Программная реализация модели биологического сообщества трех видов (хищник и две жертвы)

Математическая модель биологического сообщества трех видов

Практическая часть моей курсовой работы состоит в рассмотрении случая «хищник — две жертвы», решении уравнения, построении графика, отображающих поведение популяций хищников и жертв.

Обозначим за x₁ и x₂ — среднюю численность травоядных, а y — средняя численность хищников. За скорость роста численности травоядных обозначим за а₁ и а₂. Скорость сокращения численности плотоядных — с. b1 и b2 — скорость, с которой встречи хищников с жертвами удаляют травоядных из популяции, d1 и d2 скорость, с которой эти встречи позволяют хищникам прибавлять численность своей популяции. Знаки в уравнениях показывают увеличение (плюс) или уменьшение (минус) численности популяции за счет встреч друг с другом. Не будем затрагивать внутривидовую конкуренцию, поэтому пользуясь моделью Вольтерра — Лотки, зададим систему дифференциальных уравнений, соответствующую поставленной задаче:

Задав начальные условия x₁(0) = x₁⁰, x₂(0) = х₂⁰, y (0) = y⁰. Таким образом, мы получаем задачу Коши, решив которую можно определить средние численности популяций x₁, x₂ и y в последующие моменты времени. Решение подобных задач численными методами не составляет большого труда. Но для того, чтобы исследовать зависимость решения от начальных данных x₁⁰, x₂⁰ и y⁰, необходимо найти аналитическое решение и исследовать его. Для нахождения аналитического решения представим все константы равными: а₁ = 1; а₂ = 1; b₁ = 1; b₂ = 1; d₁ = 1; d₂ = 1; c = 1. А начальные условия равными: x₁⁰ = 1, x₂⁰ = 1.5, y⁰ = 0.5. Решим задачу Коши с данными условиями.