З.10. Среднее число ударов молекул о поверхность

Получим теперь формулу для среднего числа молекул, падающих на площадку S за время dt. Для этого следует проинтегрировать выражение (3.55), где концентрация п' молекул в потоке определяется выражением (3.54). Искомое число будет равно.

Величина V есть среднее число ударов, совершаемых молекулами о единичную площадку за единицу времени.

Подставим функции (3.28) и (3.39) в формулу (3.60). Получим следующее выражение для среднего числа V ударов молекул о единичную площадку за единицу времени:

Последние два интеграла в силу условия (3.41) равны единице. Подстановка функции (3.40) в первый интеграл дает.

Введем новую переменную интегрирования и преобразуем этот интеграл к виду.

В результате с учетом формулы (3.31) будем иметь.

Как видно, правильное выражение 17 S dt для среднего числа ударов молекул о площадку S за время dt несколько отличается от приближенного выражения (3.20). Тем не менее в дальнейшем будем использовать именно это приближенное выражение.

Интеграл Пуассона

Вычислим интеграл Пуассона.

Изменим обозначение переменной интегрирования и запишем эту формулу так:

Перемножив равенства (3.62) и (3.63), получим:

Двойной интеграл в правой части этого равенства нетрудно вычислить, если ввести полярные координаты г и <�р при помощи соотношений в которых

Имея в виду, что произведение dx dy есть площадь прямоугольника на плоскости х-у, будем иметь.

где dS — площадь элементарного участка координатной плоскости х-у, который может иметь произвольную форму. Когда используются полярные координаты, в качестве такого участка следует взять элемент плоскости, окаймляемый кусками двух лучей (т.е. прямых, проходящих через начало координат), соответствующих углам р и у? + d

и двух окружностей радиусов г и r + dr (рис. 3.14). Стороны этого прямоугольного четырехугольника равны г dip и </г, а его площадь.

Интеграл, но переменной г можно вычислить методом внесения под знак дифференциала и введением новой переменной интегрирования:

— оо.

+оо _ Рис. З.Ц.

J _е— а х^а — yj— (з 65) К вычислению площади dS

Обе части этого равенства являются функциями аргумента а. Продифференцировав эти функции по а, придем к равенству.