Точность определения площадей

Исследование ошибок определения площади по результатам измерения на местности

В зависимости от хозяйственной значимости участков и массивов, их размеров, конфигурации и вытянутости, наличия планово-топографического материала, топографических условий местности применяются следующие способы определения площадей:

Аналитический — когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на местности, по результатам измерений линий и углов на местности или по их функциям (координатам вершин фигур);

Графический — когда площадь вычисляется по результатам измерений линий на плане (карте);

Механический — когда площадь определяется по плану при помощи специальных приборов (планиметров) и приспособлений (палеток) и других.

Иногда эти способы применяются комбинированно, например, часть линейных величин для вычисления площади определяется по плану, а часть берут из результатов измерений на местности. Нередко основная площадь участка, заключенная в теодолитный полигон, определяется аналитическим способом, а площадь, выходящая за пределы полигона и заключенная между линиями полигона и живого урочища, определяется графическим или механическим способом.

Наиболее точным является аналитический способ, поскольку на точность определения площади этим способом влияют только погрешности измерений на местности, в то время как с применением графического и механического способов, помимо погрешностей измерений на местности, влияют погрешности составления плана, определения площадей по плану и деформация бумаги. Однако аналитический способ требует измерения линий и углов по границам участков, больших вычислительных действий, зависящих от количества углов. Целесообразно применять аналитический способ, если число углов по границе участка невелико (не более 10—15).

Наименее точным, но наиболее распространенным является механический способ, так как, пользуясь им, можно быстро и просто определять по плану площадь участка любой формы.

Графический способ выгодно применять в том случае, когда границей участка является ломаная линия с небольшим числом поворотов.

Если площадь фигуры определяется по результатам непосредственных измерений на местности, то можно выполнить предрасчет точности площади по формулам теории ошибок. Ошибки площадей полигонов различной формы вычисляются по таким формулам:

Средняя квадратическая ошибка площади, имеющую форму правильного многоугольника, вычисляется так:

mpmi.

Подставим значение n в эту формулу для таких форм многоугольника:

Треугольник:

mp mi;

Четырехугольник:

mp mi;

Десятиугольник:

mp mi.

Из этого видно, что самой оптимальной формой многоугольника является треугольник.

Средняя квадратическая ошибка площади полигона (участка), которая имеет форму параллелограмма целесообразно находить по такой формуле:

mp2.

где — средняя квадратическая ошибка единицы веса; l — значения линий; - внутренние углы По данной формуле можно получить такие формулы ошибок площадей:

Для прямоугольника с соотношением сторон, равным и :

mp2.

Для ромба :

mp2.

Для квадрата:

mp.

Если полигон имеет изогнутую форму, то формула ошибки для данного случая будет такова:

mp2.