Прямая угловая засечка

Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы в1 и в2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис. 2.6).

Рис. 2.6.

Исходные данные: XA, YA, бAC, XB, YB, бBD.

Измеряемые элементы: в 1, в2.

Неизвестные элементы: X, Y.

Если бAC и бBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D .

Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол в1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол в2 и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.

Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:

вычислить дирекционные углы линий AP и BP.

(2.14) ,.

(2.15).

написать два уравнения прямых линий для линии AP Y — YA= tgб1 * (X — XA),.

для линии BP Y — YB= tgб2 * (X — XB) (2.16).

решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты X и Y:

(2.17) ,.

(2.18).

Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы в1 и в2 измерены от направлений AB и BA, причем угол в1 — правый, а угол в2 — левый (в общем случае засечки оба угла — левые) — рис. 2.7.

Рис. 2.7.

Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:

решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол бAB и длину b линии AB,.

вычислить угол г при вершине P, называемый углом засечки,.

(2.19).

используя теорему синусов для треугольника APB:

(2.20).

вычислить длины сторон AP (S1) и BP (S2) ,.

вычислить дирекционные углы б1 и б2:

(2.21).

решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля — от пункта B к точке P.

Для вычисления координат X и Y в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга:

(2.22).

От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол бAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B.

BAP = бAB — (бAC + в1) и ABP = (бBD + в2) — бBA .

Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:

вычисление дирекционных углов б1 и б2 ,.

введение

местной системы координат X’O’Y' с началом в пункте A и с осью O’X', направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов б1 и б2 из системы XOY в систему X’O’Y' (рис. 2.8):

X’A = 0, Y’A = 0 ,.

(2.23) ,.

(2.24) ,.

запись уравнений линий AP и BP в системе X’O’Y' :

(2.26).

Рис. 2.8.

и совместное решение этих уравнений:

(2.27).

перевод координат X' и Y' из системы X’O’Y' в систему XOY:

Так как Ctgб2' = - Ctgг и угол засечки г всегда больше 0о, то решение (2.27) всегда существует.