Бесконечно малые величины. 
Связь переменной величины с ее пределом. 
Свойства бесконечно малых

Выделим несколько классов переменных величин.

Определение 10.12. Функция у = /(х) называется бесконечно малой при х —? х$, если она имеет предел, равный нулю: lim f (x) = 0. (Если не указано, как изменяется х> прин;

ципиально возможен процесс любого типа.).

Разумеется, в конкретных задачах необходимо указывать, для каких аргументов функции предел равен нулю. Например, функция у = (х — I)² — бесконечно малая при х, стремящемся к единице, в других случаях она таковой не является. Следует иметь в виду, что наименование «бесконечно малая» не выражает размера (это не одна десятитысячная и даже не одна миллионная), а отражает лишь характер ее изменения как переменной в данном процессе.

Приведем примеры бесконечно малых функций: у =.

х

при х —*? °°; у = е^х — 1, при х —* 0.

Определение 10.13. Переменная величина называется бесконечно большой, если в процессе изменения ее модуль становится (и остается таковым) больше любого сколь угодно большого положительного числа М: f (x) > М.

Переменная величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, а переменная величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой. Бесконечно большие величины не имеют предела. Это записывают в виде: lim f (x) = °°.

Определение 10.14. Функция называется ограниченной, если начиная с некоторого момента ее значения (по модулю) остаются меньше некоторого положительного числа М: |/(_г)| < М.

Все функции, имеющие предел, и в частности, бесконечно малые, являются ограниченными, между тем как бесконечно большие — неограниченные.

Примеры.

• 1. Функция у = sin. r — ограничена.
• 2. Функция у = xsinx, при х —* °° — неограниченная величина, но не бесконечно большая.

Свойства бесконечно малых. Важную роль бесконечно малых в теории пределов выражает следующая теорема.

Теорема 10.1. Всякая функция, имеющая предел, представима в виде суммы постоянной и бесконечно малой.

Доказательство. Пусть функция у = f (x) имеет предел Ь. По определению предела, модуль разности функции и ее предела может быть сделан меньше любого сколь угодно малого положительного е. Обозначим эту разность ф (х): ср (лг) = f (x) - b, есть бесконечно малая и f (x) = b + ф (дг).

Теорема 10.2. Если функцию у = f (x) можно представить в виде суммы постоянной величины b и бесконечно малой величины ф (х), lim f (x) = b.

Перечислим другие свойства бесконечно малых.

• 1. Сумма, разность, произведение двух бесконечных малых являются бесконечно малыми.
• 2. Произведение бесконечно малой на постоянную есть бесконечно малая.
• 3. Произведение бесконечно малой на величину ограниченную есть бесконечно малая.
• 4. Произведение величины, имеющей предел, на величину бесконечно малую, есть величина бесконечно малая.