Закон распределения функции одного случайного аргумента

аргумент величина квадрат отклонение распределение Начнем с рассмотрения наиболее простой задачи о законе распределения функции одного случайного аргумента. Так как для практики наибольшее значение имеют непрерывные случайные величины, будем решать задачу именно для них.

Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f (x). Другая случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью: .

Требуется найти плотность распределения величины Y. Рассмотрим участок оси абсцисс, на котором лежат все возможные значения величины X, т. е. .

Способ решения поставленной задачи зависит от поведения функции на участке: является ли она монотонной или нет.

В данном параграфе мы рассмотрим случай, когда функция на участке монотонна. При этом отдельно проанализируем два случая: монотонного возрастания и монотонного убывания функции.

1. Функция на участке монотонно возрастает (рис. 6.1.1). Когда величина X принимает различные значения на участке, случайная точка (X, Y) перемещается только по кривой; ордината этой случайной точки полностью определяется ее абсциссой.

Рис. 1.

Обозначим плотность распределения величины Y. Для того чтобы определить, найдем сначала функцию распределения величины Y: .

Проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс на расстоянии y от нее (рис. 1). Чтобы выполнялось условие, случайная точка (X, Y) должна попасть на тот участок кривой, который лежит ниже прямой АВ; для этого необходимо и достаточно, чтобы случайная величина X попала на участок оси абсцисс от a до x, где x — абсцисса точки пересечения кривой и прямой АВ. Следовательно,.

(1).

Так, как монотонная на участке, то существует обратная однозначная функция. Тогда.

(2).

Дифференцируя интеграл (2) по переменной у, входящей в верхний предел, получим:

(3).

2. Функция на участке монотонно убывает (рис. 2). В этом случае.

(4).

откуда.

(5).

Сравнивая формулы (3) и (5), замечаем, что они могут быть объединены в одну:

(6).

Рис. 2.

Действительно, когда возрастает, ее производная (а значит, и) положительна. При убывающей функции производная отрицательна, но зато перед ней в формуле (5) стоит минус. Следовательно, формула (6), в которой производная берется по модулю, верна в обоих случаях.

3. Рассмотрим случай, когда функция на участке возможных значений аргумента не монотонна (рис. 3).

Рис. 3.

Найдем функцию распределения G (y) величины Y. Для этого снова проведем прямую АВ, параллельную оси абсцисс, на расстоянии у от нее и выделим те участки кривой, на которых выполняется условие. Пусть этим участкам соответствуют участки оси абсцисс: .

Событие равносильно попаданию случайной величины X на один из участков — безразлично, на какой именно. Поэтому.

(7).

Таким образом, для функции распределения величины имеем формулу:

(8).

Границы интервалов зависят от у и при заданном конкретном виде функции могут быть выражены как явные функции у. Дифференцируя G (y) по величине у, входящей в пределы интегралов, получим плотность распределения величины Y:

Пример. Величина X подчинена закону равномерной плотности на участке отдо .

Найти закон распределения величины .

Рис. 4.

Решение. Строим график функции (рис. 4). Очевидно, , и в интервале функция немонотонна. Применяя формулу (8), имеем:

Выразим пределы и через у:;. Тогда.

. (10).

Чтобы найти плотность g (у) продифференцируем это выражение по переменной у, входящей в пределы интегралов, получим:

Имея в виду, что, получим:

(11).

Указывая для Y закон распределения (11), следует оговорить, что он действителен лишь в пределах от 0 до 1, т. е. в тех пределах, в которых изменяется при аргументе X, заключенном в интервале от, до. Вне этих пределов плотность g (у) равна нулю.

График функции g (у) дан на рис. 5. При у=1 кривая g (у) имеет ветвь, уходящую на бесконечность.

Рис. 5.