Специальные виды векторных полей

Потенциальное векторное поле

Векторное поле называется потенциальным (безвихревым), если существует такая непрерывно дифференцируемая скалярная функция, что. Функция называется в этом случае потенциалом векторного поля .

Потенциальное поле является наиболее простым среди векторных полей, так как оно определяется одной скалярной функцией независимо от размерности пространства, в котором задано векторное поле.

Например, в пространстве ?3 для потенциального векторного поля.

.

выполняется равенство.

Свойства потенциальных векторных полей:

• — если векторное поле, потенциально, то его потенциал определяется с точностью до постоянного слагаемого;
• — если векторное поле задано в односвязной области, то необходимым и достаточным условием его потенциальности является обращение в нуль ротора поля в любой точке :

.

Примером потенциального поля является поле тяготения.

Соленоидальное векторное поле

Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если в любой точке дивергенция равна 0:

.

Свойства соленоидальных полей:

• — соленоидальные поля не содержат ни источников, ни стоков;
• — из формулы Остроградского — Гаусса следует, что если векторное поле соленоидальное, то поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю;
• — (принцип сохранения интенсивности векторной трубки) потоки соленоидального векторного поля через различные сечения векторной трубки равны между собой;
• — в соленоидальном векторном поле векторные линии не могут ни начинаться, ни оканчиваться внутри поля. Они либо замкнуты, либо начинаются и оканчиваются на границе поля, либо имеют бесконечные ветви (в случае неограниченного поля);
• — в односвязной области в случае соленоидального векторного поля поток вектора через любую поверхность, опирающуюся на замкнутый контур, зависит не от вида этой поверхности, а только от самого контура .

Примером соленоидального поля является магнитное поле, создаваемое током в проводнике.