B-гиперсингулярные интегралы и их приложения к описанию весовых функциональных классов дробной гладкости

Актуальность темы

диссертации.

Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И. А. Киприянову [5]. Термин «В-производная» и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом (см. [13]) в первой половине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.

Разностная регуляризация расходящихся интегралов для описания бесселевых потенциалов была применена И. М. Стейном [41] в частном случае 0 < а < 2, где, а — порядок потенциала, и П. И. Лизоркиным [15]—[18] в общем случае. Им же введены лиувиллевские классы дробной гладкости г, получившиеся как естественное обобщение пространств бесселевых и риссовых потенциалов. Использование классов для описания пространств потенциалов было осуществлено С. Г. Самко [32]—[38].

JI.H. Ляхов ввел разностную регуляризацию весовых расходящихся интегралов (В-гиперсингулярных интегралов), используя сдвиги Ванштейна-Дельсарта (см. [19], [23]). Им же введены пространства В-потенциалов Рисса для случая, когда обобщенный сдвиг действует в Rn по всем переменным и дано описание пространств В-потенциалов Рисса на основе соответствующего класса гиперсингулярных интегралов [24]. Естественным образом возникает проблема использования В-гиперсингулярных интегралов, регуляризация которых основана на применении смешанных обобщенных сдвигов (т. е. когда по части переменных действуют обычные сдвиги, а по другой — обобщенные сдвиги разных весовых индексов), для описания пространств весовых потенциалов Рисса и Бесселя.

Необходимость исследования пространств В-потенциалов Рисса и Бесселя обусловлена также построением основ теории весовой интегральной геометрии на базе преобразования Радона-Киприянова, поскольку именно пространства В-потенциалов оказываются, в некотором смысле, худшими из тех, на которых преобразование Радона-Киприянова обратимо (см. [3]). Поэтому вопрос о распознавании функций из этих пространств является актуальным и эти результаты могут быть использованы в компьютерной томографии осесимметричных объектов.

Изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя в конце ХХ-го и начала XXI-го веков посвящено немало работ, среди которых выделяются работы А. Д. Гаджиева и B.C. Гулиева [46] и их учеников. Однако эти работы, как и работы других авторов, посвященные изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя, не используют схемы Стейна-Лизоркина-Самко (т.е. аппарат дробного В-риссового дифференцирования) по причине малой изученности последних.

Это обусловливает интерес к пространствам дробной В-гладкости L^'", которые включают в себя и пространства В-потенциалов Рисса и пространства В-потенциалов Бесселя, а также к функциональным пространствам Киприянова W^'f. Кроме того, самостоятельный интерес представляет и техника исследования. Поэтому рассмотренные в диссертации вопросы теории пространств дробной В-гладкости актуальны в современных научных исследованиях.

Цель работы. Изучить пространства смешанных В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса, промежуточные между ними пространства лиувиллевского типа дробной В-гладкости, а также пространства И. А. Киприянова. Дать описание пространств В-потенциалов и тем самым установить критерии принадлежности функций пространствам В-потенциалов Рисса и В-потенциалов Бесселя. Установить важнейшие свойства пространств Lfy* и, такие, как теоремы вложения пространств по параметрам г и, а, теоремы о промежуточных производных, критерии принадлежности этим пространствам на основе В-дифференцирования целого порядка.

Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И. А. Киприянова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Научная новизна и значимость полученных результатов.

Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.

1. Введены смешанные усреднения Соболева-Киприянова функций из весовых пространств Лебега LJ, изучены их свойства и доказаны теоремы о плотности некоторых пространств бесконечно дифференцируемых четных функций в пространствах LJ .

2. Определено ядро В-потенциала Бесселя в случае, когда В-потенциал Бесселя определен в виде свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом. Установлена связь В-потенциалов Бесселя с В-потенциалами Рисса.

3. Введены классы функций дробной В-дифференцируемости Щ, а и L^r (построенные по типу лиувиллевских классов функций). Последние совпадают с пространством В-потенциалов Бесселя при р = г и с пространством В-потенциалов Рисса, когда число г равно предельному показателю Соболева в весовых функциональных классах LJ. Получено описание пространств В-потенциалов Бесселя и В-потенциалов Рисса на основе дробного В-дифференцирования, осуществляемого В-гиперсингулярным интегралом смешанного типа.

4. На основе весовых сферических функций введено смешанное В-преобразование Рисса и. квазириссов В-потенциал. Получено представление квазириссовых В-потенциалов в виде суперпозиции В-преобразования Рисса целого порядка т = [си] (или В-дифференцирования целого порядка) и В-потенциала Рисса дробного порядка, а — т .

5. Получены оценки модулей непрерывности для В-потенциалов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математическом анализе, в компьютерной томографии осесимметрических объектов и др.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2004 г., на научной конференции «Герценовские чтения» в С.-Петербурге в 2006 г., на международной школе-коллоквиуме по прикладной и промышленной математике, на 3-й международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л. Д. Кудрявцева, международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина в 2008 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [49]—[56]. В совместных публикациях [49], [50], [52], [53] соавтору принадлежит только постановка задач. Работа [50] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 6 глав и списка цитируемой литературы, включающего 56 наименований. Общий объем диссертации — 121 стр.

1. Гельфанд И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов — М.:ГИФМЛ, 1959. 470 с.

2. Гоц Е. Г. Обобщенные разности и общие В-сингулярные интегралы / Е. Г. Гоц, Л. Н. Ляхов // ДАН. 2005. — Т. 405, N4. — С. 444 -447.

3. Гоц Е. Г. Обращение преобразования Киприянова-Радона посредством дробного дифференцирования Грюнвальда-Летникова-Рисса / Е. Г. Гоц, Л. Н. Ляхов // Доклады Академии Наук. 2007. — Т. 412, N 1, с. 11 — 14.

4. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. — М: ГИФМЛ. 1965. 1100 с.

5. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И. А. Киприянов.— М.: Наука, 1997.-199 с.

6. Киприянов И. А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов / И. А. Киприянов // Тр.МИРАН.— 1967. Т.89, С.130−213.

7. Киприянов И. А. Об ограниченности одного класса сингулярных интегральных операторов / И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев // ДАН 1969. Т. 186, N6. С. 740−743.

8. Киприянов И. А. Оценки поверхностных потенциалов, порожденных обобщенным сдвигом / И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев // ДАН 1969. Т.188, N5. с. 115−118.

9. Киприянов И. А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига / И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев // Сиб.мат.журн.— 1970.— Т.11, N 5.— С.1060−1082.

10. Киприянов И. А. О ядрах Пуассона для краевых задач с дифференциальным оператором Бесселя / И. А. Киприянов, М. И. Ключанцев // Дифференциальные уравнения с частными производными: сб.научн. тр.

11. Киприянов И. А. Об операторе осреднения связанным с обобщенным сдвигом / И. А. Киприянов, Н. А. Кащенко / / Доклады Академии Наук СССР. 1974. — Т.218, N 1. — С. 21−23.

12. Киприянов И. А. Весовые потенциалы Рисса. Сингулярные задачи / И. А. Киприянов // ДАН.- 1998. Т.363, N6. С. 738−740.

13. Левитан Б. М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б. М. Левитан // УМН.- 1951. Т.6, N2. С.102−143.

14. Левитан Б. М. Нормированные кольца, порожденные оператором обобщенного сдвига / Б. М. Левитан // ДАН, 1945 т.47, N1, с. 3−6.

15. Лизоркин П. И. Теоремы вложения для функций из пространства Lrp{En) / П. И. Лизоркин // ДАН.- 1962. Т.143, N5. С.1042−1045.

16. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Lp{En). Теоремы вложения / П. И. Лизоркин // Мат.сб.— 1963. Т.60, N3. С.325−353.

17. Лизоркин П. И. Пространства Lrv. Теоремы продолжения и вложения / П. И. Лизоркин // ДАН, 1965. 145. С. 527−530.

18. Лизоркин П. И. Описание пространства Lrp (Rn) в терминах разностных сингулярных интегралов / П. И. Лизоркин // Мат.сб.— 1970. Т.81, N1. С.79−91.

19. Ляхов Л. Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л. П. Ляхов // ДАН.- 1990. Т.315, N2. С.291−296.

20. Ляхов Л. Н. Обращение В-потенциалов / Л.Н. Ляхов// ДАН.— 1991. Т.321, N3. С. 466−469.

21. Ляхов Л. Н. Мультипликаторы смешанного преобразования Фурье-Бесселя / Л. Н. Ляхов // Тр.МИРАН.— 1996. Т.214. с.234−249.

22. Ляхов Л. Н. В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующимися характеристиками / Л. Н. Ляхов // ДАН, — 1996. Т.350, N6. С.735−738.

23. Ляхов Л. Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Л. Н. Ляхов.— Воронеж: ВГТА, 1997. 144 с.

24. Ляхов Л. Н. О свертывателях и мультипликаторах классов функций, связанных с преобразованием Фурье-Бесселя / Л.Н. Ляхов// ДАН.—1998.— Т. 360, N1- С.16−19.

25. Ляхов Л. Н. Весовые кольца Винера и Тауберова теорема аппроксимации, порожденные обобщенным сдвигом Бесселя / Л. Н. Ляхов // ДАН.- 2001. Т.380, N5. С. 588−590.

26. Ляхов Л. Н. Общие гиперсингулярные интегралы с однородной характеристикой / Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // Доклады Академии Наук. — 2007. Т. 412, N 2, с. 162 — 166.

27. Ляхов Л. Н. Обращение общих В-потенциалов Рисса с однородной характеристикой в весовых классах функций / Л. Н. Ляхов, Э. Л. Шишкина // Доклады Академии Наук. — 2009. — Т. 426, N 4, с. 1 5.

28. Никольский С. М. Приближения функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский М.: Наука. 1977. С. 456.

29. Самко С. Г. О пространствах Риссовых потенциалов / С. Г. Самко // Изв. АН, Сер. мат.- 1976. Т.40, N5. С.1443−1472.

30. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалыих символы и обращение / С. Г. Самко // ДАН.— 1977. Т.232, N3.— С.528−531.

31. Самко С. Г. Пространства Lp^r{Rn) и гиперсингулярные интегралы / С. Г. Самко // Stud.Math.— 1977. Vol.61, N3. Р.193−230.

32. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралыих символы и обращение / С. Г. Самко // Тр.МИАН.— 1980. Т.156.— С.157−222.

33. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения / С. Г. Самко.— Ростов н/д: Изд-во Рост. ун-та, 1984.— 208 с.

34. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко. — Минск: Наука и техника, 1987.— 688 с.

35. Самко С. Г. Описание пространства риссовых потенциалов в терминах старших производных / С. Г. Самко, С. М. Умарходжиев // Изв.вузов.Мат.— 1980. N11. С.79−82.

36. Соболев C.JI. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике / C.JI. Соболев. — ЛГУ. 1950, С. 255.

37. Соболев С. Л.

Введение

в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев — М.: Наука, 1974. — 808 с.

38. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / И. М. Стейнперев. с англ. В. И. Буренкова М.: Мир, 1973. 343 с.

39. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы / X. Трибельперев. с англ. В. И. Буренкова. — М.: Мир, 1980 — 664 с.

40. Чернышев Г. Л. О задаче Коши с сингулярным гиперболическим оператором: Автореф. дис.. канд. физ.-мат.наук: 01.01,02 /Воронежск.госуниверс.— Воронеж, 1973.— 11 с.

41. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдвардепер. с англ. Б. Х. Бермана и И. Б. Раскиной под редакцией В. Я. Лина.- М.: Мир 1960. 1072 с.

42. Calderon А.P. On the existence of certain singular integrals / A.P. Calderon, A. Zygmund // Acta Math. — 1952.— T. 88.— P.85−139.

43. Gadjiev A.D., Guliyev V.S. The Stein-Weiss type inequality for fractional integrals, associated with the Laplace-Bessel differential operator / A.D. Gadjiev, V.S. Guliyev // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2008. Vol. 11, N 1. — P. 77 — 90.

44. Schwartz I.T. A remark on inequalities of Calderon-Zygmund type for vector-valued function / I.T. Schwartz // Com. Pure Appl.Math.— 1961. T.14.— P. 785−799.

45. Stein E.M. The characterisation of function arising as potentials / E.M. Stein // Bull. Amer. Math. Soc.- 1961. Vol.67, N1. P.102−104.

46. Половинкина M.B. О пространствах дробной гладкости, построенных на основе В-производных Рисса / М. В. Половинкина, Л. Н. Ляхов // Воронежская зимняя математическая школа —2004: Тез. Докл. — Воронеж, 2004. — С. 88 89.

47. Половинкина М. В. Пространства весовых Бесселевых потенциалов / Л. Н. Ляхов, М. В. Половинкина // Труды математического института им. Стеклова. — 2005. — Т.250. — С. 192 -197.

48. Половинкина М. В. Ядра В-потенциалов Бесселя смешанного типа / М. В. Половинкина // Вестник Елецкого государственного университета имени И. А. Бунина. — 2005. — Выпуск 8, N 1. — С. 71 75.

49. Половинкина М. В. Пространство потенциалов Рисса-Ванштейна-Киприянова / Л. Н. Ляхов, М. В. Половинкина // Материалы научной конференции «Герценовские чтения». — 2006. — С. 201 208.

50. Половинкина М. В. О смешанных усреднениях СоболеваКиприянова / Л. Н. Ляхов, М. В. Половинкина // Математические модели и операторные уравнения: Сб. науч. тр. — Т.4. — Воронеж: ВорГУ, 2007. С. 98 — 103.

51. Половинкина М. В. Пространства И.А. Киприянова дробной В-гладкости лиувиллевского типа / М. В. Половинкина / / Черноземный альманах научных исследований. — N 1 (5), март 2007. С. 131 — 139.

52. Половинкина М. В. О Вдифференцировании смешанных усреднений Соболева Киприянова / М. В. Половинкина // Черноземный альманах научных исследований. — N 2 (6), декабрь 2007. — С. 135 — 142.

53. Половинкина М. В. О весовых функциональных классах лиувиллевского типа / М. В. Половинкина / / Черноземный альманах научных исследований. — N 1 (8), апрель 2009. — С. 316 325.