Напряженно-деформированное состояние невесомого неоднородного массива с цилиндрическим отверстием

В данном подпараграфе решается задача, расчетная схема которой показана на рис. 3.2, в. В этой схеме предполагается, что R «Я, и поэтому внешние нагрузки p_R и q_Ry действующие на внешнюю поверхность вырезаемого массива, можно записать следующим образом:

Соответствующие граничные условия (4.32) имеют вид

В решении (4.6) в данном случае отличными от нуля будут функции ф₀, (р_с2 и ф_л2. Функция ф₀ определяется из уравнения (4.7) при ф, = 0, а ф_с2 и v|/_s2 — из уравнений (4.20),.

(4.21). Граничные условия (4.55) для искомых функций с использованием равенств (4.54) и (4.33), если в последних формулах сделать замену Е —* Е/{ 1 — v²); v —? v/(l — v), можно записать в виде г = а:

Уравнения (4.7) и (4.20), (4.21) сводятся соответственно к системам двух и четырех уравнений первого порядка с последующим их решением методом ортогональной матричной прогонки.

В табл. 4.2 приведены результаты расчетов, полученных численно-аналитическим методом, для неоднородного ма;

Таблица 4.2

Напряжения а_г и а₀ в неоднородном массиве с цилиндрической полостью.

териала без учета собственного веса массива. Расчет проводился при b = 10й; v = 0,25; N= 100.

Оценить результаты можно путем сравнения вычисленных напряжений с граничными условиями. Можно заметить, что при г/а = 10 граничные условия для а, выполняются точно, однако напряжения ст₀, вычисляемые путем дифференцирования, несколько отличаются от точных значений:

В рассматриваемом методе обобщенных уравнений представляет интерес возможность непосредственного определения перемещений. Ниже приводятся значения перемещений точек контура отверстия в зависимости от параметров расчета. Критерием точности и надежности метода является сравнение перемещений точек внешней поверхности вырезаемого объема с перемещениями в однородном массиве без отверстия. Последние могут быть получены достаточно просто. Если рассмотреть часть, вырезаемую из массива без отверстия (рис. 4.7), то деформации е_г с учетом равенства ст_;/ = могут быть найдены из закона Гука:

Перемещения и будут равны и = е_дх Переходя к полярным координатам, можно, например, определить радиальное перемещение в точке (г =6; 0 = 0°), которое будет равно.

Рис. 4.7. Расчетная схема определения перемещений.

В точке с координатами (г = Ь; 0 = 180°) перемещение будет таким же, но с обратным знаком. Эти перемещения являются условными, поскольку в соответствии с расчетной схемой предполагается, что ось у не перемещается. То же самое относится и к массиву с отверстием, и для определения истинных перемещений точек контура отверстия, которые обусловлены дополнительными напряжениями, вызванными наличием самого отверстия, необходимо найти разницу перемещений в массиве с отверстием и без него.

В табл. 4.3 приведены значения безразмерных перемеще- «_ ЫЕ₀

нии и = —77г, вычисленные при различных значениях v для Уо НЬ

однородного материала по формуле (4.56) и численно-аналитическим методом, а также для неоднородного массива, модуль упругости которого изменяется в соответствии с формулой E® = Е₀(- ^w), при k_} = 0,5; т = 3.

Таблица 43

Перемещения в точке с координатами г = Ь; 0 = 180°.

Следует подчеркнуть, что численные результаты получены для массива с полостью, а аналитический расчет проводился для сплошного массива. Поскольку, как неоднократно показывалось выше, влиянием отверстия и локальной неоднородности на значительном удалении от отверстия можно пренебречь, результаты в двух рассматриваемых расчетах не должны существенно отличаться. Это и подтверждают данные, приведенные в табл. 4.3. С физической точки зрения увеличение перемещений в неоднородном массиве с отверстием по сравнению со сплошным массивом вполне объяснимо. Неоднородность рассматриваемого типа и наличие отверстия делают вырезанную часть массива менее жесткой, что и ведет к увеличению перемещений.

На рис. 4.8 показаны зависимости от коэффициента Пуассона радиальных перемещений и_а в двух точках, лежащих на контуре отверстия (при 0 = 0° и 0 = 90°) для однородного и неоднородного материала (k_{ = 0,5; т = 3). Можно заме;

Рис. 4.8. Перемещения точек контура отверстия:

сплошная линия — неоднородный материал; пунктирная линия — однородный материал; 1 — 0 = 0°, 2 — 0 = 90°.

тить, что при v = 0,5 перемещения в обеих точках принимают одинаковые значения, что связано с переходом к осесимметричной задаче.

Абсолютные значения перемещений точек контура отверстия невелики и составляют не более 1% от радиуса отверстия. Таким образом, определение перемещений представляет в основном методический интерес. Однако в некоторых задачах (например, растяжение пластинки с отверстием) эти перемещения могут оказаться существенными.