Синтез управления в нелинейных механических системах

Диссертация посвящена построению синтеза управления в нелинейных механических системах. Целью является разработка эффективных методов управления сложными механическими системами на основе математических моделей, отражающих основные особенности таких систем: высокую размерность системы, динамическую зависимость между ее степенями свободы, наличие нелинейностей, ограничения на управляющие воздействия и фазовые переменные, неполноту информации о внешних возмущениях и собственных параметрах системы, требование о приведении системы в терминальное состояние за конечное время. Эффективность предложенных в диссертации методов продемонстрирована путем построения законов управления для конкретных механических и электромеханических систем, а также компьютерного моделирования динамики этих систем.

В диссертации рассматриваются системы, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями, имеющими лаграижеву форму с1 дТ дТ. 1 аЬ оси % здесь дг — обобщенные координаты системы, 1] — управляющие обобщенные силы, фг — все прочие обобщенные силы, включая неконтролируемые возмущения, п — число степеней свободы системы, t — время, точкой обозначаются производные по времени, Т (д, д) — кинетическая энергия системы, заданная в виде симметрической положительно-определенной квадратичной формы от обобщенных скоростей с[{.

1 1 п Ш й) = АШ, .

2 2 через д и д обозначаются п-мерные векторы обобщенных координат и скоростей соответственно, а скобками (•, •} — скалярное произведение векторов.

Подставляя (0.2) в (0.1), приведем уравнения движения к виду + (0.3).

Здесь 11 = (С/х,., ип) — вектор управляющих сил, 5 = (5х,., 5^) — вектор-функция п.

5(д, д, I) = я, I) — (0.4).

3,к=1 где Г^ = (Гх-у-д-,., Гщк) — п-мерные векторы с компонентами д (Ьэ 1да5к Т-к ~ ^ «2» % ' (}.

Предполагается, что на управляющие воздействия в каждый момент времени наложены геометрические ограничения вида Щ^Ц?, ъ = 1 (0.6) где и? — заданные постоянные.

Основные проблемы, возникающие при решении задач управления рассматриваемой системой (0.3), обусловлены тем, что она представляет собой существенно нелинейную динамическую систему высокого порядка. Ее отличает наличие динамического взаимодействия между различными степенями свободы, которое характеризуется элементами а^к{я) матрицы кинетической энергии А (д). Ситуация еще более осложняется, если некоторые из констант и®в (0.6) равны нулю, т. е. имеет место дефицит управляющих параметров.

Очень часто параметры системы (массы, геометрические характеристики и т. д.) определены лишь с некоторой погрешностью. Еще одним неопределенным фактором выступают неконтролируемые возмущения. В указанных случаях говорят об управлении системой в условиях неопределенности, и здесь важнейшую роль приобретают алгоритмы управления по обратной связи, которые обеспечивают желаемые режимы работы системы. При этом обобщенные координаты и скорости ф считаются доступными измерениям, т. е. фазовое состояние системы в каждый момент времени известно.

Примером механических систем, описываемых уравнениями (0.3), могут служить манипуляционные роботы, которые являются важнейшей составной частью автоматизированных производственных систем. Для манипуляционных роботов в качестве обобщенных координат д^ обычно выбираются относительные углы или смещения между звеньями. Интенсивность взаимовлияния между различными звеньями задается элементами матрицы А (д). Если учитывается динамика приводов, то функции включают массо-инерционные параметры электродвигателей и редукторов. Уравнения движения манипуляционного робота (в форме Лагран-жа) содержат составляющие обобщенных сил обусловленные силами веса, сопротивления, которые бывают известны лишь приближенно и могут существенно изменяться в процессе эксплуатации. Компоненты Щ имеют физический смысл сил или моментов сил, развиваемых исполнительными устройствами.

Необходимость рассмотрения задач управления системой (0.3) именно в нелинейной постановке (без перехода к упрощенному линеаризованному описанию) связана с несколькими причинами. Так, управление, построенное для линеаризованной системы, часто оказывается неэффективным при применении в нелинейной системе. Кроме того, при изменении цели управления изменяются как структура, так и параметры алгоритмов управления. Указанные причины также затрудняют синтез универсальных систем управления.

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, пяти глав и списка литературы.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. — М.: Мир, 1967.— 480 с.

2. Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1974.

3. Акулеико Л. Д. Асимптотические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1987.

4. Акуленко Л. Д. Конструктивное управление движением колебательных систем с дискретными и распределенными параметрами // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53, Вып. 4.

5. Акул&нко Л. Д., Болотник Н. Н. Синтез оптимального управления транспортными движениями промышленных роботов // Изв. АН СССР. МТТ. — 1986. № 4.

6. Аиан, ьевский И. М. Управление механической системой с неизвестными параметрами посредством ограниченной силы // Прикладная, математика и механика.— 1997, — Т. 61, Вып. 1.

7. Ананьевский И. М. Ограниченное управление механической системой в условиях неопределенности // Докл. РАН. — 1998. — Т. 359, № 5.

8. Ананьевский И. М. Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1998. — № 2.

9. Ананьевский И. М. Ограниченное управление реономными механическими системами в условиях неопределенности // Прикладная математика и механика. — 2001. — Т. 65, Вып. 5.

10. Ананьевский И. М. Управление реономными механическими системами с неизвестными параметрами // Докл. РАН. — 2001. — Т. 377, № 4.

11. Ананьевский И. М., Добрынина И. С., Черноусъко Ф. Л. Метод декомпозиции в задаче управления динамической системой // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1995. — JTfi 2. — С. 3−14.

12. Ананьевский И. М., Решмин С. А. Метод декомпозиции в задаче об отслеживании траекторий механических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2002. — № 5. — С. 25−32.

13. Анчев А. А., Меликян А. А. Об оптимальной переориентации спутника на круговой орбите // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. — № 6. — С. 35−42.

14. Бардин Б. С., Маркеев А. П. Об устойчивости маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // Прикладная математика и.механика. — 1995. Т. 59, Вып. 6. — С. 922−929.

15. Белецкий В. В. Об оптимальном приведении искусственного спутипка Земли в гравитационно-устойчивое положение // Космич. исслед.— 1971.— Т. 9, Вып. 3. С. 366−375.

16. Беллман Р. Динамическое программирование / Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1960.

17. Беллман Р., Гликсберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории управления: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1962.

18. Болотник, Н. Н., Каплунов A.A. Некоторые задачи оптимального управления поворотом твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. — 1980. — № 5.

19. Болотник II. Н., Черноусъко Ф. Л. Оптимизация управления манипуляци-онными роботами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1990.— № 1.

20. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1968.-408 с.

21. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. — М.: Мир, 1972.

22. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975.

23. Бутковский А. Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем. — М.: Наука, 1985.

24. Бутковский А. Г., Доманицкий С. М. О синтезе управляющей части оптимальных систем для некоторых объектов с запаздыванием. — М.: Изд-во АН СССР, 1960.

25. Воротников В. И. О нелинейном синтезе ограниченных управлений при помехах // Докл. АН. 1994. — Т. 337, № 1. — С. 44−47.

26. Воротников В. И. О синтезе ограниченных управлений в игровой задаче переориентации асимметричного твердого тела // Докл. АН. — 1995. — Т. 343, № 5. С. 630−634.

27. Воротников В. И. О построении игровых ограниченных управлений для нелинейных динамических систем // Прикладная. математика и механика. — 1997. Т. 61, Вып. 1. — С. 63−74.

28. Гришин А. А., Ленский, А. В., Охоцимский Д. Е., Панин Д. А., Формалъ-ский А. М. О синтезе управления неустойчивым объектом, перевернутый маятник // Изв. РАН. Теория и системы управления.— 2002, — № 5.— С. 14−24.

29. Добрынина И. С. Моделирование динамики манипуляционных роботов с применением метода декомпозиции управления // Изв. РАН. Техн. кибернетика. — 1995. № 4. — С. 246−256.

30. Добрынина И. С., Карпов И. И., Черноусько Ф. Л. Компьютерное моделирование управления движением системы связанных твердых тел // Изв. РАН. Техн. кибернетика. — 1994. — № 1. С. 167−180.

31. Дунекая Н. В., Пятницкий Е. С. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем // Автоматика и телемеханика.— 1988.— № 12.

32. Емельянов С. В. Системы автоматического управления с переменной структурой. — М.: Наука, 1967.

33. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. — Л.: Судпромгиз, 1959.

34. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

35. Калман Р. Об общей теории систем управления // Тр. 1-го конгр. Между-нар. федерации по автоматич. управлению (1FAC).— М.: Изд-во АН СССР, 1961.

36. Калмлн РФалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М.: Мир, 1971.

37. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. — Т. 21, Вып. 5. — С. 588−598.

38. Каюмов О. Р. Оптимальное управление эллиптическим маятником // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. — № 4. — С. 38−44.

39. Каюмов О. Р. Глобально управляемые механические системы.— М.: Физ-матлит, 2007. 168 с.

40. Ковалева А. С. Управление колебаниями и виброударными системами.— М.: Наука, 1990.

41. Красовский Я. Я. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968.

42. Красовский Я. Я. Игровые задачи о встрече движений. — М.: Наука, 1970. — 420 с.

43. Красовский Я. Я. Управление динамической системой. — М.: Наука, 1985.

44. Красовский Я. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1985.

45. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973.

46. Кряжимский А. В. Альтернатива в линейной игре сближения уклонения с неполной информацией // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 230, № 4.

47. Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения уклонения // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 239, № 4.

48. Кряжимский А. В. Об устойчивом позиционном управлении в дифференциальных играх // Прикладная математика и механика, — 1978.— Т. 42, Вып. 6.

49. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. Устойчивые решения обратных задач динамики управляемых систем // Тр. МИАН СССР. — 1988.

50. Курэюанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности.— М.: Наука, 1977.

51. Лавровский Э. К., Формалъский А. М. Стабилизация заданной позиции упругого стержня // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53, Вып. 5.

52. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972.

53. Ли Э. Б., Маркус Л. О необходимых и достаточных условиях оптимальности по быстродействию для нелинейных систем второго порядка // Тр. II Междунар. конгр. ИФАК. Базель, 1963. — М.: Наука, 1965. — С. 155−166.

54. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления / Пер. с англ. — М.: Наука, 1972. —576 с.

55. Малышев В. В., Кибзун А. И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. — М.: Машиностроение, 1987.

56. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — Москва—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007. — 592 с.

57. Матюхин В. И. Непрерывные универсальные законы управления манипу-ляционным роботом // Автоматика и телемеханика. — 1997.— № 4.— С. 31−44.

58. Матюхин В. ИПятницкий Е. С. Управление движением манипуляцион-н ых роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Автоматика и телемеханика. — 1989. — № 9. — С. 67−81.

59. Мирошник И. В., Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управления сложными динамическими системами, — СПб.: Наука, 2000.— 548 с.

60. Овсеевич А. И. Устойчивость перевернутого маятника при быстрых случайных колебаниях точки подвеса // Прикладная математика и механика. — 2006, — Т. 70, Вып. 5.-С. 844−851.

61. Осипов Ю. С. О стабилизации управляемых систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. — 1965. — Т. 1, № 5.

62. Осипов Ю. С. Дифференциальные игры систем с последействием // Докл. АН СССР. 1971. — Т. 196, № 4.

63. Осипов Ю. С., Пименов В. Г. К теории дифференциальных игр в системах с последействием // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42, Вып. 6.

64. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. — М.: Наука, 1986.

65. Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация, — М.: Наука, 1979.

66. Понтрягин Л. С. К теории дифференциальных игр // УМН. — 1966. — Т. 21, № 4.

67. Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Мат. сб. 1980. — Т. 112, № 3.

68. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1983. — 392 с.

69. Пятницкий Е. С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1987. № 3. — С. 92−99.

70. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. — 1988. — Т. 300, № 2. — С. 300−303.

71. Пятницкий Е. С. Критерий полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями // Прикладная математика и механика.- 1996, — Т. 60, Вып. 5. — С. 707−718.

72. Решмин С. А. Синтез управления двузвенным манипулятором // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1997. — № 2. — С. 146−150.

73. Реи шип С. А. Метод декомпозиции в задаче управления перевернутым двойным маятником с использованием одного управляющего момента // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2005. — № 6. — С. 28−45.

74. Решмин С. А. Поиск главного бифуркационного значения максимального управляющего момента в задаче синтеза оптимального управления маятником // Изв. РАН. Теория, и системы управления.— 2008.— № 2. С. 5−20.

75. Решмин С. А., Черноусько Ф. Л. Синтез управления в нелинейной динамической системе на основе декомпозиции // Прикладная математика и механика. 1998. — Т. 62, Вып. 1. — С. 121−128.

76. Решмин С. А., Черноусько Ф. Л. Оптимальный по быстродействию синтез управления нелинейным маятником // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. — № 1. — С. 13 22.

77. Субботин А. И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр // Докл. АН СССР. 1980. — Т. 254, № 2.

78. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильто-на-Якоби.— М.: Наука, 1991.

79. Субботин А. И., Чепцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления, — М.: Наука, 1981.

80. Уткин В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой. — М.: Наука, 1974. — 272 с.

81. Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1981.

82. Уткин В. И., Орлов Ю. В. Теория бесконечномерных систем управления на скользящих режимах. — М.: Наука, 1990. — 133 с.

83. Фаронов В. В. Программирование на персональных ЭВМ в среде Турбо-Паскаль.- М.: Изд-во МГТУ, 1991.-580 с.

84. Филимонов Ю. М. К задаче об оптимальном управлении математическим маятником // Диффсренц. уравнения. — 1965.— Т. 1, № 8.— С. 1007−1015.

85. Фомин В. Н.- Фрадков А. Л., Якубович В. А. Адаптивное управление динамическими объектами. — М.: Наука, 1981.—447 с.

86. Формалъский А. М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. — М.: Наука, 1974.

87. Формалъский А. М. О стабилизации двойного перевернутого маятника при помощи одного управляющего момента // Изв. РАН. Теория и систелт управления. — 2006. — № 3. — С. 5−12.

88. Форсайт Дж.- Малькольм М. Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — Пер. с англ. М.: Мир, 1980.— 280 с.

89. Фрадков А. Л. Схема скоростного градиента, и ее применение в задачах адаптивного управления // Автоматика и телемеханика. — 1979. — № 9.

90. Фрадков А. Л. Адаптивное управление сложными системами. — М.: Наука, 1990.

91. Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. — М.: Наука, 1968.97| Цыпкин Я. 3. Основы теории обучающихся систем, — М.: Наука, 1970.

92. Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. — М.: Наука, 1977.

93. Цыпкин Я. 3., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. — М.: Наука, 1973.

94. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. — М.: Наука, 1988.101| Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических системах // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1990. № 6. С. 64−82.

95. Черноусько Ф. Л. Ограниченное управление в системах с распределенными параметрами // Прикладная, математика и механика.— 1992.— Т. 56, Вып. 5, — С. 810−826.

96. Черноусько Ф. Л. Синтез управления нелинейной динамической системой // Прикладная математика и механика. — 1992. — Т. 56, Вып. 2. — С. 179−191.

97. Черноусько Ф. Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах // Тр. Мат. ин-та РАН. — 1995. — Т. 211, — С. 457−472.с.

98. Черноусько Ф. Л. Оценка множеств достижимости линейных систем с неопределенной матрицей // Докл. АН. — 1996. — Т. 349, № 1.

99. Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями, — М.: Наука, 1980.

100. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин С. А. Методы управления нелинейными механическими системами. — М.: Физматлит, 2006. — 328 с.

101. Черноусъко Ф. Л., Болотник Н. Н., Градецкий В. Г. Манипуляционпыс роботы: динамика, управление, оптимизация.— М.: Наука, 1989. — 368 с.

102. Черноусъко Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях, — М.: Наука, 1978.

103. Черноусъко Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска.— М.: Наука, 1978.

104. Чиликин М. Г., Ключев В. И., Сандлер А. С. Теория автоматизированного электропривода. — М.: Энергия, 1979.

105. Якубович В. А. К теории адаптивных систем // Докл. АН СССР. 1966. — Т. 166, № 6.

106. Absil P., Sepulchre R. A hybrid control scheme for swing-up acrobatics // Proc. 5th European Control Conference. — 2001. — Pp. 2860−2864.

107. Anchev A. A. Equilibrium attitude transitions of a three-rotor gyrostat in a circular orbit // AIAA Journal. 1973. — Vol. 11, no. 4. — Pp. 467−472.

108. Awrejcewicz J., Kudra G., Wasilewski G. Experimental observations and simulations of a triple physical pendulum // Proc. of the 1st Polish Congress of Mechanics. — Warsaw, Poland, August 28−31, 8 pages (on CD), in Polish: 2007.

109. Awrejcewicz J., Kudra G., Wasilewski G. Chaotic zones in triple pendulum dynamics observed experimentally and numerically // Applied Mechanics and Materials. 2008. — Vol. 9. — Pp. 1−17.

110. Awrejcewicz J., Reshmin S. A., Wasilewski G., Kudra G. Swing up a double pendulum by simple feedback control // Proc. 6th EUROMECH Nonlinear Oscillations Conference (ENOC-2008).- St.-Petersburg: 2008.-June 30-July 4 (on CD, 6 pages).

111. Berghuis H., Nijmeijer H. Global regulation of robots using only position measurement // Systems and Control Letters 21.— 1993.

112. Chernousko F. L. The decomposition of controlled dynamic systems // Advances in nonlinear dynamics and control / Ed. by A. B. Kurzhanski. — Boston Basel Berlin: Birkhauser, 1993. Pp. 1−40.

113. Chernousko F. L., Ananievski I. M., Reshmin S. A. Control of Nonlinear Dynamical Systems. Methods and Applications.— Berlin, Heidelberg: Springer, 2008.— 396 p.

114. Chernousko F. L., Reshmin S. A. Decomposition and synthesis of control in a nonlinear dynamic system // Proc. International Conference on Informatics and Control (ICI&C97). Vol. 1. — St.-Petersburg: 1997. — June 9−13. — Pp. xlv-lii.

115. Chernousko F. L.- Reshmin S. A. Decomposition of control for nonlinear la-grangian systems // Proc. 4th IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium (NOLCOS'98). — Vol. 1, — Enschede, Netherlands: 1998.-July 1−3.-Pp. 209 214.

116. Chernousko F. L., Reshmin S. A. Time-optimal swing-up and damping feedback controls of a nonlinear pendulum // Proc. of the ECCOMAS Thematic Conference on Multibody Dynamics. — Milan, Italy: 2007. — June 25−28 (on CD, 20 pages).

117. Chernousko F. L., Reshmin S. A. Time-optimal swing-up feedback control of a pendulum // Nonlinear Dynamics. — 2007. — Vol. 47, no. 1−3, Special Issue dedicated to the 60th birthday of Professor Giuseppe Rega. — Pp. 65−73.

118. Corless M., Leitrnann G. Adaptive control of systems containing uncertain functions and unknown functions with uncertain bounds // J. of Optimization Theory and Applications. — 1983. — Vol. 42, no. 1. — Pp. 155−168.

119. Fehlberg E. Low-order classical Runge-Kutta formulas with stepsize control and their application to some heat transfer problems. — NASA Technical Report 315, 1969.

120. Fehlberg E. Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Warmeleitungsprobleme // Computing. 1970. — Vol. 6. — Pp. 61−71.

121. Friedland B., Sarachik P. Indifference regions in optimum attitude control // IEEE Irans. Autom. Control. 1964. — Vol. 9, no. 2. — Pp. 180−181.

122. Garcia Almuzara J. L., Flugge-Lots I. Minimum time control of a nonlinear system // J. Differential Equations. — 1968. — Vol. 4, no. 1.— Pp. 12−39.

123. Isidori A. Nonlinear Control Systems. — 3 edition. — New York: Springer-Verlag, 1995.

124. Isidori A. Semiglobal practical stabilization of uncertain non-minimum-phase nonlinear systems via output feedback // Proc. IV IFAC Nonlinear Control Systems Design Symp. — Enschede, The Netherlands: University of Twente, 1998.

125. Isidori A. Nonlinear Control Systems.— New York: Springer-Verlag, 1999, — Vol. II.

126. Kaiman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. A S ME, ser. D, V. — I960. Vol. 82, no. 1.

127. Krasovskii A. N., Krasovskii N. N. Control under lack of Information. — Boston: Birkhauser, 1995.

128. Krotov V. F. Global Methods in Optimal Control Theory. — New York: Marcel Dekker Ink., 1996.

129. Kuipers B., Ramamoorthy S. Qualitative modeling and heterogeneous control of global system behavior // Hybrid systems computation and control. — Stanford, California: 2002. March. — Pp. 294−307.

130. Kurzhanski A. B., Valyi I. Evolution and control of uncertain systems // Tuto-rial-92−01. Laxenburg: IIASA, 1992.

131. Leitmann G. Multicriteria decision making and differential games. — New York: Plenum, 1976.

132. Leitrnann G. Deterministic control of uncertain systems // Acta Astronautica. — 1980. Vol. 7. — Pp. 1457−1461.

133. Loria A., Panteley E., Nijmeijer IL, Fossen T. I. Robust adaptive control of passive systems with unknown disturbances // Proc. IV IFAC Nonlinear Control Systems Design Symp. — Enschede, The Netherlands: University of Twente, 1998.

134. Matyukhin V. I. Force / motion control of manipulators with incomplete information // Proc. 4th ECPD International Conference on Advanced Robotics, Intelligent Automation and Active Systems. — Moscow: 1998. — August 24−26. — Pp. 72−77.

135. Nijmeijer H., Rodriguez-Angeles A. Synchronization of mechanical systems. World scientific series on nonlinear science.— World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2003.

136. Nijmeijer H., van der Schaft A. J. Nonlinear Dynamic Control Systems. — New York: Springer-Verlag, 1990.

137. Osipov J. S., Kryazhimski A. V. Inverse problem of ordinary differential equations: Dynamical solutions. — London: Gordon and Breach, 1995.

138. Reshmin S. A., Chernousko F. L. Method of decomposition for the control of nonlinear dynamical systems // Proc. 5th EUROMECH Nonlinear Oscillations Conference (ENOC-2005). Eindhoven, Netherlands: 2005.-August 7−12.— Pp. 790−799 (on CD).

139. Rubi J., Rubio A., Avello A. Swing-up control problem for a self-erecting double inverted pendulum // IEE Proceedings Control Theory and Applications. —I2002.-Vol. 149.-Pp. 169−175.

140. Sanfelice R. G. Teel A. R. A «throw-and-catch» hybrid control strategy for robust global stabilization of nonlinear systems // Proc. 26th American Control Conference. 2007. — Pp. 3470−3475.

141. Schaefer I. F., Cannon R. F. On the control of unstable mechanical systems // Proc. IFAC 3d Congress. — London: 1996.

142. Shampine L. E., Waits H. A., Davenport S. Solving non-stiff ordinary differential equations — the state of the art // Sandia Laboratories Report SAND75−0182, Albuquerque, New MexicoSIAM Review. — 1976. — Vol. 18, no. 3. — Pp. 376−411.

143. Shiriaev A., Egeland O., Ludvigsen H. Global stabilization of unstable equlibri-um point of pendulum // Proc. of IEEE conference on decision and control. — Tampa, Florida: 1998. December. — Pp. 4584−4585.

144. Stephenson A. On a new type of dynamical stability // Memoirs and Proceedings of the Manchester Literary and Philosophical Society. — 1908. — Vol. 52, no. 8, Pt. 2, — Pp. 1−10.

145. Subbotin A. I. Generalized solutions of first-order PDEs: the dynamical optimization perspective. — Boston: Birkhauser, 1995.

146. Utkin V I. Sliding modes in optimization and control. — New York: Springer-Verlag, 1992.

147. Utkin V, Guldner J., Shi J. Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. — London: Taylor Sz Francis, 1999.

148. Van der Schaft A. J. L2-gain analysis of nonlinear systems and nonlinear H^ control // IEEE Trans. Autorn. Control, AC-37.— 1992.

149. Van der Schaft A. J. L2-gain and passivity techniques in nonlinear control // № 218 in Lecture Notes in Control and Information Sciences. — Heidelberg: Springer Verlag, 1996. 1st. edition.

150. Van der Schaft A. J., Maschke D. Modelling and control of mcchanical systems. Chap. Interconnected Mechanical systems. — Imperial College Press, 1995.

151. Van der Schaft A. L2-gain and passivity techniques in nonlinear control.— London: Springer, 2000.

152. Xu Y., Iwase M., Furuta K. Time optimal swing-up control of a single pendulum // Transactions of the AS ME. 2001. — Vol. 123. — Pp. 518−527.