Дискретные распределения. 
Разработка недетерминированных программных систем на основе вероятных автоматов

Говорят, что случайная величина о имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {а₁, а₂, …} такой, что:

а) р_i = Р{ о = а_i} > 0 для всех i;

б).

То есть случайная величина о имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений. Если случайная величина о имеет дискретное распределение, назовем таблицей распределения соответствие а_i — р_i, которое чаще всего рисуют так (таблица 33).

Таблица 33. Таблица распределения.

Виды дискретных распределений

Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина о имеет вырожденное распределение с параметром а, и пишут о Iа если о принимает единственное значение, а с вероятностью 1, то есть Р (о = а) = 1. Таблица распределения о имеет вид (таблица 34).

Таблица 34. Таблица распределения.

Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина о имеет распределение Бернулли с параметром р, и пишут о Вр, если о принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1 — р, соответственно. Случайная величина о с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха (0 успехов или 1 успех). Таблица распределения о имеет вид (таблица 35).

Таблица 35. Таблица распределения.

Биномиальное распределение. Говорят, что случайная величина о имеет биномиальное распределение с параметрами n и р, где 0рn и пишут о Вn, р, если о принимает значения 0, 1,…, n с вероятностями:

Р (о=k)=Сn^kр^k(1-р)^n-k (19).

Случайная величина о с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р. Таблица распределения о имеет вид (таблица 36).

Таблица 36. Таблица распределения.

Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина ф имеет геометрическое распределение с параметром р, где 0 р, n, и пишут ф Gр, если ф принимает значения 1, 2, 3, …с вероятностями Р (ф=k)=р (1-р)^k-1 (20).

Случайная величина ф с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха р. Таблица распределения ф имеет вид (таблица 37).

Таблица 37. Таблица распределения.

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина о имеет распределение Пуассона с параметром л, где л > 0, и о Пл, если о принимает значения 0, 1, 2 … с вероятностями.

(21).

Таблица распределения о имеет вид (таблица 38).

Таблица 38. Таблица распределения.

Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина о имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, K N, n N если о принимает целые значения от mах (0, N — K — n) до min (K, n) с вероятностями:

(22).

Случайная размер с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров подобранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей К белых шаров и N-K не белых.

Заметьте, что со всеми данными распределениями мы уже хорошо знакомы.

Но распределения случайных величин далеко никак не исчерпываются дискретными распределениями. Так, к примеру, если точка кидается наудачу на отрезок [0,1], то разрешено установить случайную величину, равную координате данной точки. Однако количество значений данной случайной величины несчетно, так что ее распределение дискретным не является. Да и возможность данной случайной величине принять каждое из собственных вероятных значений (угодить в точку) равна нулю. Так что не только таблица распределения никак не существует, но и соотношение «значение величины возможность его принять» ничто не говорит о распределении случайной величины.