Методы получения случайных чисел с заданным законом распределения вероятностей

В качестве основы при построении генераторов случайных чисел с заданным законом распределения берется хорошо работающий генератор случайных чисел с равномерным законом распределения. На практике широко применяются два метода получения последовательности случайных чисел с заданным законом распределения: метод обратной функции и метод режекции. моделирование генератор случайный число.

Метод обратной функции

Пусть функция распределения вероятности F (x) задана аналитически. Метод обратной функции основан на взаимно — однозначном соответствии значений функции F (x) точкам случайной переменной, равномерно распределенной на отрезке [0, 1].

Например, для экспоненциального закона распределения вероятности.

(6).

График этой функции имеет следующий вид.

Рисунок 4. Функция распределения вероятности для экспоненциального закона.

Для получения обратной функции аналитически преобразуем формулу (6), положив в качестве независимой переменной F. Получим.

(7).

Независимая переменная F имеет смысл вероятности и изменяется на интервале 0? F < 1.

График обратной функции представлен на следующем рисунке.

Рисунок. 5. График обратной функции для экспоненциального закона распределения вероятности.

Метод обратной функции заключается в том, что в качестве независимой переменной F принимаются случайные числа с равномерным законом распределения на интервале [0, 1). Таким образом, для получения последовательности случайных чисел с экспоненциальным законом распределения необходимо взять генератор случайных чисел с равномерным законом распределения (п. 1.1 и 1.2) и преобразовать случайные числа по формуле (7).

Рассмотрим второй пример. Пусть функция плотности распределения случайной величины p (x) задана графически.

Рисунок 6. Функция плотности распределения случайной величины, заданная графически.

Необходимо построить генератор случайных чисел с этой функцией распределения. На первом этапе необходимо получить аналитическое описание заданной функции. Площадь S области, ограниченной функцией распределения плотности вероятности и осью x, равна 1. Это позволяет найти высоту h на графике на рисунке 6. Площадь двух треугольников равна.

(8).

Поэтому Найдем аналитическое описание функции на отрезке [1, 5]. Возьмем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в форме.

(9).

и найдем значения коэффициентов a и b. Для этого подставим в это уравнения координаты двух базовых точек (x = 1, y = ј) (x = 5, y = 0). Получим два алгебраических уравнения.

Из этих уравнений находим a = - 1/16, b = 5/16. Поэтому функция плотности вероятности на отрезке [1, 5] имеет следующий вид Аналогично для отрезка [5, 9] получим (10).

Для создания генератора случайных чисел по методу обратной функции необходимо найти функцию распределения вероятности F (x).

Подставим формулы (10) в интеграл (1) и проведем вычисления.

(11).

Решая эти уравнения как квадратные относительно x, получим выражения для обратных функций.

Знаки в этих формулах выбираются из граничных условий. Подставляя в первую формулу F = 0, получим, что необходим знак минус. Подставляя во вторую формулу F =0.5, получим, что необходим знак плюс. Окончательно получим.

(13).

Для получения последовательности случайных чисел с законом распределения, представленным на рисунке 6, необходимо взять генератор случайных чисел с равномерным законом распределения (п. 1.1 и 1.2) и преобразовать случайные числа по формулам (13).

Программа, реализующая этот генератор случайных чисел, имеет следующий вид (функция rrsch — генератор равномерно распределенных случайных чисел в интервале [0,1)).

function generator: real;

var f: real;

begin.

f := rrsch;

if f<0.5 then

generator := 5−4*sqrt (1−2*f).

else

generator := 5+4*sqrt (2f-1);

end;