Приложения поверхностного интеграла первого рода

Пусть S — гладкая материальная поверхность с плотностью. Пусть с помощью поверхностных интегралов первого рода можно вычислить:

1) статические моменты этой поверхности относительно координатных плоскостей.

2) координаты центра тяжести поверхности.

где.

3) моменты инерции относительно координатных осей и начала координат.

,.

.

Определение и вычисление поверхностного интеграла второго рода

Площадь поверхности S можно найти по формуле:

пл. S.

Если — поверхностная плотность материальной поверхности S, то ее масса m находится так:

Пусть S — гладкая ориентированная поверхность, на которой задана непрерывная функция, и пусть в каждой точке M поверхности определено положительное направление нормали, (- непрерывная вектор-функция).

Выберем ту сторону S+ поверхности S, для которой угол между единичной нормалью и осью Oz острый. Теперь разобьем поверхность S на части S1,…, Sn c диаметрами d1,…, dn. Обозначим через площади соответствующих проекций частей S1,…, Sn на плоскость Оху, а через d — максимум из чисел d1,…, dn. Выбрав в каждой части Si произвольную точку Mi (xi, yi, zi), составим сумму.

которая называется интегральной суммой второго рода для функции Предел интегральных сумм (он существует в силу непрерывности) при, который не зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точек Mi, называется поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхности S и обозначается.

Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода.

и.

от непрерывных функций и. Сумма трех указанных поверхностных интегралов второго рода называется общим поверхностным интегралом второго рода и обозначается.

Пусть теперь поверхность S имеет явное представление. Тогда поверхностный интеграл второго рода сводится к двойному интегралу по области D.

Если выбрана противоположная сторона поверхности S, то.

Аналогично вычисляются и поверхностные интегралы.

и.

Примеры:

1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода.

где — сфера х2+у2+z2=R2.

В силу симметрии относительно координатных плоскостей поверхности и подынтегральной функции ограничимся вычислением интеграла при условии (т.е. в первом октанте), а результат умножим на 8.

Используя сферические координаты, запишем параметрические уравнения сферы, учитывая, что Тогда. поверхностный интеграл координатный функция.

а область интегрирования — четверть круга (обозначим ее через В) в параметрической форме имеет вид.

.

Остается выразить через параметры подынтегральную функцию.

На сфере имеем:

Таким образом, данный интеграл равен.

Ответ:

Вычислить поверхностный интеграл первого рода.

где — часть плоскости х+у+z=1, заключенная в первом октанте.

Поверхность можно выразить явно: где область D — треугольник, ограниченный прямыми х=0, у=0 и х+у=1. При этом,.

Данный интеграл сводится к двойному (при этом знаменатель подынтегральной функции равен 1+х+z=1+х+(1-х-у)=2-у):

Ответ:

3. Вычислить где S — часть конической поверхности z2=x2+y2, заключенной между плоскостями z=0 и z=1.Имеем.

Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл:

Областью интегрирования D является круг =1; поэтому.

Ответ:

4. Вычислить интеграл по верхней стороне верхней половины сферы x2+y2+z2=R2.

Проекцией сферы на плоскость хОу является круг D, ограниченный окружностью x2+y2=R2. Уравнение верхней полусферы имеет вид; следовательно, Переходя к полярным координатам, получим.

При вычислении была сделана подстановка, откуда.

Ответ:

5. Найти момент инерции полусферы относительно оси Оz.

Имеем.

Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу, т. е. круг x2+y2 = а2; поэтому, переходя к полярным координатам, получим.

Ответ: