Описание индивидуальных заданий с анализом их решения

В качестве практической части данного курсового проекта являлось решение примеров и задач высшей математики с помощью пакета MathCad 2001. Задания были взяты из сборника индивидуальных заданий ч.1, ч.2 (под общей редакцией А. Л. Рябушко, Мн.: Вышэйшая школа, 1990, 1991 гг.).

Проведем анализ решения задач «вручную» и с помощью пакета символьной математики MathCad 2001.

Задание № 1.

Условие: Провести полное исследование функции и построить её графики.

Решение:

Найдём область определения функции. Данная функция определена для. Т. е. .

Функция непрерывна на D (f), а точка — точка разрыва и является вертикальной асимптотой. График функции пересекает ось ОY в точке; ось OX в точках и .

Функция непериодична, она ни чётная, ни нечётная, т.к.

.

Для нахождения невертикальных асимптот вычислим пределы.

Т.е. — наклонная асимптота.

Для исследования функции на возрастание и убывание находим её первую производную:

В точках и функция имеет перегибы. Из этого следует, что функция возрастает на промежутке, и убывает на промежутке .

Для нахождения интервалов вогнутости и выпуклости функции берём её вторую производную:

Из этого следует, что на промежутке функция является выпуклой, а на промежутке функция является вогнутой.

Строим график функции:

Задание № 2.

Дано: Вершины пирамиды находятся в точках А (-7, -5, 6), В (-2, 5, -3), С (3, -2, 4) и D (1, 2, 2).

Вычислить: Площадь грани ВСD; площадь сечения, проходящего через середину ребра СD, и две вершины пирамиды, А и В; объём АВСD.

Решение:

Найдем длины векторов, образующих грань BCD по формуле расстояний между точками в пространстве.

:

Тогда площадь грани можем найти по формуле Герона.

:

Найдём координаты точки середины ребра CD длину граней, образующих сечение:

;

Зная длину граней образующих сечение можно найти его площадь:

Т.к., то плоскостью сечения является равнобедренный треугольник. Из этого следует, что высота проведенная в пирамиде будет лежать в этой плоскости и разбивать отрезок на две равные части. Найдем эту точку и высоту пирамиды:

;

Теперь зная высоту и площадь основания найдем объем пирамиды:

Задача № 3.

Найти неопределенный интеграл функции. Результаты интегрирования проверить дифференцированием.

Решение:

Проверим полученный результат: