Модель времени обслуживания

Моделями времени обслуживания могут служить функция и плотность распределения вероятности длительности обслуживания.

При исследовании прибора обслуживания необходимо определить эмпирическую плотность распределения длительности обслуживания, а затем ее аппроксимировать известными теоретическими распределениями. Наиболее часто применяемые — нормальное, постоянное, экспоненциальное распределения и распределение Эрланга.

Модель Эрланга

Определенный интерес при моделировании СМО представляет подход, при котором исследуются изменения в системе за сколь угодно малый отрезок времени. Составляются уравнения в частных приращениях, от которых затем осуществляется переход к дифференциальным уравнениям. Рассмотрим вывод дифференциальных уравнений, известных как модель Эрланга [9,10].

Будем рассматривать одноканальную СМО с бесконечной очередью, с ожиданием, пуассоновсим потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания. Поток ординарный, простейший, функция распределения интервалов между заявками является экспоненциальной. Модель смены состояний можно представить в виде графа, приведенного на рис. 5.1.

Составим уравнения Эрланга в частных приращениях, которые будут отображать те изменения, которые произошли в системе за сколь угодно малое время t.

Из графа состояний (см. рис. 5.1) мы видим, что следует выделить начальное состояние, когда число заявок в СМО n=0 и состояния с числом заявок в СМО n1.

Вероятность Р0(t+t) того, что СМО к моменту t+t останется в нулевом состоянии, определится из анализа полной группы событий:

• — в момент времени t система была в нулевом состоянии и за время t заявки не поступали;
• — в момент времени t система была в единичном состоянии (в СМО была одна заявка) и за время t обслуживание заявки окончилось.

Вероятность Р0(t+t) определится.

Р0(t+t)=Р0(t)(1-t)+Р1(t)t,(5.1).

1-t — вероятность непоступления заявки в СМО за время t, t — вероятность окончания обслуживания заявки за время t.

Вероятность Рn (t+t) того, что к моменту времени t+t система будет в n-м состоянии, определится из рассмотрения следующей полной группы событий:

• — в момент времени t в системе было n-1 заявок и за время t поступила заявка;
• — в момент времени t система была в n-м состоянии и за время t заявки в СМО не поступили и обслуживание не окончено;
• — в момент времени t в системе была n+1 заявка и за время t обслуживание заявки было окончено.

Вероятность Рn (t+t) определится.

Рn (t+t)=Рn-1(t)t+Рn (t)[1-(+)t1+Рn+1(t)t, (5.2).

t — вероятность поступления заявки за время t; 1-(+)t — вероятность непоступления заявки в СМО и неокончания обслуживания заявки за время t.

Уравнения (5.1) и (5.2) представляют собой модель рассматриваемой СМО в виде уравнений Эрланга в частных приращениях.

От уравнений в частных приращениях перейдем к дифференциальным уравнениям.

Для этого Рn (t) из правой части перенесем в левую, разделим каждую часть на t и определим предел при t 0. Получим уравнения:

(5.3).

Уравнения (5.3) представляют собой модель исследуемой СМО в виде дифференциальных уравнений Эрланга для нестационарного случая.

Так как поток заявок, поступающих в систему, отвечает условиям стационарности, то значение производных можем приравнять к нулю. Получим модель СМО в виде уравнений Эрланга для стационарного режима Р1=Р0, n=0, (1+)Рn=Рn+1+Рn-1, n1,(5.4).

где /= - коэффициент использования системы.

Решение системы уравнений (5.4) будет иметь следующий вид:

Рn=nР0, Р0 =(1-), Рn = n (1-),.

где Рn — вероятность того, что в СМО будет n-заявок.

Затем могут быть определены такие характеристики СМО, как математическое ожидание числа заявок в СМО, математическое ожидание числа заявок в очереди и другие.