Использование определителя третьего порядка при вычислении критических сил для частных случаев граничных условий

Рассмотрим, например, стержень постоянной жесткости ?7, жестко защемленный одним концом (рис. 9.2, а). Применительно к данным граничным условиям жесткости опор имеют следующие значения: г_{ —⁵? оо, г₂ = О, г₃ = 0. Подставим эти значения жесткости опор в определитель (9.14) и раскроем его:

Рис. 9.2. Определение критической силы для консольного стержня.

Так как v/l Ф 0 (иначе ?_кр= 0), то уравнение устойчивости примет вид.

Наименьший корень уравнения (9.16) v = к/2.

п²Е1

Следовательно, в соответствии с формулой (9.8) ?_кр =—р-.

Трансцендентное уравнение (9.16) имеет множество корней v_w = 0,5(2п — 1) л,.

9п²Е1

и каждому корню отвечает свое значение критической силы: г_{кр (2)} ⁼ ^₂ > г 25п²Е1 " .

г_кр(₃) =—— ^{и Т}-Д> ^н0 Д^ля практических целей необходимо знать только наименьшее значение критической силы. Поэтому, как уже отмечалось, при решении задач устойчивости достаточно отыскивать только наименьший корень уравнений типа (9.16).

Естественно, уравнение устойчивости (9.16) можно получить и непосредственно, используя тот же метод. Отклоним стержень (см. рис. 9.2, б)

от первоначального положения равновесия, выберем систему координат и отсечем верхний конец стержня (рис. 9.2, в). Составим уравнение равновесия для отсеченной части, из которого определим М{х) = F_KV-y.

Подставим это значение в уравнение (У.1):

или с учетом обозначения (9.2).

Решение этого уравнения представляется формулой (9.4):

Произвольные постоянные определим из граничных условий:

• 1) .г = 0; z/₀ = 0;
• 2) х = /; у = 0, где у'(х) = -oo4sin ах + а В cos ах,

или 1) А = 0; 2) a/icos а/ = 0, а В Ф 0, следовательно, cos а/ = cos v = 0, т. е. получили то же самое (см. формулу (9.16)).

Из определителя третьего порядка получим значения критических сил для стержня постоянного сечения при других граничных условиях. Пять из них, включая и рассмотренный выше вариант, сведены в табл. 9.1. Эти результаты могут служить справочным материалом. Из табл. 9.1 очевидно, что значения всех критических сил можно выразить единой формулой.

где /₀ — так называемая приведенная, или расчетная, длина сжатого стержня. Понятие приведенной длины сжатого стержня впервые введено профессором Ф. С. Ясинским. Согласно нормативным условиям эта величина, а не критическая сила, лежит в основе практических методов расчета.

Таблица 9.1

Зависимость критических параметров от граничных условий.

сжатых и сжато-изогнутых элементов конструкций. Она вычисляется по формуле.

Отношение расчетной длины стержня к его геометрической длине называется коэффициентом расчетной длины. Он обозначается обычно через р:

В табл. 9.1 даны значения расчетных длин для приведенных граничных условий.

При проектировании строительных конструкций весь процесс жестко регламентирован СНиП. Расчет на устойчивость стержней со сплошной стенкой на центральное сжатие силой N следует выполнять по формуле 1111.

где А — площадь сечения брутто; R — расчетное сопротивление (зависит от вида материала); у_с — коэффициент условий работы (определяется по СНиП в зависимости от типа конструкции и сооружения); <�р — коэффициент продольного изгиба. Он зависит от гибкости стержня, которая определяется по формуле Здесь /₀ = р/ — расчетная длина стержня; / — полная геометрическая дли;

' I*

на стержня; i = J— - радиус инерции сечения в направлении изгиба.

В приведенных ранее расчетах определялась расчетная длина стержня. Для некоторых видов опорного закрепления стержней она приведена в табл. 9.1. Для других вариантов закрепления концов стержня расчетные длины нормированы в СНиП. Там же нормированы предельные гибкости стержней, включая растянутые стержни.

Пример 9.1. Опрелелим критическую силу для системы, изображенной па рис. 9.3, а.

Решение

Расчетная схема системы как отдельного стержня представлена на рис. 9.3,6. Для определения жесткости г, построим эпюру от единичной нары сил, приложенной по направлению поворота (рис. 9.3, в).

Рис. 93. Расчетная схема с упругим защемлением Заметим, что при определении жесткости рассматриваемый стержень не учитывается. Он мысленно отделяется от остальной конструкции.

Вычисляем:

После несложных преобразований и подстановки значения г, получим vtgv = 3. По табл. 2 приложения 2 имеем v ~ 1,19.

Пусть / = 4 м; EI = 1400 кН • м². Тогда по формуле (9.8).

Расчетная длина стержня: /₀ = (я/1,19)-4 = 10,56 м.

Упражнение 9.1. Определите критическую силу для рамы, представленной иа рис. 9.4, при исходных данных из примера 9.1.

Рис. 9.4. Статически определимая рама Пример 9.2. Определим критическую силу для стержня на рис. 9.5, а. Если принять, что жесткость стержня стремится к бесконечности, то потеря устойчивости произойдет только из-за податливости пружины.

Решение

Зададим отклонение стержню (рис. 9.5, б) и составим уравнение равновесия (сумма моментов относительно нижней опоры): F -8- Q-l= 0, откудаF_Kp = QI/6, но Q = г₃8. Следовательно, F = г., 1.

Если воспользоваться определителем (9.15), то решение будет более полным. Оно приводит к уравнению устойчивости sin v (r₃/² — iv²) = 0.

Рис. 95. Определение критической силы для стержня с ?7 -* °°.

Из этого выражения получаются два независимых уравнения устойчивости: sin v = 0, для которого v = л (случай жесткой опоры), и второе выражение, которое приводит к только что полученному результату после подстановки значения v² из формулы (9.8).

Упражнение 9.2. Определите критическую силу для бесконечно жесткого стержня, представленного на рис. 9.5, в.