Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций

Диссертация посвящена важному активно развивающемуся разделу функциональной алгебры — полукольцам непрерывных функций. Объектом исследования являются конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций над топологическими пространствами.

Кратко осветим историю развития теории полуколец непрерывных функций. Полукольца непрерывных функций появились в рамках классической теории колец непрерывных функций, которая зародилась в работах М. Стоуна 1937 г. [48], И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова 1939 г. [14], Хьюитта 1948 г. [44], и окончательно оформилась после выхода в свет в 1960 г. замечательной книги Гилмана и Джерисона [42]. Главным объектом теории служит кольцо С (Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на произвольном (тихоновском) топологическом пространстве X, с поточечно определёнными операциями сложения и умножения функций. Изучались также кольца С (X, К) непрерывных функций со значениями в различных топологических кольцах К, начиная с М. Стоуна [48], Капланского [45], Р. Пирса [46]. Развитие теории колец непрерывных функций в этом направлении отражено в обзорах Е. М. Вёчтомова [7, 8, 50, 51] и книгах [9, 10].

Исследование полуколец непрерывных функций стало важным направлением развития и модификации теории колец С'(Х). Здесь выделяются два объекта: полукольцо СЛ {Х) всех непрерывных неотрицательных функций на 4 произвольном топологическом пространстве X и полуполе U (X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно заданными операциями сложения и умножения функций. Заметим, что кольцо С (Х) служит кольцом разностей как полукольца С+(Х), так и полуполя U{X).

Общее определение полукольца впервые было дано Вандивером [49] в 1934 году. Полукольца С+(Х) для компактов X фигурировали в качестве примера в работе Словиковского и Завадовского 1955 г. [47]. Систематическое изучение свойств полуколец непрерывных функций начато в работе В. И. Ва-ранкиной, Е. М. Вечтомова и И. А. Семёновой 1998 года [4]. В этой работе исследованы свойства делимости в полукольцах непрерывных функций, описана связь решетки конгруэнций полукольца С+(Х) с решеткой идеалов кольца С (Х). Описаны максимальные конгруэнции полукольца СЛ'{Х). Доказано, что из дистрибутивности любой из. решёток Con С+(Х) или Con U (X) следует, что пространство X является F-пространством. Поставлен вопрос о справедливости обратной импликации. В случае решётки Con U (X) вопрос положительно решён Д. В. Широковым [33, 34]. Нами доказано, что на любом F-пространстве X решётка СопС+(Х) дистрибутивна. Полуполя U (X) изучаются с 1995 года в работах [2, 4, 19, 22, 23, 24, 26, 33, 34]. Полукольца С+(Х) и полуполя U (X) рассматривались в обзорных статьях [12, 38].

Важным направлением в теории полуколец и полуполей непрерывных функций стало изучение конгруэнций на них. Впервые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций С+(Х) на тихоновских пространствах X упоминаются в статьях [36, 37]. В первой из них авторы показали, что пространство (со стоуновской топологией) всех максимальных среди сократимых конгруэнций на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской компактификации пространства X. Во второй работе доказано, что пространство конгруэнций на полукольце С+(Х), факторполукольца по которым изоморфны полуполю М+ неотрицательных действительных чисел, гомеоморфно хьюиттовскому расширению пространства X.

И. А. Семёнова в диссертации [24] дает описание максимальных и пред-максимальных конгруэнций (аддитивно) сократимого полукольца С+(Х), а также максимальных конгруэнций сократимого полуполя 17 (X). В настоящей диссертации описаны максимальные и предмаксимальньте конгруэнции (аддитивно) идемпотснтного полукольца Су {X) и максимальные конгруэнции полуполя 11У (Х).

Через £>(Х) обозначим полкольцо С+(Х), С^(Х) или полуполе 17(X), иу (х).

В диссертации [20] М. Н. Подлевских установлено, что конгруэнции на Э{Х) с топологией поточечной сходимости суть отношения равенства на всевозможных замкнутых множествах пространства X.

В теории колец непрерывных функций важную роль играют Р-пространства и Р-пространства, введенные Гилманом и Хенриксоном в 1956 г. [40] и 1954 г. [39] соответственно. Имеются многочисленные характеризации Е-пространств и Р-пространств в терминах колец [6, 8, 42, 51] и полуколец [4, 33] непрерывных функций. В настоящей диссертации получены полукольцевые характеризации этих пространств в терминах конгруэнций полуколец непрерывных функций.

Полукольца и полуполя непрерывных функций служат модельным примером общей теории полуколец и полутел, а также находят применение при исследовании пучковых представлений абстрактных полуколец и полутел [13, 21, 30, 32]. В свою очередь теория полуколец находит применение в топологии, дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального управления, и других разделах математики [43]. Отдельно следует упомянуть идемпотентный анализ [18].

Диссертация состоит из 106 страниц, 4 глав, 10 параграфов, оглавления, введения, списка литературы (63 наименования) и предметного указателя. В каждом параграфе диссертации принята сквозная двойная нумерация теорем, предложений, примеров, следствий, состоящая из номера параграфа и номера утверждения в параграфе разделенных точкой. Так, теорема 5.2 означает вторую теорему пятого параграфа. Номера формул состоят из номера главы и номера формулы в главе. Так, формула (III.1) это первая нумерова-ная формула третьей главы.

Полученные в диссертации результаты являются новыми. По мнению автора основными результатами можно считать следующие:

1) Установлена продолжаемость любой конгруэнции полуполей U (X) и Uy (X) до конгруэнции полуколец С+(Х) и СУ (Х) соответственно (теоремы 3.1, 4.1).

2) Доказано наличие псевдодополнений всех конгруэнции на полукольцах С+(Х), СУ{Х) и полуполях U (X), Uy (X) (теорема 5.1, следствие 5.1).

3) Получены критерии дистрибутивности решётки конгруэнций полукольца непрерывных неотрицательных функций (теорема 8.3 следствие 8.2).

4) Найдены критерии совпадения решёток конгруэнций сократимого и идемпотентного полуколец непрерывных функций (теоремы 8.2, 9.2).

5) Установлены новые полукольцевые характеризации F-пространств (теоремы 8.2, 8.4), Р-пространств (теорема 9.2) и конечных дискретных пространств (теорема 10.1, предложение 10.3).

Дадим краткое изложение содержания диссертации.

Первая глава посвягцена обзору основных понятий теории полуколец. В ней приведены известные утверждения теории полуколец непрерывных функций, необходимые для дальнейшего изложения.

В первом параграфе сформулированы определения основных понятий и известные факты общей теории полуколец и даны примеры универсальных конгруэнций полуколец.

Предложение 1.2 позволяет исследование решётки конгруэнций полутел заменить исследованием соответствующей решётки ядер.

Второй параграф содержит необходитые известные утверждения теории полуколец непрерывных функций. Также в нем доказаны новые свойства ядер полуполей непрерывных функций.

Так, в предложении 2.2 установлено, что решётка конгруэнций Con UV (X) является подрешёткой решётки конгруэнций Con U (X).

Главной конгруэнцией р на полуполе U, порожденной парой (и, v), называется наименьшая конгруэнция на U с условием upv. Она однозначно задается парой (ш—1,1).

Ядро главной конгруэнции на полуполе U (X) (UV (X)), порожденной парой (y?, 1), будем называть главным ядром и обозначим (ср) (( )v).

В предложении 2.4 дано описание главных ядер полу поля UV (X).

Предложение 2.4. Главные ядра kerv ( ) на полуполе UV (X) и только они имеют вид: v е UV (X) I (3 k е N) (<р A.

Введен символ Ed / для обозначения множества {х G X? f{x) — 1}, / е С+(Х), и исследованы его свойства.

Предложение 2.6. Для произвольной функции <р е U (X) если множество Ed (/? является открыто-замкнутым, то (ф) — (ср V (р~~1).

Лемма 2.2. Для любых функций и, v G U (X) (и) П (v) = {1} тогда и только тогда, когда Ed и U Ed г- = X.

Также во втором параграфе определяются такие важные свойства топологических пространств как тихоновость и хьюиттовость.

Топологическое пространство X называется тихоновским (хьюиттов-ским) если оно гомеоморфно произвольному подпространству (замкнутому подпространству) некоторой тихоновской степени Ш. Известно, что для каждого топологического пространства X существует тихоновское пространство тХ такое, что имеют место изоморфизмы С (Х) = С (тХ), S (X) = S (rX) [42]. Тихоновость пространства X означает, что X — тХ. Каждое тихоновское пространство X обладает хьюиттовским расширением г/Х, однозначно (с точностью до гомеоморфизма над X) характеризуемым следующими условиями: vX — хьюиттовское пространство, X — плотное подпространство в vX и все функции из С (X) продолжаются (единственным образом) до функций из C (vX). Имеют место полукольцевые изоморфизмы С{иХ) = С (Х) и S{yX) = S (X). Поэтому при изучении абстрактных свойств полуколец непрерывных функций пространство X можно считать тихоновским и даже хьюиттовским. Мы будем явно указывать, когда утверждение доказано только для тихоновских пространств.

Топологическое пространство X называется F-пространством, если в кольце С (Х) все конечно порождённые идеалы — главные [42, chapter 14]. Известно, что пространство X является F-пространством тогда и только тогда, когда множества neg / = {х е X | f (x) < 0} и pos / = {ж е X f (x) > 0} для любой функции / G С{Х) функционально отделимы [42, theorem 14.25],.

Топологическое пространство X называется Р-пространством, если кольцо С (Х) регулярно по фон Нейману, то есть для любого /? С (Х) существует такой д еС (X), что fgf — /. Это равносильно тому, что все нуль-множества на X открыто-замкнуты [42, chapter 4].

Во второй главе решается задача продолжения конгруэнций сократимого и идемпотентного полуполей непрерывных функций до конгруэнций соответствующих полуколец непрерывных функций.

Сначала эта задача решена для идемпотентного полуполя непрерывных функций. С этой целью для каждого ядра К Е Con UV (X) на полукольце CV (X) введены отношение У к, заданное условием: / V к д означает выполнение соотношений п та = /i V. V /П} д = gi У. V gm, / = / g{Vi г=1 ъ= 1 для некоторых /ь ., fn, дъ ., gm е СУ (Х) и щ,., umVi, ., vm е К, и отношение рк, определённое следующим образом: f Рк д дк ^ / < для некоторых A-, A-' G К.

В дальнейшем установлено, что эти отношения являются совпадающими кон-груэнциями (предложение 3.2), склеивающими ядро К (предложения 3.1 и лемма 3.2).

Предложение 3.1. Для каждого ядра К полуполя Uy (X) отношение У к является наименьшей конгруэнцией на полукольце СУ{Х), склеивающей ядро К: К С ker У к.

Центральной результатом параграфа является теорема: Теорема 3.1. Для произвольной конгруэнции р па полуполе Uy (X) с ядром К конгруэнция У к полукольца CV (X) является продолоюением р на полукольцо CV (X), причем кетУк = К.

Предложение 3.2. Для любого ядра К полуполя UV (X) конгруэнции У к и Рк полукольца CV (X) совпадают.

Для каждого ядра К G Coni7(X) на полукольце С+(Х) определяется отношение заданное условием: / ~ к 9 означает п т п т. f=^2fu 9 = J’iUi = gJvj.

1 j= 1 г=1 j= 1 для некоторых /ь., /п,#ъ ., gm € С+{Х) и иъ ., ит иь vme К.

Предложение 4.1. Пусть К — некоторое ядро полуполя U (X). Тогда отношение^к является наименьшей конгруэнцией на полукольце С+(Х), склеивающей ядро К.

Задача этого параграфа решена в следующей теореме: Теорема 4.1. Любая конгруэнция р € Сои U (X) продолжается на полукольцо С+(Х) до конгруэнции для К — [1}р, при этом [1]~к = К.

Третья глава посвящена исследованию свойств решёток конгруэнций полуколец и полуполей непрерывных функций.

В пятом параграфе решается вопрос наличия дополнений и псевдодополнений в решётках конгруэнций полуколец С+(Х), СУ (Х) и полуполей U (X),.

СЛрГ).

Псевдодополнением элемента, а решётки (L, V, А, 0} называется наибольший элемент а* е L, удовлетворяющий условию, а А а* — 0.

Дополнением элемента, а решётки {L, V, A,0,1) называется элемент а' Е G L, удовлетворяющий условиям, а А а' = 0 и, а V а' = 1.

Теорема 5.1. Пусть X — произвольное тихоновское пространство. Тогда для полукольца или полуполя S{X) любая конгруэнциия р решётки Соп?(Х) имеет псевдодополнение ра для некоторого единственного канонически замкнутого подмножества, А пространства X. Обратно, для каждого канонически замкнутого множества, А в X конгруэнция рл является псевдодополнением некоторой конгруэнции на S{X).

Следствие 5.1. Для любого топологического пространства X решётки Con[/(X) — Con Uy{X), ConC+pi), ConCv (X) суть решётки с псевдодополнениями.

Теорема 5.2. Бинарное отношение р на полукольце или полуполе S (X) является дополняемой конгруэнцией тогда и только тогда, когда р = Ра для некоторого единственного открыто-замкнутого подмножества, А топологического пространства X. Любая дополняемая конгруэнция na S (X) имеет единственное дополнение.

В шестом параграфе установлены два результата о существовании ретрак-тов для полуколец непрерывных функций.

Для каждого идеала I кольца С (X) на полуполе U (X) задается идеальная конгруэнция 7 (/): h{I)g <&f-gel, для любых f, g е U (X).

Аналогично определяются идеальные конгруэнции 7(7) полукольца С+(Х).

Предложение 6.1. Отображение 7: Id С (Х) —" ConU (X) является гомоморфизмом.

Решётка М называется ретрактом решётки N, если существуют гомоморфизмы 7г: N —> М и %: М —> N, такие, что 7 Г о ^ = 1 м — тождественное отображение множества М.

Теорема 6.1. Решётка идеалов Id С (Х) является ретрактом решётки ядер GonU (X).

Теорема 6.2. Решётка конгруэнций Con UV (X) является ретрактом решётки конгруэнций Con СУ (Х).

В седьмом параграфе описаны максимальные конгруэнции полуполя UV (X). Методом продолжения конгруэнций получено описание предмакси-мальных конгруэнций полукольца CV (X).

Максимальной конгруэнцией на полукольце S называется коатом решётки Con S.

Теорема 7.1. Максимальные конгруэнции на Uy (X) — это в точности конгруэнции у (М) по всем Ш-идеалам М кольца С (Х).

Полукольцо S называется положительным, если для любого, а Е S элемент, а + 1 обратим.

Известно, что максимальные конгруэнции на произвольном комутативном положительном полукольце S — это в точности двуклассовые отношения эквивалентности {Р, SP}, где Р — простой строгий идеал в S [4, предложение 3.4].

Конгруэнция р на полукольце S называется предмаксимальной, если любая превосходящая ее конгруэнция на полукольце S является максимальной или единичной.

Теорема 7.2. Предмаксимальные конгруэнции на СУ{Х) — это в точности конгруэнции j (М) по всем Ш-идеалам М кольца С (Х).

Для произвольного топологического пространства X обозначим через Max UV (X) (Ртах CV (X)) пространство — со стоуновской топологией — всех максимальных (предмаксимальных) конгруэнций на полуполе UV (X) (на полукольце CV (X)).

Предложение 7.2. Для произвольного топологического пространства X топологические пространства Max Uv (X) и Ртах Су (X) гомеоморфны. Для любого тихоновского пространства X топологические пространства Маx£/v (X), PmaxCv (X) и i/X гомеоморфны.

Предложение 7.3. Для произвольных хыоиттовских пространств X и У равносильны следующие условия:

1) Соп иу (Х) ^ Соп ?/у (У);

2) СопС^Х) ^ СопСу (У);

3) Х^У.

1. Биркгоф, Г. Теория решеток Текст] / Г. Биркгоф. — М.: Наука, 1984. — 568 с.

2. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций Текст] / В. И. Варанкина // Фундам. и прикл. математика. — 1995. Т. 1. — № 4. — С. 923−937.

3. Варанкина, В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций: дис. .канд. физ.-матем. наук: 01. 01. Об: защищена 11.11.1996 Текст] / В. И. Варанкина. — Киров: Вятский государственный педагогический университет, 1996.

4. Варанкина, В. И. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции Текст] / В. И. Варанкина, Е. М. Вечто-мов, И. А. Семенова // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4. — Вып. 2. — С. 493−510.

5. Вечтомов, Е. М.

Введение

в полукольца: Пособие для студентов и аспирантов Текст] / Е. М. Вечтомов. — Киров: Изд-во Вятского государственного педагогического университетата, 2000. — 44 с.

6. Вечтомов, Е. М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и Рпространства Текст. / Е. М. Вечтомов // Математические заметки. — 1983. Т. 34. — № 3. — С. 321−332.

7. Вечтомов, Е. М. Вопросы определясмости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. — 1990. — Т. 28. — С. 3⁶.

8. Вечтомов, Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты Текст] / Е. М. Вечтомов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. — 1991. — Т. 29. — С. 119−191.

9. Вечтомов, Е. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы Текст] / Е. М. Вечтомов. —М.: МПГУ, 1992. 121 с.

10. Вечтомов, Е. М. Функциональные представления колец Текст] / Е. М. Вечтомов. -М.: МПГУ, 1993. 191 с.

11. Вечтомов, Е. М. Абелево-регулярные положительные полукольца Текст] / Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1997. — Т. 20. — С. 282−309.

12. Вечтомов, Е. М. Полукольца непрерывных отображений Текст] / Е. М. Вечтомов // Вестник ВятГГУ. 2004. — № 10. — С. 57−64.

13. Вечтомов, Е.М. К теории полутел Текст] /Е.М. Вечтомов, A.B. Че-ранева // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63. —№ 2. — С. 161−162.

14. Гельфанд, И. М. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах Текст] / И. М. Гельфанд, А. Н. Колмогоров // ДАН СССР. Т. 22. — № 1. — С. 11−15.

15. Гретцер, Г. Общая теория решеток текст] / Г. Гретцер. М.: Мир, 1982. — 456 с.

16. Кон, П. Универсальная алгебра Текст] / П. Кон. — М.: Мир, 1968.

17. Лукин, М. А. Полукольцевые объединения кольца и полутела: дисканд. физ.-матем. наук: 01. 01. 06: защищена 12.03.2009 /М.А. Лукин — Киров: Вятский государственный гуманитарный университет, 2009. — 92 с.

18. Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении Текст] / В. П. Маслов, В. Н. Колокольцов. — М.: Наука, 1994.

19. Подлевских, М. Н. Замкнутые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций Текст] // Фундаментальная и прикладная математика. — 1999. Т. 5. — № 3. — С. 947−952.

20. Подлевских, М. Н. Полукольца непрерывных функцией с топологией поточечной сходимости: дис.. .канд. физ.-матем. наук: 01. 01. 06: защищена 15.11.1999 / М. Н. Подлевских. — Киров: Вятский государственный педагогический университет, 1999. 88 с.

21. Полин, С. В. Простые полутела и полуполя Текст] / С. В. Полин // Сибирский математический журнал. — 1974. — Т. 15. — № 1. — С. 90−101.

22. Семенов, А. Н. О решетке конгруэнций полутел Текст] / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. — № 9. — С. 92−95.

23. Семенова, И. А. Главные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций Текст] / И. А. Семенова // Вестник Вятского гос-педуниверситета. Серия естественных наук. Выпуск 1 Математика, информатика, физика. — 1996. — С. 14−16.

24. Семенова, И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис. .канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 11. 01. 1999 / И. А. Семенова. — Киров: Вятский государственный педагогический университет, 1998. — 78 с.

25. Семенова, И. А. Определеяемость хьюиттовских пространств X решеткой конгруэнций непрерывных неотрицательных функций на X Текст] / И. А. Семенова // Вестник Вятского госпедуниверситета. — 1999. — № 1. С. 20−23.

26. Семенова, И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций Текст] / И. А. Семенова // Фундаментальная и прикладная математика. — 2000. — Т. 8. — Вып. 1. — С. 305−310.

27. Старостина, О. В. Строение абелево регулярных положительных полуколец Текст] / О. В. Старостина // Чебышевский сборник. — 2005. — Т. 6. № 4(16). — С. 141−151.

28. Старостина, О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 29.10. 2007 / О. В. Старостина. — Киров: Вятский государственный гуманитарный университет, 2007. 90 с.

29. Черанева, А. В. О конгруэнциях на полутелах Текст]/ А. В. Черанева // Чебышевский сборник. 2005. — Т. 6. — Вып. 4 (16). — С. 164−171.

30. Черанева, A.B. Ядра и пучки полутел: 01.01.06: защищена 4.12.2008 Текст]/ А. В. Черанева. Киров: Вятский государственный гуманитарный университет, 2008 —99 с.

31. Чермных, В. В. Полукольца Текст] / В. В. Чермных. — Киров: Издательство ВГПУ, 1997. — 131 с.

32. Чермных, В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис.. .док. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 28. 06. 2007 / В. В. Чермных. Киров: Вятский государственный гуманитарный университет, 2007. — 234 с.

33. Широков, Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций Текст] / Д. В. Широков // Вестник ВятГГУ. 2003. — № 8. — С. 137−140.

34. Широков, Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: дис.. .канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 19. 12. 2005 / Д. В. Широков. — Киров: Вятский государственный гуманитарный университет, 2005. — 83 с.

35. Энгелькинг, Р. Общая топология Текст] / Р. Энгелькинг. — М.: Мир, 1986.

36. Acharyya, S. К. Hemirings, congruences and the Stone-Cech compactification Text] /S.K. Acharyya, K.S. Chattopalhyay, G.G. Ray // Simon Stevin. — 1993. T. 67. — P. 21−35.

37. Acharyya, S. K. Hemirings, congruences and the Hewitt realcompactification Text] /S. K. Acharyya, K. S. Chattopalhyay, G. G. Ray // Bull. Belg. Math. Soc. 1995. — T. 2. — № 1. — P. 47−58.

38. Artamonova, I.I. Semirings: sheaves and continuous functions Text]/ 1.1. Artamonova, V. V Chermnykh, A. V. Mikhalev, V. I. Varankina, E. M. Vechtomov // Proceedings of SPB conference. —Sankt-Peterburg. — 1999. P. 23−58.

39. Gillman, L Concerning rings of continious functions Text] / L. Gillman, M. Henriksen // Trans Amer. Math. Soc. 1954. —T. 77. 2. — P. 340 362.

40. Gillman, L. Rings of continious functions in which every finitely generated ideal is principal Text] / L. Gillman, M. Henriksen // Trans Amer. Math. Soc. 1956. — T. 82. — № 2. — P. 366−391.

41. Hutchins H.J. Homomorphisms and kernels of semifields Text] / H. J. Hutchins, H. J. Weinert // Periodica Mathematica. — 1990. — V 5. — № 2. P. 113−152.

42. Gillman, L. Rings of continuous functions Text] / L. Gillman, M. Jerison. — N.Y.: Springer-Verlag, 1976. 300 p.

43. Golan, J. S. Semirings and their applications Text] / J. S. Golan. — Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999. — 381 p.

44. Hewitt, E. Rings of real-valued continuous functions Text] / E. Hewitt // Trans. Amer. Math. Soc. — 1948. — T. 64. — № 1. — P. 45−99.

45. Kaplanskiy, I. Topological rings Text] / I. Kaplanskiy // Amer. J. Math. — 1947. V. 69. — P. 153−183.

46. Pierce, R. S Rings of integer-valued continuous functions Text] / R. S. Pierce // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. — T. 100. — № 3. — P. 371 394.

47. Slowikowski, W. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand Text] / W. Slowikowski, A. Zawadowsci // Fund. Math. — 1955. -T. 42. 2. P. 215−231.

48. Stone, M. Applications of the theory of boolean rings to general topology Text] / M. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. — 1937. — T. 41. № 3.-P. 375−481.

49. Vandiver, H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition docs not hold Text] / H. S. Vandiver // Bull. Amer. Math. Soc. — 1954. V. 40. — P. 914−920.

50. Vechtomov, E.M. Rings and sheaves Text] / E.M. Vechtomov //J. Math. Sciences (USA). 1995. -V. 74. — № 1. — P. 749−798.

51. Vechtomov, E. M. Rings of continuous functions with values in topological division ring Text] / E. M. Vechtomov // J. Math. Sciences (USA). —1996. — V. 78. № 6. — P. 702−753.Публикации автора по теме диссертации.

52. Вечтомов, Е. М. Решетки конгруэнций на полукольцах непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Международная конференция «Алгебра и ее приложения», Красноярск, Сибирский федеральный Университет. — 2007. — С. 31−32.

53. Вечтомов, Е. М. Главные ядра полуполей непрерывных положительных функций Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Фундаментальная и прикладная математика, — 2008. — Т. 14. — Вып. 4. — С. 87−107.

54. Вечтомов, Е. М. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций и Р-проетранства Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. — 2008. — № 8. — С. 15−26.

55. Вечтомов, Е. М. О продолжении копгруэнций на полукольцах непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Математические заметки. 2009. — Т. 85 —Вып. 6. — С. 803−816.

56. Вечтомов, Е. М. Псевдодополнения в решетке конгруэнций полуколец непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. — 2009. — № 9. — С. 3−17.

57. Чупраков, Д. В. О главных ядрах полуполей непрерывных функций Текст] / Д. В. Чупраков // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики. Международная научная конференция. Тамбов — 2008. — С. 33−36.

58. Чупраков, Д. В. О максимальных конгруэнциях на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением Текст] / Д. В. Чупраков // Математический вестник педвузов и. университетов Волго-Вятского региона. — 2008. — Вып. 10. — С. 99−110.

59. Чупраков, Д. В. О ретрактах решеток полуколец непрерывных функдий Текст. / Д. В. Чуираков // Материалы VI молодежной школы-конференция «Лобачевские чтения» — Казань: КГУ, 2008. — С. 241−243.

60. Чупраков, Д. В. Дополнения конгруэнции в полукольцах непрерывных функций Текст] / Д. В. Чупраков // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2009. — Вып. 11. — С. 122 127.

61. Чупраков, Д. В. Условия дистрибутивности решеток конгруэнций полуколец непрерывных функций Текст] / Д. В. Чупраков // Вестник Удмуртского университета, математика. Механника. Компьютерные науки. 2009. — № 3. — С. 128−134.