Прямоугольный объемный резонатор

Размеры внутренней полости резонатора по осям х, у, z на рис. 26.15, а обозначены соответственно а, Ь, с. По всем трем осям в полости резонатора будут стоячие.

Рис. 26.15.

волны. Н-поле имеет компоненты Н₂, Н_х, Н_у, Е_х, Е_у. Как и в случае волновода, компонент Н. подчиняется уравнению (26.2). Принимаем решение в виде произведения трех функций Н. = X У Z; X зависит только от координаты х, Y — только от у, Z — только от г. Подставив Н_: в (26.2), получим уравнение.

Запишем его в виде двух уравнений:

где р — некоторое действительное число. Решение (26.59) и (26.60) будет иметь вид:

Подставив (26.61а) в (26.59), получим.

Подставив (26.616) в (26.60), найдем.

Учтем граничные условия:

H_z = 0 при z = 0 и z = с;

Е_х = 0 при у = 0 и у = Ь

Е_у = 0 при х = 0 и х = а.

При этом получаем.

Из (26.62) и (26.62а) следует, что.

Таким образом, собственная частота колебаний резонатора связана с геометрическими размерами а, Ь, с и числами т, п, р формулой.

а.

Здесь Я₀ = Н'₀ Я₀*.

Используя уравнения (26.7)—(26.12) и (26.66), находим остальные компоненты Я-поля (его обозначают Н_тпр):

Связь г, q, s с числами т, и, р определяется формулами (26.63). Числа т, л, р могут принимать значения 1, 2, 3… Для Я-поля число т или и может быть нулем.

?-поле (его обозначают Е_тпр) в прямоугольном резонаторе имеет компоненты:

Связь r_y q_y s с числами /я, я, p определяется формулами (26.63). Для ?-поля р может быть нулем. Поле ?₁₁₀ описывают формулы:

Объемная картина поля ?₁₁₀ изображена на рис. 26.15, 6.

Пример 228. Прямоугольный объемный резонатор с воздушным заполнением имеет размеры а = 3,5 см; 6 = 3 см; с = 2,5 см. Медные стенки его посеребрены и отполированы. В нем могут существовать следующие низшие типы волн: ?_по, Я,₀₁, Я₀". Требуется:

• 1) определить резонансные частоты и длины волн этих колебаний и оценить какой тип колебаний является основным;
• 2) для основного типа колебаний подсчитать энергию, запасенную в полости резонатора, полагая, что амплитуда напряженности электрического поля ?₀ = 10⁵ В/м;
• 3) для основного типа колебаний подсчитать комплексные значения проекций вектора И магнитного поля в полости резонатора на оси х_у у_у z в точке с координатами х = у = z = 1 см;
• 4) определить добротность резонатора, обусловленную потерями в стенках Q*¹.

Решение.

1. Резонансную частоту ю₀ и длину волны А.₀ определим по формулам:

Подсчеты по этим формулам для трех перечисленных типов волн дают:

для ?_по т-п = 1, /? = 0, со₀ = 4,13-Ю¹⁰ с" ¹, Х₀=4,89 см;

для Я, о, m = р = 1, и = 0, (о₀ =4,63 10¹⁰ с" ¹, Х₀=4,07 см;

для Я₀₁₁ п = р = _у т = 0, со₀ =4,89 Ю¹⁰ с^ч, Х₀=3,84 см.

Основным типом будет колебание, у которого со₀ наименьшая, а Х₀ наибольшая. В данном случае основным является колебание типа? цо- 2. Энергия в поле резонатора в процессе колебаний переходит из энергии электрического поля в равное ей количество энергии магнитного поля. Подсчитаем амплитудное значение энергии электрического поля резонатора W_э. Учтем, что у колебания типа ?_ио имеется единственная проекция вектора напряженности электрического поля на ось z Е_: = Eq sin (n х/a) sin (n у /Ь)_у что она не зависит от координаты z и что энергия электрического поля в единице объема равна е₀ Е²12.

3. Вектор // магнитного поля в любой точке полости резонатора имеет две проекции, одну на ось х, другую на ось у.

Подставляя цифры в эти формулы, получим комплексные значения Н_х и Н_у в заданной точке поля:

4. Добротность, обусловленную потерями в стенках волновода, подсчитаем по формуле (26.78), имея в виду, что магнитная проницаемость стенок и полости волновода одинакова и равна р₀, что проводимость серебра у = 6,21 * 10⁷ Ом"*-м*¹ и со₀ = 4,13 -10¹⁰ с" ¹. Получим ?^ст = 1905.