Связь деформаций и перемещений

Найдем связь перемещений и деформаций. Деформации в теле возникают как следствие смещения точек тела. Нет перемещений — нет и деформаций. Полная деформация складывается из линейной и угловой. Рассмотрим два частных случая.

1. Нет сдвига. Есть линейная деформация. Рассмотрим проекцию перемещения отрезка А В вдоль оси х (рис. 20.3): до деформации Л_ХВ_Х, после деформации А_ХхВ_Хх Длина проекции Л_ХВ_Х = dx. В других направлениях проекция не перемещается, поэтому dy = dz = 0. После деформации длина проекции отрезка А_ХхВ_Хх = u_lx—u_x + dx. Относительная деформация вдоль оси х.

Аналогично рассматривая проекции перемещения отрезка А В на оси у и Zy находим деформации с_у и e_z. В итоге получаем три линейные деформации вдоль осей х, у, z-'

2. Нет линейной деформации. Есть сдвиг. Напомним: угол сдвига — изменение первоначально прямого угла. Рассмотрим сдвиг в плоскости ху прямых АВ и АС, ориентированных вдоль осей у.

Найдем угол а: а ~ tga = СС, /АС, но АС = dv, 6у = dz = 0.

ди

По втопой стпочке выражения (20.1) СС,=^-сЬ:. Тогда.

дх

Теперь найдем угол Р: Р ~ tgP = ВВ_Х /АВ, но АВ = dy, dx = dz = 0.

ди

ил: (рис. 20.4). Линейной деформации нет, поэтому точка А в процессе деформации остается неподвижной (и_А = 0). Длина отрезков АС= dx АВ = dу. Отрезок АВ развернулся на угол а, отрезок АС — на угол (3. Тогда угол сдвига (изменение первоначально прямого угла).

Y*, = a+|3.

Рис. 20.3. К расчету линейной деформации Рис. 20.4. К расчету угловой деформации (сдвига).

По первой строчке выражения (20.1) ВВ.=——dy. Тогда.

ду

ди ди

Угол сдвига у = а + Р = ——+—— .

^у ду дх

Аналогично находим углы сдвига в двух других координатных плоскостях yz и xz- Итого получаем три угла сдвига:

Выражения (20.3) и (20.4) представляют собой шесть геометрических уравнений теории упругости (уравнения Коши).