Точность и количество реализаций модели при определении средних значений параметров

Найдем функциональную связь точности е и достоверности, а с количеством реализаций модели, когда в качестве показателей эффективности выступают математическое ожидание и дисперсия некоторой случайной величины (времени, расстояния и т. п.).

Определение оценки математического ожидания

Найдем искомую связь для случая, когда целью эксперимента является определение оценки математического ожидания некоторой случайной величины.

В N прогонах модели получены независимые значения интересующего нас показателя эффективности:

В качестве оценки математического ожидания возьмем выборочное среднее (среднее арифметическое):

В последующей главе мы покажем, что оценка такого вида является наилучшей.

Согласно центральной предельной теореме если значения а, независимы и имеют конечные дисперсии одного порядка, то при большом числе слагаемых N случайная величина а имеет практически нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией соответственно.

где о% —дисперсия искомой случайной величины а.

Следовательно, справедливо равенство.

2 ~—

где Ф*(г_а) = , — f е 2 dz — интеграл вероятности.

v2 71 о В некоторых изданиях под интегралом вероятности понимают несколько иное выражение, поэтому целесообразно пользоваться интегралом Лапласа (1749—1827) Ф (г"), который связан с интегралом вероятности так: Ф*(1_а) = 2Ф (г_а). Из приведенного выражения следует:

Сравнивая это выражение с выражением (4.1), имеем.

Интеграл Лапласа табулирован, следовательно, задаваясь значением достоверности а, можно определить аргумент t".

Итак, искомая связь между точностью е, достоверностью а и числом реализаций модели получена:

Из выражений (4.2) следует, что:

• • увеличение точности на один порядок (уменьшение ошибки на один порядок) потребует увеличения числа реализаций модели на два порядка;
• • число необходимых реализаций модели N не зависит от величины искомого параметра а, а зависит от дисперсии с^.

Достоверность результата а. указана значением аргумента функции Лапласа t_a. Связь значения t_a с достоверностью, а находится из таблицы значений функции (интеграла) Лапласа.

Наиболее употребительные соответствия t_a и, а приведены в табл. 4.3.

Таблица 4.3

Фрагмент таблицы функции (интеграла) Лапласа.

Чтобы пользоваться формулами (4.2), нужно знать дисперсию о%. Очень редки случаи, когда значение дисперсии известно до эксперимента, поэтому возможны два способа предварительного определения дисперсии.

Первый способ. Иногда заранее известен размах значений искомой случайной величины:

В предположении нормального распределения случайной величины а можно с использованием правила трех сигм получить приближенную оценку a_a:

Второй способ. Надо воспользоваться оценкой дисперсии. Для этого необходимо выполнить предварительный прогон модели в количестве АТ = 1000 реализаций. С использованием полученного в результате этих прогонов ряда значений показателя a" i = 1, …, N, найдем оценку дисперсии:

Здесь а — среднеарифметическое значение по N* измерениям. И в этом случае формулы (4.2) имеют вид.

Вычисленную дисперсию Si подставим в формулу для определения числа прогонов модели N. Если в результате расчета окажется, что выполняется неравенство N > N*, то моделирование должно быть продолжено до выполнения N реализаций. Если же N < N*, то моделирование заканчивается. Необходимая точность в оценки случайной величины а (искомого показателя эффективности) при заданной достоверности а достигнута.

Если в технических условиях задана относительная точность d =—,

а

то формулы (4.3) принимают вид.

Значение а определяется на основании ЛГ = 1000 прогонов модели. Все дальнейшие расчеты аналогичны только что рассмотренным аналитическим выражениям.

Вышеприведенные рассуждения и выражения были справедливы в предположении нормального закона распределения случайной величины а. Если в этом есть сомнение, то для определения связи в, а и N можно воспользоваться неравенством П. Л. Чебышева (1821—1894).

С учетом направления знаков неравенств получим.

Так же как и в предыдущих случаях, вместо неизвестной дисперсии о% следует использовать ее оценку Sf, вычисленную по данным N* прогонов модели.

Отметим еще один момент: обратим внимание на то, что в данном случае достоверность, а участвует в формулах в явном виде.

Итак, в выражениях (4.3) мы вместо неизвестной дисперсии используем ее оценку S%. В этом случае вместо аргумента функции Лапласа t_a надо использовать параметр распределения Стьюдента (1876—1937) значения которого зависят не только от уровня достоверности а, но и от числа степеней свободы к = N — 1. Здесь, как и прежде, N— число прогонов модели. Вообще-то, при N распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению, но при малом числе прогонов модели t* заметно отличается от t_a.

Для практических целей значения t* можно взять из табл. 4.4.

Таблица 4.4

Таблица значенийt*

Окончание табл. 4.4

Из табл. 4.4 очевидно, что при k = N — 1 > 120 значения t* и t_a практически совпадают. Но при меньших значениях N следует пользоваться величиной t*.