Инфракрасно безопасные наблюдаемые в N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса

В последнее десятилетие был достигнут значительный прогресс в понимании структуры максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса (в дальнейшем, иногда, для краткости мы б}-дем использовать сокращение N = 4 БУМ). Этот прогресс связан, в той или иной степени, с выдвинутой в 1998 г. Х. Малдаценой [1], А. Поляковым и Э. Виттсном [2] гипотезой о дуальности теории струн типа ПВ на фоне пространства Ав. Бг, х ?5 и теории N — 4 БУМ живущей на границе Ad. Sc, получившей название Ас1Б/СРТ соответствия. В дальнейшем эта гипотеза получила обобщения на бэкграунды обладающие меньшей суперспмметрией, в частности, было установлено аналогичное соответствие для /3-деформированной [3, 4] М — 4 БУМ теории и теории струн на фоне пространства АйБ^ х 65 (65 — некоторое многообразие топологически эквивалентное сфере). Аналогичные попытки [5, 6] были предприняты и для более общей деформации Ли-Страслера (в дальнейшем для краткости будет использоваться сокращение ЬБ-деформация) N = 4 БУМ теории, хотя в настоящий момент точное дуальное описание в терминах какой либо теории струн остается неизвестным.

Для самосогласованности исходной Ас1Б/СРТ гипотезы и ее обобщении [1, 2, 3] необходимо, чтобы соответствующие теории поля обладали (супер)конформной инвариантностью. Необходимым условием этого является отсутствие конформной аномалии [7|, что, в свою очередь, означает равенство 0 бета функций теории [8]. Равенство 0 бета функции тесно связано со свойством ультрафиолетовой (1ГУ) конечности теории, т. е. тривиальности всех констант перенормировки [8]. В случае Л/* = 4 БУМ ее ультрафиолетовая конечность и (супер)конформная инвариантность была доказана в серии работ [9, 10]. В случае калибровочных теорий, обладающих меньшей чем Л/" = 4 БУМ суперсимметрией, вопрос о (супер)конформной инвариантности и конечности является до настоящего времени предметом интенсивного исследования [11], [12], несмотря на то, что был сформулирован ряд достаточно общих утверждений [13, 14, 15, 7] о возможности построения конформно инвариантных и конечных калибровочных теорий, обладающих меньшей чем N = 4 БУМ суперсимметрией.

Синтез методов теории струн и КТП мотивированный гипотезой Ас1Б/СРТ соответствия позволил получить ряд крайне нетривиальных, непертурбативных результатов как для Л/* = 4 БУМ так и, вообще говоря, для других четырехмерных калибровочных суперсиммегричных теорий: ожидается, что в планарном пределе1 М = 4 БУМ будет интегрируемой и ее возможное решение станет примером решения первой нетривиальной КТП в четырехмерном пространстве времени [16]. Сами.

1Под планариым пределом понимается случай когда калибровочная константа связи ц -4 0, ранг калибровочной группы Агс —"¦ оо, так, что т’Хофтовская константа связи Л = д2Мс остается фиксированной. термины «точное решенне» и «интегрируемость» понимаетются в зависимости от контекста по-разному и поэтому требует уточнения.

В одном из возможных вариантов под «решением теории «понимается нахождение всего спектра аномальных размерностей {До} локальных операторов О, который определяет свойства их корреляционных функций. Локальные операторы О, а точнее спектр их аномальных размерностей {До}! находились в центре внимания с момента открытия Ас1Б /СРТ соответствия и в задаче о вычислении спектра аномальных размерностей {До} были достигнуты большие успехи. В режиме слабой связи эти успехи [17, 16] были достигнуты, частично методами теории поля, частично методами развитыми в теории интегрируемых систем. В режиме сильной связи использовались методы теории струн [18, 19] и теории интегрируемых систем, где аномальные размерности вычислялись как квазиклассические уровни энергии струны в распространяющейся в геометрии А<18 $ х 65. Результаты этих вычислений хорошо согласуются друг с другом и позволили в конечном итоге сформулировать сначала интегральные уравнения на некоторые из аномальных размерностей, а затем позволили предположить вид системы функциональных уравнений (У-система) которая, как предполагается, определит весь спектр аномальных размерностей всех локальных операторов в N = 4 БУМ [20]. Ожидается, что /3 и ЬЭ деформации Л/* = 4 БУМ так-же будут точно решаемыми в указанном смысле, по крайней мерс, для определенных значений параметров деформации.

Точное решение" может пониматься так-же и в другом, непосредственно не связанным с предыдущем обсуждением, смысле, а именно, под «точным решением» может пониматься нахождение всех амплитуд теории (ее Б-матрицы [16]). В последнее десятилетие был так-же достигнут большой прогресс, во многом тоже мотивированный гипотезой Ас18/СРТ соответствия, в понимании структуры амплитуд в калибровочных теориях с расширенной суперсимметрией [17, 21], таких как Л/" = 4 БУМ и N = 8 супергравитация. В частности, благодаря использованию, техники унитарных разрезов [22, 23, 24] стали доступны 3−4 и 5 петлевые результаты для 4 точечных амплитуд в N = 4 ЭУМ в планарном пределе [17]. Отметим так же, что благодаря использованию идеологически близких методов, таких как рекуррентные соотношения и разложение по МНУ вертексам, удалось вычислить все древестные амплитуды в ЛГ = 4 БУМ, так что можно считать, что древестная Э-матрица теории известна. Применение же техники унитарных разрезов к амплитудам в А' = 8 супергравитации сделало возможным вычисление 3 петлевых 4 точечных амплитуд [21, 25, 26]. Заметим, что все эти результаты было бы затруднительно получить используя обычную диаграмную технику (как компонентную, так и доступную на сегодняшний момент суперполевую) в связи с чрезвычайной сложностью таких вычислений связанную, в частности, с факотриальным ростом числа диаграмм с ростом порядка теории возмущений (ТВ) или числа внешних импульсов. Эти результаты позволили вновь поднять вопрос о возможной ультрафиолетовой конечности N = 8 супергравитации [25, 26].

Ответы для амплитуд, получаемые с помощью техники унитарных разрезов для фиксированного порядка ТВ, записываются в виде суммы базисных скалярных интегралов, определенных в произвольной размерности пространства времени ?), с определенными коэффициентами, зависящими от кинематических инвариантов внешних импульсов. Анализ свойств этих ответов позволил пронаблюдать новые неожиданные и нетривиальные свойства амплитуд. Рассмотрим эти свойства подробнее.

1. J.M. Maldacena, The Large N limit of superconformai field theories and supergravity, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998) 231- 1.t.J.Theor.Pliys. 38 (1999) 1131.

2. D.Z.Freedman and U. Gursoy, Comments on the beta-deformed Af = 4 SYM theory, JHEP 0511 (2005) 042, hep-th/506 128.

3. M. Kulaxizi, Marginal Deformations of M = 4 SYM and Open vs. Closed String Parameters, hep-th/612 160, hep-th/610 310.

4. R.G. Leigh and M.J. Strassler, Exactly marginal operators and duality in four-dimensional Af = 1 supersymmetrie gauge theory, Nucl.Phys. B447 (1995) 95.

5. M.K. Sohnius, P.C. West Conformai invariance inAf = A supersymmetrie Yang-Mils theory Nucl.Phys. B100 (1981) 245.

6. F. Elmetti, A. Mauri, M. Pin one, Conformal invariance and finiteness theorems for non-planar beta-deformed Я = 4 SYM theory, arXiv:0710.4864 hep-th].

7. A J. Parkes, Three Loop Finiteness Conditions In Я = 1 Superyang-Mills, Phys.Lett.B156 (1985) 73- A.J.Parkes and P.C.West, Finiteness in Rigid Supersymmetric Theories, Nucl.Phys. B256 (1985) 340.

8. I. Jack, D. R T. Jones and C.G.North, Я = 1 svpersymmetry and the three loop anomalous dimension for the chiral superfield., Nucl.Phys. B473 (1996) 308.

9. D.I. Kazakov, Finite Я — 1 Susy Field Theories And Dimensional Regularization, Phys.Lett. B179 (1986) 352- Mod.Phys.Lett. A2 (1987) 663.

10. N. Beisert, On Yangian Symmetry in Planar jf — 4 SYM, arXiv:1004.5423v2 [hep-th]].

11. S.S. Gubser, I.R. Klebanov and A.M. Polyalcov, A semi-classical limit of the gauge/string correspondence, Nucl. Phys. В 636 (2002) 99, arXiv: hep-th/204 051].

12. S. Frolov and A.A. Tseytlin, Semiclassical quantization of rotating superstring in AdS5 x 5s, JHEP 0206 (2002) 007, arXiv: hep-th/204 226].

13. A. Kuniba, T. Nakanishi, J. Suzuki T-systems and Y-systems in integrable systems, arXiv: 1010.1344vl hep-th].

14. Z. Bern, L. J. Dixon, M. Perelstein and J. S. Rozowsky, Multi-leg one-loop gravity amplitudes from gauge theory, Nucl. Phys. В 546, 423 (1999) arXiv: hep-th/9 811 140].

15. Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar and D. A. Kosower, One-Loop n-Point Gauge Theory Amplitudes, Unitarity and Collinear Limits, Nucl. Phys. В 425 (1994) 217, arXiv: hep-ph/9 403 226].

16. Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar and D. A. Kosower, Fusing gauge theory tree amplitudes into loop amplitudes, Nucl. Phys. В 435 (1995) 59, arXiv: hep-ph/9 409 265].

17. Z. Bern, L. J. Dixon and D. A. Kosower, Progress in one-loop QCD computations, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 46 (199C) 109, arXiv: hep-ph/9C02280].

18. Z. Bern, Lance J. Dixon, R. Roiban, Is Jf = 8 supergravity ultraviolet finite?, Phys. Lett. B644 (2007) 265−271, hep-th/611 086],.

19. Z. Bern, J.J.M. Carrasco, H. Johansson, Progress on Ultraviolet Finiteness of Supergravity, arXiv:0902.37G5 [hep-thj].

20. S. J. Parke and T. R. Taylor, An Amplitude for n Glvon Scattering, Phys. Rev. Lett. 56(1986) 2459-F. A. Berends and W. T. Giele, Recursive Calcidations for Processes with n Gluons, Nucl. Phys. B 306 (1988) 759.

21. C. Anastasiou, Z. Bern, L. J. Dixon and D. A. Kosower, Planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 251 602, arXiv. hep-th/309 040],.

22. Z. Bern, L. J. Dixon and V. A. Smirnov, Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond, Phys. Rev. D 72 (2005) 85 001, arXiv: hep-th/505 205].

23. Magnea and G. Sterman, Analytic continuation of the Sudakov form-factor in QCD, Phys. Rev. D 42 (1990) 4222-G. P. Korchemsky, Sudakov Form-Factor In QCD, Phys. Lett. B 220 (1989) 629.

24. R. Roiban and A. A. Tseytlin, Strong-coupling expansion of cusp anomaly from quantum superstring, JHEP 0711 (2007) 016, arXiv:0709.0681 [hep-th]].

25. B. Eden and M. Staudacher, Integrability and transcendentahty, J. Stat. Mech. 0611 (2006) P014, arXiv: hep-th/603 157]. N. Beisert, B. Eden and M. Staudacher, Transcendentality and crossing, J. Stat. Mech. 0701 (2007) P021, arXiv: hep-th/610 251.

26. B. Basso, G. P. Korchemsky, J. Kotanski, Cusp anomalous dimension in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at strong coupling, Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 91 601, arXiv:0708.3933 [hep-t, h]].

27. F. Cachazo, M. Spradlin and A. Volovich, Four-Loop Collinear Anomalous Dimension inM = 4 Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D 76, 106 004 (2007) arXiv:0707.1903 [hep-th]].

28. M. Spradlin, A. Volovich and C. Wen, Three-Loop Leading Singularities and BDS Ansatz for Five Particles, Phj’s. Rev. D 78, 85 025 (2008) arXiv:0808.1054 [hep-th]].

29. L. F. Alday and J. Maldacena, Comments on gluon scattering amplitudes via AdS/CFT, JHEP 0711 (2007) 068, arXiv:0710.1060 [hep-th]].

30. L. F. Alday and J. M. Maldacena, Gluon scattering amplitudes at strong coupling, JHEP 0706 (2007) 064, arXiv:0705.0303 [liep-th]].

31. J. M. Drummond, G. P. Korchemsky and E. Sokatchev, Conform. al properties of four-gluon planar amplitudes and Wilson loops, Nucl. Phys. B 795 (2008) 385 arXiv:0707.0243 [hep-th]].

32. L. F. Alday, R. Roiban Scattering Amplitudes, Wilson Loops and the String/Gauge Theory Correspondence, Phys. Rept. 468 (2008) 153.

33. J. M. Drummond, J. M. Henn and J. Plefka, Yangian symmetry of scattering amplitudes in fS = 4 super Yang-Mills theory, arXiv:0902.2987 [hep-th]].

34. T. Kinoshita, Mass singularities of Feynman amplitudes, J. Math.Phys. 3 (1962) 650- T. D. Lee, M. Nauenberg, Degenerate Systems and Mass Singularities, Phys. Rev. 133 (1964) B1549.

35. S. Weinberg, Infrared photons and gravitons, Phys. Rev. 140 (1965) B516.

36. N. A. Sveshnikov and F. V. Tkachov, Jets and quantum field theory, Phys. Lett. B 382 (1996) 403, (arXiv:hep-ph/9 512 370]. M. Testa, Exploring the light-cone through semi-inclusive hadronic distributions, JHEP 9809 (1998) 006, arXiv: hep-ph/9 807 204.

37. D. M. Hofman and J. Maldacena, Conformal collider physics: Energy and charge correlations, JHEP 0805 (2008) 012, arXiv:0803.1467 [hep-th]].

38. W. L. van Neerven, Infrared Behavior Of On-Shell Form-Factors In A Af = 4 Supersymmetric Yang-Mills Field Theory, Z. Phys. C 30 (1986) 595.

39. S. D. Ellis, Z. Kunszt, D. E. Soper, The One Jet Inclusive Cross-Section at a3: Gluons Only. Phys. Rev. D 40 (1989) 2188.

40. S. D. Ellis, Z. Kunszt, D. E. Soper, The one-jet inclusive cross-section at order a^: Quarks and gluons. Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 2121.

41. Z. Kunszt, D. E. Soper, Calculation of jet cross-sections in hadron collisions at order a3s, Phys. Rev. D 46 (1992) 192.

42. S. Frixione, Z. Kunszt, A. Signer, Three-jet cross sections to next-to-leading order, Nucl. Phys. B 467 (1996) 399, hep-ph/9 703 305].

43. S. Catani, M. H. Seymour," A General algorithm for calculating jet cross-sections in NLO QCD, Nucl. Phys. B485 (1997) 291, hep-ph/9 605 323].

44. V. N. Gribov and L. N. Lipatov, Deep Inelastic E P Scattering In Perturbation Theory, Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438- Yad. Fiz. 15 (1972) 781].

45. G. Altarelli and G. Parisi, Asymptotic Freedom In Parton Language, Nucl. Phys. B 126 (1977) 298.

46. T. Muta, «Foundations Of Quantum Chromodynamics: An Introduction To Perturbative Methods In Gauge Theories/' World Sci. Lect. Notes Phys. 5 (1987) 1.

47. G. Altarelli, R. K. Ellis and G. Martinelli, Large Perturbative Correcticms To The Drell-Yan Process In QCD, Nucl. Phys. B 157 (1979) 461.

48. Z. Bern, D. A. Ivosower, The Computation of loop amplitudes in gauge theories, Nucl. Phys. B 379 (1992) 451,.

49. M. L. Mangano and S. J. Parke, Multiparton amplitudes in gauge theories, Phys. Rept. 200, 301 (1991), arXiv: hcp-th/509 223],.

50. A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, On the highest transcendentality in Af — 4 SUSY, Nucl. Phys. B 769 (2007) 217, arXiv: hep-th/611 204].

51. Z. Kunszt, A. Signer and Z. Trocsanyi, One Loop Helicity Amplitudes For All 2 —" 2 Processes In QCD And N = 1 Supersymmetric Yang-Mills Theory, Nucl. Phys. B 411 (1994) 397, arXiv: hep-ph/9 305 239],.

52. L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhiboedov, Infrared Finite Observables in Af = 8 Supergravity, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, to appear 273 (2011), arXiv: 1008.2302 hep-th],.

53. L. J. Dixon, Calculating scattering amplitudes efficiently, arXiv: hep-ph/'9 601 359].

54. Z. Bern, J. J. Carrasco, L. J. Dixon, H. Johansson, D. A. Kosower and R. Roiban, Three-Loop Superfiniteness of A' = 8 Supergravity, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 161 303, arXiv: hep-th/702 112].

55. L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhiboedov, Infrared Safe Observables in Af = 4 Super Yang-Mills Theory, Phys. Lett. B 681 (2009) 296, arXiv:0908.0387 [hep-th]].

56. L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhiboedov, Construction of Infrared Finite Observables in Af = 4 Super Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D 81 (2010) 105 028, arXiv:0911.1617 hep-th],.

57. M.T. Grisaru and W. Siegel, Supergraphity. 2. Manifestly Covariant Rules and Higher Loop Finiteness, NucI.Phys. B201 (1982) 292.

58. M.T. Grisaru, B. Milewski and D. Zanon, The Structure Of Uv Divergences In Ssym Theories, Phys.Lett. B155 (1985) 357.

59. W. Siegel, Supersymmetric Dimensional Regularization via Dimensional Reduction, Phys.Lett. B84 (1079) 193.

60. L.V. Avdeev and A.A. Vladimirov, Dimensional Regularization And Super symmetry, Nucl.Phys. B219 (1983) 262.

61. D.I.Kazakov and L.V.Bork, Conformal invariance = finiteness and beta deformed N = 4 SYM theory, JHEP 0708 (2007) 071, arXiv:0706.4245.

62. L.V. Bork, D.I. Kazakov, G.S. Vartanov, A.V. Zhiboedov, Conformal Invariance in the Leigh-Strassler deform, ed Af = 4 SYM Theory JHEP 0804 (2008) 003, arXiv:0712.4132.

63. A.F.Ferrari http://fma.if.usp.br/ alysson/SusyMath76. http://www.feyncalc.org/.

64. David Berenstein, Vishnu Jejjala, Robert G. Leigh, Marginal and relevant deformations of A/" = 4 field theories and noncommutative moduli spaces of vacua, Nucl.Phys. B589 (2000) 196−248, hep-th/5087vl.

65. P.H.Ginsparg and S.L.Glashow, Top Quark Mass and Bottom Quark Decay, Phys.Rev.Lett. 50 (1983) 1415;

66. L. Chau and W-Y.Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix, Phys.Rev.Lett. 53 (1984) 1802.

67. D. Bundzik, T. Mansson, The General Leigh-Strassler deformation and integrability, JHEP 0601 (2006) 116, hep-th/51 2093v2-T. Mansson, The Leigh-Strassler Deformation and the Quest for Integrability, JHEP 06 (2007) 010, hep-th/70 3150v2.

68. N. Arkani-Hamed, F. Cachazo, J. Kaplan, What is the Simplest Quantum Field Theory?, arXiv:0808.1446 [hep-th]].

69. Z. Xu, D. H. Zhang and L. Chang, Helicity Amplitudes for Multiple Bremsstrahlung in Massless Nonabelian Gauge Theories, Nucl. Phys. B 291 (1987) 392.

70. J. F. Gunion and Z. Kunszt, Improved Analytic Techniques For Tree Graph Calculations And The G G Q Anti-Q Lepton Anti-Lepton Subprocess, Phys. Lett. B 161 (1985) 333.

71. V. P. Nair, A current algebra for some gauge theory amplitudes, Phys. Lett. B 214 (1988) 215.