Потенциалы нулевого радиуса и цели нулевой ширины в резонансном рассеянии

Задачи рассеяния, как классические, так и квантовомехани-ческие, обычно трудны и не допускают точного решения. Поэтому представляет интерес рассмотрение явно решаемых моделей соответствующих процессов. В тридцатых годах Э. Ферми ввел потенциалы нулевого радиуса [28, 293, которые позволили точно решить ряд физических задач. Но интенсивное применение метода потенциалов нулевого радиуса началось в шестидесятых годах. В 1975 г. вышла монография Ю. Н. Демкова, В. Н. Островского 193, в которой сведаны воедино различные приложения указанного метода к задачам атомной физики, известные к середине семидесятых годов. Там же сформулирован ряд новых задач, из которых к настоящему времени решена только часть.

Введение

потенциала нулевого радиуса сводится к заданию граничного условия" на волновую функцию в точке: где. Ъ — расстояние от «центра потенциальной ямы» — точки, где находится потенциал нулевого радиуса, ¿->С — вещественное число. В 1961 г. Ф. А. Березин и Л. Д. Фаддеев [37 показали, что с математической точки зрения задание логарифмической производной определяет самосопряженное расширение некоторого симметрического оператора.

В конце семидесятых годов появились работы А. С. Благовещенского, К. К. Лаврентьева, Я. В. Курылева [6, 1П о «граничном» условии на кривой для трехмерного оператора Лапласа где >Р — расстояние до кривой, И) — некоторая вещественная функция на этой кривой, которое приводит к построению самосопряженного расширения некоторого симметрического оператора в.

1-г (*ъ).

Дальнейшееразвитие указанного метода в данном направлении связано с работами Б. С. Павлова, М. Д. Фадцеева и автора [17, 18, 19, 21, 221, Исходным пунктом при этом является то, что исследование процесса рассеяния в простых областях может быть продвинуто достаточно далеко, а затем средствами теории расширении операторов строится модель, в которой данные области соединены каналом связи. Полученные данным образом задачи решаются «точно» в терминах уже построенных решений частичных задач. С другой стороны данные решения служат достаточно хорошим приближением для решения реальных задач, причем они обладают важным свойством: будучи сами решениями идеализированной задачи, они аналитичны по спектральному параметру в естественных областях. Более того, 2 -матрица в идеализированной задаче обладает свойством унитарности. Таким образом, данные приближения наиболее «физичны», ибо обладают такими же свойствами аналитичности и унитарности, как и решения полной задачи. В 1191 рассмотрены модели с оператором с конечным индексом дефекта. Мы далее исследуем случаи, в которых индекс дефекта бесконечен. Так мы рассматриваем модель резонатора, соединенного с окружающим пространством через узкую щель.

Опишем, каким образом вводится понятиематрицы в подходе л.

ЛаксаФиллипса применительно к нашей ситуации. Пусть С, 2- ограниченная область в с гладкой границей,? — некоторая кривая на 9. рассмотрим оператор

•о.

Де*) в ^(П^Ф Пех), где — операторы.

Лапласа в с условием Неймана на, на множестве гладких функций, обращающихся в нуль на. Для данного симметрического оператора можно построить самосопряженное расширение ~ А, которое и задает нашу модель. Теперь рассмотрим уравнение где Л — построенное расширение. Действуя в духе теории Лакса-Филлипса С123, введем в энергетическом пространстве данных Коши (Ы} Ы^) =¦ (м0 ^ ?/^ =. % с нормой унитарную группу разрешающих операторов — (Ы0(о)} ^^(о)).

Ы0 (-Ь)}. Эта группа обладает ортогональными приходящими и уходящими подпространствами 3) ±, состоящими из данных Коши решений, равных нулю в усеченных световых конусах будущего и прошлого: причем шар? с й & содержит. Рассмотрим операторы РК а.

Они образуют сильно непрерывную сжимающую полугруппу. Ее генератор в*, -ВХр ((- Ь^'Ь), является максимальным дисси-пативным оператором, характеристическая функция которого совпадает с точностью до множителя ехр ка) с матрицей рассеяния оператора Л. Корни субоператора рассеяния (физические резонансы) совпадают с комплексными нулями характеристической функциисобственными числами оператора Ва .

Построенная модель позволяет, в сущности, свести вычисление резонансов к отысканию корней скалярной аналитической функции. Следует заметить, что дяя резонаторов со щелями конечной ширины задача нахождения резонансов или их мнимых частей, которые характеризуют времена жизни, чрезвычайно трудна (см. [7, 27]). Наша модель позволяет строить точные решения идеализированной задачи рассеяния в тех случаях, когда задача в Ь I и ъс без щели допускает разделение переменных. Заметим, что если ъI и ьс соединены щелыо конечной ширины, то задача уже разделения переменных, вообще говоря, не допускает.

Перейдем к краткому изложению содержания работы. В первой главе с помощью теории расширений построена модельная задача рассеяния и рассмотрен ряд конкретных случаев.

Первый параграф содержит описание построения самосопряженных расширений, приведена классификация «локальных» расширений. В следующем параграфе мы переходим к разысканию решения задачи.рассеяния. Оно имеет вид:

Г Г сС1п ($)^, ~ еЯ^.

— с.ио.х ¡-у, где Ь ^ - функции Грина задач Неймана в ьг, решение «невозмущенной» (без щели) задачи рассеяния в, ¿-у), — некоторые функции, для которых выведено интегральное уравнение. Хотя это уравнение в общем виде решить не удается, для большого числа интересных, частных случаев можно построить его явные решения.

Так, в третьем параграфе рассмотрены задачи, в которых областиГ2ОУ1>ограничены плоскостями, а дС — прямая: два полупространства, разделенные плоскостью со щелью (соответствующая задача со щелью конечной ширины также допускает явное решение, что позволяет в дальнейшем (глава 2) научиться правильным образом выбирать подходящее расширение), два двугранных утла с общей гранью, два соединенных щелыо плоских волновода, два полупространства, разделенных плоскостью с системой параллельных щелей.

В четвертом параграфе разобраны задачи о цилиндрических и сферических областях: цилиндр с продольной и поперечной щелями, сфера, рассеченная плоскостью. Соответствующие задачи со щелями конечной ширины уже не допускают явного решения. Поэтому здесь проведено сравнение качественных выводов из модели с приближенными результатами, полученными в реальных физических задачах С263. В пятом параграфе на примере сферы со щелью показано, как находить приближенные значения резонансов. Шестой параграф посвящен рассмотрению бегущих волн в кольцевом резонаторе.

Важным является вопрос о реальности построенной модели, который разбирается во второй главе. В первом параграфе построено семейство «реальных» задач дифракции на областях с малыми, но конечными отверстиями, решения которых при ширине щели стремя с) щейся к нулю переходят в решения, полученные в рамках нашей модели. Задачи, о которых идет речь, сами по себе решаются методами теории расширений и представляют собой задачи об областях с «излучающими» кромками. Реальные объекты такого сорта могут быть получены путем локализации на контуре отверстия достаточно сильного тока.

Решения обычных задач дифракции (с «неизлучаадими» кромками) в пределе при стремлении к нулю ширины щели переходят в решения соответствующих задач дифракции на замкнутом теле. Связь решений задачи со щелью конечной ширины (или отверстием конечного диаметра) с описанной моделью установлена во втором параграфе. Выяснен физическийсмысл параметров расширения.

В третьем параграфе на конкретных примерах разобран вопрос о выборе параметра расширения, при котором наша модель дает приближенное с точностью до О (Ы), где .

В третьей главе исследуется задача о структуре резонансов при рассеянии на системе потенциалов нулевого радиуса.

В первом параграфе построены расширения оператора, связанного с системой, состоящей из У) потенциалов нулевого радиуса. Следующий параграф посвящен вычислению амплитуды рассеяния и исследованию ее поведения в комплексной плоскости спектрального параметра, проведено сравнение с результатом [311, полученным для глад, кого рассеивателя.

В третьем параграфе выяснена серийная структура резонансов для данной задачи. Приближенно вычислены вещественные и мнимые части резонансов в случае двух и трех центров, четырех центров в одной плоскости, центров в вершинах правильного тетраэдра, центров на одной прямой.

В четвертом параграфе рассматривается поведение корневых векторов, то есть нетривиальных решений уравнения -0, где к — резонанс, § (к) — матрица рассеяния, преобразованная путем умножения слева и справа на некоторые операторы с тривиальным ядром. Здесь рассмотрены случаи двух и трех центров.

Результаты диссертации докладывались на 4 школе по теории операторов в функциональных пространствах в Минске в 1978 г., на Всесоюзной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» в Черноголовке в 1383 г., на заседании Харьковского Математического Общества в 1984 г., на семинарах в Ленинградском университете в 1980, 1982 гг., на «Дне Дифракции» в ЛГУ в 1984 г., на научных конференциях в Ленинградском институте точной механики и оптики в 1979, 1980, 1983 гг. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17, 18, 20, 21].

Автор искренне благодарен Борису Сергеевичу Павлову за руководство работой.

Автор признателен М. Д. Фадцееву за полезные обсуждения, В. Ф. Лазуткину за указание на идею примера в § 3 главы 2, В. Ю. Готлибу, Н. Я. Кирпичниковой и другим сотрудникам лаборатории В. М. Бабича ЛОМИ, В. А. Марченко, Л. А. Пастуру, Ф.с.Рофе-Бекетову и другим участникам семинара кафедры вычислительной математики Харьковского университета за ценные обсуждения. т9.

X ь^.

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, т. 2Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1978, 380 с.

2. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн.- М.: Наука, 1972, 456 с.

3. Березин Ф. А., Фадцеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредин-гера с сингулярным потенциалом.- Докл. АН СССР, 1961, т. 137, J& 5, с. I0II- 1014.

4. Берхин П. Е. К задаче дифракции на тонком экране.- Сиб. мат. журнал, 1984, т. 25, $ I, с. 39- 52.

5. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980, 264 с.

6. Благовещенский A.C., Лаврентьев К. К. Трехмерный оператор Лапласа с граничным условием на оси.- Вестн. Ленингр. ун-та, 1977, & I, с. 9- 15.

7. Войтович H.H., Каценеленбаум Б. З., Сивов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции.- М.: Наука, 1977, 416 с.

8. Готлиб В. Ю. 0 рэлеевской асимптотике дифракционных задач.-В кн.: Математические вопросы теории распространения волн. 8. Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1976, т. 62, с. 52- 59.

9. Демков Ю. Н., Островский В.II. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике.- Л.: йзд-во Ленингр. ун-та, 1575, 240 с.

10. Гцданович В. Ф. Формулы для нулей полиномов Дирихле и квазиполиномов, — Докл. АН СССР, I960, т. 135, ^ 5, с. 1046−1049.

11. Курылев Я. В. О граничных условиях на кривой для трехмерного оператора Лапласа.- Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1978, т. 78, с. 112- 127.

12. Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния.- М.: Мир, 1971, 312 с.

13. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. I.-М.: Изд-во иностранной литературы, 1958, 930 с.

14. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. 2.-М.: Изд-во иностранной литературы, I960, 896 с.

15. Павлов Б. С. Спектральный анализ дифференциального оператора с «размазанным» граничным условием.- В кн.: Теория функций. Спектральная теория. Распространение волн. (Проблемы математической физики, вып. 6), Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1973, с. 101- 118.

16. Павлов Б. С. Условия аналитичности парциальной матрицы рассеяния.- В кн.: Спектральная теория. Волновые процессы. (Проблемы математической физики, вып. 10), Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982, с. 183- 208.

17. Павлов Б. С., Попов И. Ю. Модель дифракции на бесконечно узкой щели и теория расширений.- Вестн. Ленингр. ун-та, 1983, 19, с. 36- 44.

18. Павлов Б. С., Попов И. Ю. Рассеяние на резонаторах с малым и с точечным отверстиями.- Вестн. Ленингр. ун-та, 1984, В 13, с. 116- 118.

19. Павлов E.G., Фаддеев М. Д. О рассеянии на полом резонаторе с малым отверстием.- Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, IS83, т. 126, с. 159- 169.

20. Попов И. Ю. О серийной структуре резонансов для рассеяния на потенциалах нулевого радиуса.- В кн.: Спектральная теория. Волновые процессы. (Проблемы математической физики, вып. 10), Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982, с. 241- 252.

21. Попов И. Ю. Применение теории расширений к исследованию дифракции на цилиндрических и сферических щелевых резонаторах.- Вестн. Ленингр. ун-та, 1984, № 16, с. 79- 83.

22. Фаддеев М. Д. Асимптотика функции Грина задачи Неймана вблизи Точки границы.- Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1983, т. 131, с. 142- 147.

23. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн, т. 2.-М.: Мир, 1978, 556 с.

24. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции.- М.: Мир, 1964, 428 с.

25. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными.- М.: Мир, 1965, 380 с.

26. Шестопалов В. П. Метод задачи РиманаГильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн.-Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1971, 400 с.

27. B aaie XT. Scatteringr fre^uemc res of yeso nabobs. Comm. Pure CtppL.

28. Fermi E. Sorpa lo spostcuwento per pressioriQ olelie. riqhe eiavate. deiie. Serie spe. tt ra hNuoyo Cz/n.} 19V. 11, p. 15 7−166.

29. Fermi E. Sud Moto de. i neottr&ftl r^die. sostanze. idro c/ehateRic. Sci. ji93e} V. 7, p. 13−52.

30. Horn Cf. Verwaholumg asytoptotische r Durste lluyqe. W z ur Utftersuchunq der mteypaie. airer specie dien Imear&wDifferentzaiq ie-ickutnq. ErMath. 1897} p. tyS3 M96.

31. Lax P.O., Phi? hps R. S. The scattering of sound waves by ah obstcx c Comm. Pure Ctppi, Matk., 1977, v. 3 0, p. 195 233.