагнитных и тепловых процессов в электропроводных телах в присутствии постоянного сильного магнитного поля [1−5].

Актуальность этой проблемы связана с разработкой методов неразру-шающего контроля качества материалов [6−8], электродинамического возбуждения и приема акустических волн [6, 9−11], с потребностями геофизики [12−14] и астрофизики (в частности, исследования физических свойств пульсаров) [5,15].

Особую важность данный круг задач приобретает в связи с развитием технологий термомеханической обработки крупногабаритных изделий. Так, например, сквозной прогрев материала необходим для снижения его жесткости перед обработкой давлением, при спекании порошков и композитов [16 -18]- он позволяет также повысить качество сварки [19] и резки [20] металлов.

Проникновение теплового потока в толщу образца происходит не мгновенно, а за конечное время, продолжительность которого не всегда приемлема. Кроме того, замедление проникновения тепла в заготовку может приводить к нежелательному образованию окалины на ее поверхности. Главное же осложнение состоит в том, что возникающий в массиве изделия градиент температуры вызывает формирование термоупругих напряжений и, в конечном счете, — неоднородность свойств материала, что снижает прочность изделий и их эксплуатационную надежность.

Наиболее удобной и рациональной для промышленного применения формой термообработки электропроводных материалов является индукционный нагрев [21−23]. Однако и при таком способе разогрева возникают существенные трудности, связанные, в частности, с тем, что с ростом частоты со колебаний поля происходит его локализация во все более тонком приповерхностном скин-слое с характерной толщиной 5 = ^/2/|и0а©. В этой же области концентрируются и источники джоулева тепловыделения, что опять же приводит к поверхностному разогреву изделия.

Новые возможности, позволяющие обеспечить равномерное распределение источников тепла, ведущее к выравниванию температурного поля и увеличению скорости нагрева, достигаются помещением образца в дополнительное сильное магнитное поле [24−30]. Взаимодействие приповерхностных токов с этим полем приводит к появлению механических (акустических) колебаний в среде, которые из-за слабого затухания звука в большинстве твердых тел свободно заполняют его объем. Эти колебания, в свою очередь, приводят к возникновению в среде индукционных токов и связанных с ними квазистационарных электромагнитных полей. При этом вязкая и джоулева диссипации энергии этих взаимосвязанных механико-электромагнитных колебаний приводит к формированию дополнительных объемно распределенных источников.

В этой связи в последние годы появилось большое число работ, посвященных различным теоретическим проблемам магнитоакустики. Общие же вопросы деформирования твердых тел с учетом тепловых и электромагнитных процессов, основные предпосылки и математический аппарат, необходимые для построения соответствующих математических моделей достаточно полно отражены в работах [1−4,31−33].

Наиболее широко исследования волновых явлений выполнены в линейном приближении. Проведено детальное моделирование волновых процессов на основе уравнений магнитоупругости [34−40], магнитотермоупругости [41−45] и магнитотермовязкоупругости [46−48]. Исследованию процессов распространения нелинейных магнитоупругих волн, в том числе и слабых разрывов, посвящены работы [49−54], в работах [55−58] анализируется применение асимптотических методов для решения уравнений магнитоупругости, в [5,57−58] рассматривается влияние нелинейности на резонансные колебания пространственно ограниченных тел. Особое внимание, уделяемое колебаниям в условиях резонанса, связано с тем, что магни-тозвуковой разогрев в этом случае становится особенно эффективным. В частности, в [28] показано, что в условиях резонанса мощность источников тепла, обусловленных внутренним трением в металлах, может на несколько порядков превышать мощность джоулева тепловыделения.

Учет нелинейности колебаний, который, как показано в [5], необходим в условиях резонанса, ограничивается нелинейностью взаимодействия материального континуума и электромагнитного поля [1, 49, 51] и нелинейностью, связанной с температурными напряжениями [1, 50, 53, 54]. В то же время не получила пока должного рассмотрения физическая нелинейность материала в связи с магнитоупругими задачами [59].

Подавляющее большинство указанных работ содержит решение одномерных задач. В то же время очевидно, что появление дополнительных источников тепла, связанных с диссипацией энергии колебаний по двум-трем направлениям может существенно увеличить вязкое тепловыделение. Поэтому физически интересным и технологически перспективным способом бесконтактного возбуждения двумерных волн в твердых телах может являться их черенковская генерация, при которой источником внешнего переменного электромагнитного поля служит либо бегущее токовое возмущение, либо контур с током, движущиеся со скоростью, превышающей фазовую скорость акустических волн в среде. (Применительно к проблеме удержания плазмы электромагнитным полем задача в подобной постановке рассмотрена в [60].) Кроме того, некоторые вопросы взаимодействия бегущего электромагнитного поля с плазмой изучены в [61, 62]). Технические основы разработки устройств с бегущим магнитным полем весьма подробно исследованы в монографии [63]. Данная задача имеет некоторое родство с так называемой «маг-нитоупругой задачей о поршне» (magnetoelastic piston problem), рассмотренной в [49] и посвященной процессам, возникающим при скольжении постоянного твердого магнита по недеформируемой поверхности идеального проводника.

Задача о черенковской генерации магнитозвуковых волн в твердом полупространстве и цилиндре ставилась в статьях [64, 65]. Однако в них не приводится конечного решения проблемы (в частности, отсутствуют соответствующие тепловые задачи). Это, по-видимому, связано с тем, что хорошо разработанные для одномерных задач методы решения в применении к данной проблеме в 2-мерной постановке становятся слишком громоздкими даже для геометрически простых тел.

Из вышесказанного следует, что, постановка и решение задачи о черенковской генерации магнитозвуковых волн в твердых телах весьма актуальна.

Цели и задачи исследования.

Цель работы заключается в математическом моделировании процесса генерации и распространения магнитозвуковых волн черенковского типа в твердых телах, источниками которых служат токовые возмущения различного типа с характерными скоростями, превышающими скорости распространения в телах акустических волн, а также изучение динамики температурных полей, возникающих при вязкой и джоулевой диссипации их энергии.

Для достижения поставленной цели требовалось решить следующие задачи:

1. Разработать методику аналитического решения магнитоупругой задачи о генерации волн черенковского типа в твердых телах.

2. Провести математическое моделирование процессов возбуждения и распространения черенковских волн в идеальном полупространстве, порождаемых бегущей волной тока (в линейной и нелинейной постановке) и движущимся проводником с током.

3. Исследовать двумерные черенковские магнитоакустические волны в вязкоупругом плоском слое с высокой, но конечной проводимостью с последующим расчетом температурного поля и анализом его динамики в условиях резонанса.

4. Выполнить расчет черенковских осесимметричных магнитозвуковых колебаний в вязкоупругом цилиндре из материала с высокой и низкой электропроводностью и проанализировать его резонансный разогрев в этих случаях.

Научные положения и результаты, выносимые на защиту.

В диссертационной работе защищаются:

1. Метод приближенного решения магнитоупругой задачи о генерации волн черенковского типа в твердых телах.

2. Математическое моделирование процессов возбуждения и распространения черенковских волн в идеальном полупространстве, порождаемых бегущей волной тока (в линейной и нелинейной постановке) и движущимся проводником с током.

3. Полное исследование двумерных черенковских магнитоакустиче-ских волн в вязкоупругом плоском слое с высокой, но конечной проводимостью с последующим расчетом температурного поля и анализом его динамики в условиях резонанса.

4. Решение задачи о черенковском возбуждении осесимметричных магнитозвуковых колебаний в вязкоупругом цилиндре из материала с высокой и низкой электропроводностью и подробный анализ его резонансного разогрева в этих случаях.

5. Вывод о повышении эффективности ввода энергии в материал изделия в условиях двумерных резонансных колебаний с точки зрения сокращения энергозатрат и времени термообработки до близких к точке плавления температур.

Научная новизна.

1. Предложен оригинальный метод разделения задачи на чисто упругую и электромагнитную части, позволяющий существенно сократить объем вычислений без потери точности, и алгоритм его применения к достаточно широкому кругу проблем.

2. В процессе реализации метода впервые полностью рассчитаны акустическое, электромагнитное, тепловое и температурное поля в исследуемых двумерных моделях.

3. Подробно исследован процесс резонансного разогрева тел, обусловленный диссипацией энергии магнитозвуковых волн черенковского типа.

Практическая значимость.

Проведенные исследования могут быть использованы при проектировании устройств магнитотермоакустической обработки твердых тел, порошковой металлургии, формирования композиционных материалов и неразру-шающего контроля качества изделий.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на Пятом Международном совещании-семинаре «Инженерно-физические проблемы новой техники» (Москва, 1998), Международной конференции «Передовые технологии на пороге XXI века», посвященной 145 со дня рождения В. Г. Шухова (Москва,.

1998), Третьей Международной конференции «Чкаловские чтения. Инженерно-физические проблемы авиационной и космической техники» (Егорьевск,.

1999), были представлены в виде стендового доклада на Международной конференции «Современные проблемы математики и механики», посвященной 70-летию со дня рождения акад. Я. И. Подстригача. (Львов, 1998).

Публикации.

Результаты, представленные в диссертационном исследовании, опубликованы в восьми научных работах [80, 98−104].

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 94 страницах и содержит 23 рисунка и 104 наименования цитируемой литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе сформулирована и решена многоплановая задача о возбуждении магнитозвуковых волн черенковского типа в электропроводных вязких твердых телах.

Предложен и реализован алгоритм расчета акустического, электромагнитного, температурного и теплового полей для источников внешнего электромагнитного возмущения достаточно произвольного типа.

Для идеального полупространства, в котором магнитозвуковые колебания возбуждаются бегущей волной тока, установлено, что четко выраженный максимум плотности потока электромагнитной энергии через его поверхность лежит в области превалирования сдвиговых волн. В области же сосуществования сдвиговых и продольных волн он является монотонной функцией фазовой скорости токовой волны. Учет нелинейности упругих характеристик материала и взаимодействия электромагнитного поля с индукционными токами приводит к решению в виде волны Римана с зависимостью характеристической скорости как от самой амплитуды, так и от ее квадрата. При этом оба типа нелинейности зависят от модуля индукции приложенного постоянного сильного магнитного поля, величина которого определяет, какое именно слагаемое будет доминировать. В случае же источника в виде проводника с током, движущимся параллельно границе полупространства, решение является типичным «черенковским клином», состоящим из одной или двух областей в зависимости от соотношения между скоростью движения контура и скоростями распространения продольных и поперечных акустических волн. Указано, что физически корректное решение в этом случае должно учитывать диссипативные эффекты на фронтах разрывов.

В случае тел в виде плоского слоя и цилиндра, обладающих высокой, но конечно проводимостью и находящихся в условиях резонансного усиления колебаний установлено, что превалирующим источником тепловыделения является вязкая диссипация. При этом существование двумерных колебаний (модифицированных продольных и поперечных) повышает его мощность на порядок по сравнению с традиционным способом магнитозвукового разогрева путем генерации чисто поперечных колебаний. Профиль распределения температуры по толще изделия оказывается слабоградиентным, что не ведет к ухудшению физико-механических свойств при одновременно высокой скорости нагрева.

Для образца цилиндрической формы из материала с низкой электропроводностью показано, что черенковский метод позволяет эффективно возбуждать двумерные колебания во всем объеме цилиндра, что может способствовать эффективному формированию однородной структуры мелкодисперсных композиционных материалов. Разогрев же в этом случае осуществляется, в основном, за счет джоулевой диссипации энергии электромагнитного поля источника.

Результаты исследований взаимосвязанных акустических и электромагнитных полей и порождаемых диссипацией их энергии расцределений источников тепла, создающих слабоградиентное температурное поле, могут использоваться при разработке устройств оптимальной магнитотермоакусти-ческой обработки элементов конструкций (плавки, отжига, сварки, резки с предварительным объемным прогревом и т. п.) и в ряде смежных проблем.

Автор выражает глубокую благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Сергею Владимировичу Соболеву за руководство работой, большее внимание и постоянную поддержку, заведующему кафедрой физики КГТУ доктору физико-математических наук профессору Вячеславу Михайловичу Полунину за доброжелательное отношение, во многом способствовавшее выполнению этой работы, и профессору кафедры физики МГТУ им. Н. Э. Баумана доктору физико-математических наук Михаилу Ивановичу Киселеву за внимание к работе и полезное обсуждение полученных результатов.