Закон Ома в операторной форме. 
Внутренние ЭДС

На рис. 8.28 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами, а и Ъ этой цепи включена ветвь, содержащая R, L, С и источник ЭДС е (0- Ток по ветви обозначим через i.

Рис. 8.28.

Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i = i (0_) и напряжение на конденсаторе и_с = п (0_). Выразим потенциал точки а через потенциал точки b для послекоммутационного режима:

di 1.

Вместо u_L запишем!—, вместо u_cсоответственноu_c(0) + — idt. Тогда dt C ₀

К уравнению (8.46) применим преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений.

Каждое слагаемое уравнения (8.46) заменим операторным изображением: вместо iR запишем Я/(р); вместо u_ab — U_ab(p);

В результате найдем.

Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения (8.46) получили алгебраическое уравнение (8.47), связывающее изображение тока lip) с изображением ЭДС Е (р) и изображением напряжения U_abip). Из уравнения (8.47) следует, что.

где Z (p) = R + pL + ——операторное сопротивление участка цепи между.

Ср

точками а и Ь. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если jсо заменить нар (см. параграф 8.13).

Как указывалось в параграфе 8.13, комплексное число р = a +jb может быть записано в виде р = jib — ja) =jQ, где Q = b — ja — комплексная частота; Zip) =Z (jQ) — сопротивление, оказываемое рассматриваемой цепью воздействию Uei^nt =UeP^t, подобно тому как Z (/w) есть сопротивление, оказываемое воздействию Uei^m. Поэтому Zip) называют сопротивлением на комплексной частоте.

Уравнение (8.48) может быть названо законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС. Оно записано при ненулевых начальных условиях.

Слагаемое Li (0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока ДО) непосредственно до коммутации. Слагаемое п_с(0)/р представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие напряжения на нем п_с(0) непосредственно до коммутации.

В соответствии с формулой (8.48) на рис. 8.29 изображена операторная схема замещения участка цепи на рис. 8.28. Операторные сопротивления ее R, pL, 1 /(Ср). Как следует из формулы (8.48), внутренняя ЭДС Lt (0) направлена согласно с направлением тока lip), внутренняя ЭДС u_cip)/p —встречно току lip).

Puc. 8.29.

В частном случае, когда на участке аЪ отсутствует ЭДС e (t) и к моменту коммутации ДО) = 0 и и_с(0) = О, уравнение (8.48) приобретает более простой вид:

Уравнение (8.49) есть математическая запись закона Ома в операторной форме для участка цепи, не содержащего источник ЭДС при нулевых начальных условиях.