Экономические примеры систем одновременных уравнений

1. Кейнсианская модель формирования доходов:

C_t = б + вY₁ + е_t, (7.1).

Y_t = C_t + I_t, (7.2).

где Y — совокупный выпуск.

C — объем потреблений.

I — объем инвестиций.

В данной модели I рассматривается как экзогенная переменная, а Y — как эндогенная. Эта модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. Она содержит одно поведенческое уравнение (7.1) и одно тождество (7.2).

Очевидно, что данная модель является индентифицируемой. Ее приведенная форма имеет вид:

б 1 е.

Y = ————- + ————- I + ————— .

1 — в 1 — в 1 — в.

2. Модель формирования спроса и предложения.

В простейшем виде эта модель рассматривалась выше (3.1). Теперь рассмотрим некоторые ее модификации.

Учет тренда. Учитывая, что привычки медленно меняются со временем, в уравнение формирования спроса следует добавить временной тренд. Тогда модель (3.1) принимает вид:

Q^d = в₁ + в₂P + в₃I + pt + е₁;

Q^s = в₄ + в₅P + е₂.

Приведенная форма записывается в виде:

в₁ — в₄ в₃ с е₁ — е₂

P = ————- + —————- I + —————- t + ————-;

в₅ — в₂ в₅ — в₂ в₅ — в₂ в₅ — в₂

в₁ в₅ — в₂ в₄ в₃ в₅ св₅ в₅е₁ — в₂е₂

Q = ———————- + ———— I + ————— t + ——————-,.

в₅ — в₂ в₅ — в₂ в₅ — в₂ в₅ — в₂

из чего следует, что система не является идентифицируемой. В то же время параметр в₅ оказывается сверхидентифицируемым. Таким образом, записав уравнения регрессии в виде.

€.

P = a + bI + ct,

€.

Q = d + eI + ft,

e f

можно заметить, что —— и —— дают оценку в₅.

Учет налога. Предположим теперь, что торговые фирмы облагаются специальным налогом Т. Величина налога меняется со временем и в выборке представлена временным рядом, т. е. является экзогенной переменной. Тогда уравнение спроса не меняется (спрос определяется лишь одной эндогенной переменной — рыночной ценой товара), а в уравнение предложения добавляется соответствующий член. Тогда модель примет вид.

Q^d = в₁ + в₂P + в₃I + е₁;

Q^s = в₄ + в₅P + сT +е₂.

Очевидно, в этом случае модель будет идентифицируемой.

Предположим теперь, что доход I считается постоянным на протяжении длительного времени. Тогда в уравнении спроса следует исключить переменную I, и получатся уравнения:

Q^d = в₁ + в₂P + е₁; (7.3).

Q^s = в₄ + в₅P + сT +е₂. (7.4).

Система (7.3) — (7.4), очевидно, не является идентифицируемой. К ней может быть применен метод инструментальных переменных. При этом одна экзогенная переменная Т, рассматриваемая как инструментальная, позволяет идентифицировать только уравнение, в которое она не входит. Для идентификации (7.4) требуется «внешняя» инструментальная переменная.

Другим способом получить идентифицируемое уравнение формирования предложения можно через ограничение на структурные коэффициенты: в₅ = -с. Это ограничение означает, что продавцы исходят из суммы, которую они получают после уплаты налога, т. е. Р*=Р-Т. Тогда система может быть представлена в виде:

Q^d = в₁ + в₂P + е₁;

Q^s = в₄ + в₅P* +е₂

и экзогенная переменная Т может быть использована как инструментальная для идентификации обоих уравнений.