Определение собственных частот и форм изгибных колебаний систем с распределенными параметрами

Методику решения поставленной задачи проиллюстрируем на нескольких примерах. Сначала обратимся к модели шарнирно опертой балки (рис. 4.11, а). Из курса сопротивления материалов известно, что в соответствии с технической теорией изгиба

где Е — модуль упругости; / - экваториальный момент инерции сечения; М — изгибающий момент; Q — поперечная сила; q_H — распределенная нагрузка; у — деформация, т. с. координата, характеризующая в данном случае колебания; ()' = Э/ЭхЧтобы описать колебания, примем во внимание, что, согласно принципу Даламбера, балка «нагружена» распределенной инерционной нагрузкой q_u = -mL~'(d²y/dt²), где т, L — масса балки и длина пролета.

Рис. 4.11.

Итак, дифференциальное уравнение, описывающее свободные колебания балки, на основании вышеизложенного имеет вид.

После подстановки в (4.58) у = /1(.г) sin (kt + а) и элементарных упрощений получаем обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно амплитуды Л (г):

где о⁴ =mk²/(EIL).

Решение уравнения (4.59) представим как.

где 6', С₂, C_v C_i — произвольные постоянные.

Для рассматриваемой балки в сечениях, расположенных на опорах (х = 0, х = I), перемещения у и момент Мобращаются в пуль, что отвечает следующим граничным условиям:

Дважды продифференцируем (4.60):

Подстановка граничных условий при х = 0 в (4.60) и (4.61) дает С, + C._s = 0; -С, + С₃ = 0. Отсюда следует С, = 0, С₃ = 0; при этом в выражениях (4.60) и (4.61) сохраняются лишь две неизвестные С₂ и С₄, для определения которых используем граничные условия в сечении х = L:

В этой однородной системе алгебраических уравнений относительно С₂ и С₄ нетривиальному решению (С₂ Ф О, С_А ф 0) отвечает равенство нулю определителя.

Отсюда 2 sin о sh oL = 0. Поскольку при oL = 0 гиперболический синус в нуль нс обращается, получаем частотное уравнение в виде

решением которого служит o_rL = г к. Тогда.

Для определения форм колебания предварительно выразим С_А через С₂ с помощью любого из уравнений системы (4.62):

Отсюда согласно (4.64) С_А = 0. Следовательно, на основании (4.60)

Константа С₂ определяется с помощью граничных условий, заданных в произвольном сечении при х = 0, х = L. Однако, поскольку форма колебаний А_г° для данной частоты характеризует лишь распределение амплитуд вдоль оси х, при определении форм колебаний эта константа может быть задана произвольно, например, С₂= 1. Тогда.

Остановимся еще на одном распространенном примере — модели консольной балки (см. рис. 4.11, 6). С подобной моделью приходится сталкиваться при анализе колебаний шпинделей, веретен и во многих других технических приложениях. От предыдущего примера данная модель отличается лишь граничными условиями:у (0) = 0;у '(О) = <�р (0) = 0; М (L) = 0;Q (L) = 0; (здесь (р — угол поворота сечения). Этим условиям отвечает.

Используя решение (4.60), после подстановки в (4.68) получаем

Выразим из первых двух уравнений С₃ и через С_х и С₂ и подставим в последние два уравнения:

При С, 5* 0, С.,* 0 определитель системы (4.70) должен быть равен нулю:

Раскрывая этот определитель и произведя элементарные преобразования, получаем частотное уравнение в виде.

Уравнение (4.72) имеет неограниченное число корней а., которым отвечают собственные частоты.

При г = 1 корнем уравнения (4.72) является а, 1 = 1,875; при г=2 а JL = 4,694; при г > 2 o, L = (2 г -1) к/2.

Для определения форм колебаний так же, как и в предыдущем примере, следует с помощью (4.69) и (4.70) выразить три константы через одну, например С, а затем, задав эту константу произвольно, подставить в (4.60).

Интересно, что, установив дополнительную опору в сечении х = L, мы существенно повысим собственные частоты, поскольку при этом a, L = 3,927, a₂L = 7,069. Это означает, что первая собственная частота увеличится в 4,387 раз, а вторая — в 2,268 раз.